第03讲 三角函数的图象与性质（高效培优讲义）（解析版）

第03讲三角函数的图象与性质目录考情探究 2知识梳理 3探究核心考点 5考点一正弦函数的图象与性质 5考点二余弦函数的图象与性质 10考点三正切函数的图象与性质 15考点四函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 19考点五由图象确定三角函数的解析式 22考点六三角函数的应用 27考点七三角函数的零点问题 31考点八三角函数的最值问题 34考点九求ω的取值范围 39考点十三角函数新定义 43三阶突破训练 47基础过关 47能力提升 54真题感知 62一、5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2025年新I卷，第4题,5分正切函数的性质无2025年北京卷，第8题,5分三角函数的图象与性质辅助角公式2025年天津卷，第8题,5分三角函数的图象与性质无2024年新I卷，第7题,5分正弦函数的图象与性质无2024年新Ⅱ卷，第6题,5分三角函数的图象与性质函数奇偶性2024年北京卷，第6题,5分正弦型函数的性质无2024年天津卷，第7题,5分正弦型函数的性质无2024年天津卷，第2题,5分三角函数的性质函数的奇偶性2023年上海卷，第15题,5分正弦函数的性质无2023年甲卷，第15题,5分余弦型函数的图象与性质三角函数的图象变换2023年乙卷，第6题,5分正弦型函数的图象与性质无2023年北京卷，第17题,12分正弦型函数的图象与性质辅助角公式二、命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。1正弦函数，余弦函数的图像与性质注表中的k∈Zy=sinxy=cosx图像定义域RR值域[-1,1][-1,1]最值当x=π2+2kπ时，ymax=1；

当x=-π2+2kπ当x=2kπ时，ymax=1；

当x=π+2kπ时，y周期性2π2π对称中心kπ,0kπ+π2对称轴x=kπ+πx=kπ单调性在-π2+2kπ,π2+2kπ上是增函数；

在-π+2kπ,2kπ上是增函数；

在2kπ,π+2kπ上是减函数.2正切函数的图像与性质注表中的k∈Zy=tanx图像定义域xx≠kπ+值域R最值既无最大值也无最小值周期性π对称中心kπ2对称轴无对称轴单调性在(kπ-π23A,ω,A影响函数f(x)的最值，ω影响函数f(x)周期(T=2πω)，φ影响函数f(x)水平位置4函数的变换(1)平移变换①y=fx⟶y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减②y=fx⟶y=fx±b(b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b(2)伸缩变换①y=f将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).②y=f将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍(ω>1缩短，ω<1伸长)考点一正弦函数的图象与性质典例1．（多选）（2025·湖北武汉·三模）已知函数fx=sin2x-A．fx的最小正周期为B．fx在区间0,C．fx的一个对称中心为D．fx图象上所有的点向左平移π6个单位长度后关于【答案】ABC【分析】由周期公式可判断A，通过代入可判断B，通过整体代入可判断C，通过平移结合诱导公式可判断D.【详解】对于A，由周期公式可得最小正周期为2π对于B，由x∈0,π6，则2x-π6对于C，当x=7π12对于D，fx图象上所有的点向左平移π6个单位长度后，得到gx故选：ABC典例2．（2025·江西·模拟预测）定义：闭区间[a，b]的长度为b-a，已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为π4的闭区间内，都不存在x1,x2，使得fx1-fx2=4【答案】25【分析】利用①得出π4<T2=πω，解得0<ω<4.数形结合，利用②中fπ6=f(π)分析出T【详解】当fx1-fx2而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期，因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以π4<T所以0<ω<4.不妨设fπ

