历年考研数学真题及答案

历年考研数学真题及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.设函数f(x)在点x0处可导，且f(x0)=0，f′(x0)=2，则当x→0时，f(x)等价于（）。A.xB.2xC.x^2D.x^3答案：B2.函数f(x)=|x-1|在点x=1处的导数是（）。A.-1B.0C.1D.不存在答案：D3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得（）。A.f(ξ)=0B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.f(ξ)=f(b)-f(a)D.f(ξ)=f(a)+f(b)答案：B4.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则下列级数中必定收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)a_n^2B.∑(n=1to∞)(-1)^na_nC.∑(n=1to∞)1/(a_n+1)D.∑(n=1to∞)a_n^3答案：A5.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的积分中值定理中的ξ是（）。A.(0+1)/2B.ln(1/2)C.ln(2)D.某个介于0和1之间的数答案：D6.设函数f(x)在点x0处取得极值，且f′(x0)存在，则f′(x0)等于（）。A.0B.1C.-1D.任意数答案：A7.曲线y=x^3-3x^2+2在拐点处的切线斜率是（）。A.-1B.0C.1D.2答案：C8.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)>0，则∫(atob)sqrt(f(x))dx等于（）。A.∫(atob)f(x)dxB.sqrt(∫(atob)f(x)dx)C.2∫(atob)f(x)dxD.(1/2)∫(atob)f(x)dx答案：B9.设函数f(x)在点x0处取得极大值，且f′(x0)存在，则f′(x0)等于（）。A.0B.1C.-1D.任意数答案：A10.函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是（）。A.1/2B.1C.2D.3答案：A二、多项选择题，(总共10题，每题2分)。1.下列函数中在x=0处可导的是（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=e^x答案：BD2.下列级数中收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)1/nB.∑(n=1to∞)1/n^2C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2答案：BD3.下列函数中在区间[-1,1]上连续的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=|x|D.f(x)=tan(x)答案：BC4.下列函数中在x=0处取得极值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：AD5.下列级数中条件收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)(-1)^n/nB.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2C.∑(n=1to∞)1/n^2D.∑(n=1to∞)(-1)^n答案：A6.下列函数中在区间[0,1]上可积的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=x^2C.f(x)=|x|D.f(x)=tan(x)答案：BC7.下列函数中在x=0处取得拐点的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：BD8.下列级数中绝对收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)(-1)^n/nB.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2C.∑(n=1to∞)1/n^2D.∑(n=1to∞)(-1)^n答案：BC9.下列函数中在区间[-1,1]上单调递增的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：BC10.下列函数中在x=0处取得极小值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：AD三、判断题，(总共10题，每题2分)。1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在(a,b)内必有零点。答案：错误2.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则级数∑(n=1to∞)|a_n|也收敛。答案：错误3.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f′(x0)存在，则f′(x0)必等于0。答案：正确4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在(a,b)内必有最大值和最小值。答案：正确5.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则级数∑(n=1to∞)a_n^2也收敛。答案：正确6.若函数f(x)在点x0处取得拐点，则f′(x0)必等于0。答案：错误7.若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在(a,b)内必有界。答案：正确8.若级数∑(n=1to∞)a_n绝对收敛，则级数∑(n=1to∞)a_n也收敛。答案：正确9.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(x)在(a,b)内必有导数。答案：错误10.若函数f(x)在点x0处取得极值，则f(x)在x0处的导数必存在。答案：错误四、简答题，(总共4题，每题5分)。1.简述函数在某点处可导的几何意义。答案：函数在某点处可导的几何意义是该点处存在切线，且切线的斜率等于该点处的导数值。2.简述级数收敛的必要条件。答案：级数收敛的必要条件是级数的通项趋于0。即若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则lim(n→∞)a_n=0。3.简述函数在某点处取得极值的必要条件。答案：函数在某点处取得极值的必要条件是该点处的导数等于0。即若函数f(x)在点x0处取得极值，且f′(x0)存在，则f′(x0)=0。4.简述函数在某点处取得拐点的必要条件。答案：函数在某点处取得拐点的必要条件是该点处的二阶导数等于0，且二阶导数在该点处变号。即若函数f(x)在点x0处取得拐点，则f''(x0)=0，且f''(x)在x0的左侧和右侧异号。五、讨论题，(总共4题，每题5分)。1.讨论级数∑(n=1to∞)(-1)^n/n的收敛性。答案：级数∑(n=1to∞)(-1)^n/n是交错级数，满足Leibniz判别法的条件，即通项的绝对值单调递减且趋于0，因此该级数条件收敛。2.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值。答案：函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f′(x)=3x^2-6x，令f′(x)=0，解得x=0和x=2。在区间[-1,3]上，f′(x)在(-1,0)和(2,3)上为正，在(0,2)上为负，因此f(x)在(-1,0)和(2,3)上单调递增，在(0,2)上单调递减。f(x)在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值。3.讨论函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的积分中值定理。答案：根据积分中值定理，存在某个ξ∈(0,1)，使得∫(0to1)e^x