第03讲 平面向量的数量积 高频考点-精练（解析版）

第03讲平面向量的数量积(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则(

)A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【详解】﹒故选：B．2．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的模为（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】解：，，在方向上的投影为，在方向上的投影向量为,则在上的投影向量的模为．故选：C．3．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））已知平面向量，的夹角为，若，则的值为（

）A． B．5 C． D．【答案】D【详解】由两边平方得，，，解得.故选：D4．（2022·四川绵阳·高一期末）已知平面向量满足，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】由得，由得，即故选：B5．（2022·安徽·高三开学考试）已知向量均为单位向量，且，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【详解】解：因为向量均为单位向量，且，所以，，所以，故选：B.6．（2022·湖南·长沙市平高高级中学有限公司高二阶段练习）已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（

）A．5 B．6 C． D．【答案】C【详解】解：由题得.故选：C7．（2022·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，若向量，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，是单位向量，所以，又因为，，所以，，所以，因为，所以．故选：B．8．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可设，由可知，所以，所以，∵，∴，即.故选：C.二、多选题9．（2022·江苏南通·高一期末）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为【答案】BC【详解】，,,解得,故A错误,，由于，与的夹角为，故B正确,,故C正确在上的投影向量为，故D错误,故选：BC10．（2022·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（

）A． B． C．3 D．【答案】BC【详解】由题意：因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，所以，所以，故选：BC．三、填空题11．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知向量，且，则实数_____________．【答案】2【详解】因为，又，所以，解得．故答案为：2.12．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为___________.【答案】##0.25【详解】因为，所以，展开整理化简得：.所以.即与的夹角的余弦值为.故答案为：.四、解答题13．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知向量．(1)若单位向量与共线，求向量的坐标；(2)若与垂直，求的值．【答案】(1)或(2)（1）因为两向量共线，是单位向量，所以设，得到解得或．（2）因为与垂直，所以，即，解得．14．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）已知向量=（，），，=（1，）.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)(1)由题知，得，又，(2)由题知，得，即.B能力提升15．（2022·四川成都·高一期末（文））已知平面四边形中，，向量的夹角为.(1)求证：；(2)点是线段中点，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2).（1）根据题意，画出示意图如下图所示由题意可知，，所以三角形ABD为等边三角形，则，又，所以，即为直角三角形，且，所以，所以；（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为点是线段中点，所以，则，所以，16．（2022·广东广州·高一期中）已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)直接写出点、、的坐标；(2)若，求与夹角的大小；(3)若，当得最小值时，求点的坐标及的最小值．【答案】(1)，，(2)(3)最小值为，点的坐标为（1）解：因为半圆的直径，所以，，又，，则，即．（2）解：由（1）知，，

∴.

则，