依次讨论x=π对应为点C，A，D，E四种情况，且π若x=π对应为点E（或点E之后），则2T≤5π若求ω的最大值，即T的最小值，即x=π与x=若x=π对应为点D，则直线x=π+π又49π300,f49π则7π12-49π所以ω取值的最大值为257故答案为：257典例3．（2025·河南·模拟预测）如图，x1,x2,x3是函数fx=sinA．12 B．22 C．-2【答案】C【分析】令t=ωx+φ，则ti=ωxi+φi=1,2,3为sin【详解】fx=sin令t=ωx+φ，则ti=ωx也就是y=b与y=sin由x1+3x3=4由正弦函数的性质可得t3-t1=2又t3+t由sint3-b=0，得故选：C.【总结】1理解熟记正弦函数的图象与性质；2解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用；3求y=Asinωx+φ+B的最值或值域，令t=ωx+φ，由x的范围得到t的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域，注意跟踪训练1．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数f(x)=sin(2ωx-π6)+b(ω>0)的最小正周期为T，且2π3A．12 B．32-1 C．3【答案】B【分析】根据给定条件，利用周期可得23<ω<32【详解】依题意，f(x+π12)+1=得b+1=0，且π6(ω-1)=kπ由2π3<T<3π2，得2π所以f(π故选：B跟踪训练2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知条件：①函数fx在π12,7π12单调递增；②函数fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；③函数fx的一个零点为π3A．fx=sinC．fx=sin【答案】BC【分析】对每个选项中的函数fx，结合正弦型函数的基本性质逐个验证①②③即可【详解】对于A选项，若fx=sin4x-π此时函数fx在π12,函数fx的最小正周期为T=π2，则函数fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为因为fπ3=sinπ=0，即函数fx对于B选项，若fx=sinx-π此时，函数fx在π12,函数fx的最小正周期为为2π，函数fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π因为fπ3=sin0=0，即函数fx的一个零点为对于C选项，若fx=sin2x+π此时，函数fx在π12,函数fx的最小正周期为T=π，函数fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π因为fπ3=sinπ=0，即函数fx对于D选项，若fx=sin2x-2此时，函数fx在π12,函数fx的最小正周期为T=π，函数fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π因为fπ3=sin0=0，即函数fx的一个零点为π故选：BC.跟踪训练3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数f(x)=sin(2ωx-π6)+b(ω>0)的最小正周期为T，且2π3A．12 B．32-1 C．3【答案】B【分析】根据给定条件，利用周期可得23<ω<32【详解】依题意，f(x+π12)+1=得b+1=0，且π6(ω-1)=kπ由2π3<T<3π2，得2π所以f(π故选：B跟踪训练4．（2025·天津北辰·三模）记maxa,b为a,b中的较大值，则关于函数f①fx的最小正周期为2②fx的图象关于直线x=③fx的值域为-2,2④fx在区间π6其中真命题的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数fx的图象，利用图象判断各个命题【详解】设gx=sin则fx函数fx对于①，由图知，函数fx的最小正周期为2π，对于②，由图知，x=3π2为函数f对于③，f(3π2)=-1,f(π6)=2，由图知，函数对于④，由图知，函数fx在区间(π6,所以真命题的个数为2个.故选：B跟踪训练5．（2025·辽宁·三模）函数f(x)=2cos(ωx+π3)，其ω>0，若对于∀x∈(π3A．12 B．1 C．32 D【答案】C【分析】根据给定条件，可得f(x)在(π3,2【详解】依题意，函数f(x)在(π3,2π-π3ω+由1+32k>3k-11+32k>0，解得-所以0<ω≤1或2≤ω≤52，ω的取值不可能是故选：C考点二余弦函数的图象与性质典例1．（多选）（2025·福建福州·模拟预测）已知函数fx=cos2x+φ0<φ<A．fx在区间-B．fx在区间-πC．直线x=2π3D．当x≤0时，函数y=-2πx+1【答案】BD【分析】先根据对称中心求出函数解析式，结合选项余弦函数的单调性及值域对称轴逐个验证即可.【详解】因为fx的图象关于点-π3, 0对称，所以因为0<φ<π，所以φ=π6令t=2x+π6，由x∈-因为-π2<0<π6令t=2x+π6，由x∈-π6所以当x=-π12,ff(2π3)=cos9π6=cos3π2=0当x=0时，函数y=1，f(0)=cosπ6当x<0时，函数y=-2所以f(x)=cos(2x+π6)≤1，函数y=-2故选：BD.典例2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=4cosωx-π12(ω>0),fx在区间A．1,4 B．4,7 C．7,13 D．13,+【答案】C【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.【详解】当x∈0,π3时ωx-π12所以π3ω-π若π3ω-π12≥π，此时f代入可得π3若fx取不到最小值-4，则需满足π3ω-pω=4cosπ3所以ω=4或者ω∈74,134故选：C典例3．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx=sinA．fx是偶函数 B．fxC．fx最小值为-1 D．fx在【答案】ABC【分析】利用奇偶性的定义，即可判断A选项；分0≤x≤π2，π2<x≤3π2，【详解】对于A，f-x=sin-x+当0≤x≤π2时，因为0≤x≤π2，所以π4所以1≤2当π2<x≤3π因为π2<x≤3π2，所以所以-1≤2又3π2<x≤2π因为3π2<x≤2π，所以7π所以-1<2又x≥0时，fx+2所以当x≥0时，fx是以2π为周期的周期函数，又所以函数fx的值域为-1,2，故当π2≤x<π因为π2≤x<π，所以π所以1≤2当0<x≤π2时，因为0<x<π2，所以π4所以0,π时，1≤作出函数fx故函数fx在0,π有没有零点，故D故选：ABC.【总结】1理解熟记余弦函数的图象与性质；2解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用；3求y=Acosωx+φ+B的最值或值域，令t=ωx+φ，由x的范围得到t的范围，再由余弦函数的性质求得最后的最值或值域，注意跟踪训练1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数fx=3cosωx+π6ω>0的最小正周期为2A．1 B．32 C．2 D．【答案】D【分析】由周期公式求得ω，然后由换元法即可求解.【详解】由题意T=2πω=2所以fx=3故选：D.跟踪训练2．（多选）（2025·山东枣庄·二模）已知函数fx=cos4ωx+sinA．ω=B．∃x∈R,fC．fx在区间0,D．fx的图象关于点-【答案】ACD【分析】由同角三角函数的关系及正余弦二倍角公式得到fx=【详解】fx因为fx的最小正周期为π,ω>0，所以2π4ω=fx=34+14cos2x.因为当x∈0,π2时，2x∈令2x=kπ+π2,k∈Z，得x=kπ2+π4故选：ACD跟踪训练3．（2025·山东·二模）对于非空集合M，定义函数φMx=0,x∉M,1,x∈M,A=xcosx+π6≥A．0,π6∪C．0,π3∪【答案】B【分析】先由余弦函数的性质求解集合A，再根据题意得A∩B≠∅，则a>4π3，再讨论【详解】由cosx+π6≥1因为φAx0所以A∩B≠∅，因为A=-π2所以当a>4π3时，当0<a≤4π3时，A∩B=∅时，有解得a∈π6,3π4综上所述，a∈0,故选：B．跟踪训练4．（2025·山西·模拟预测）已知函数fx=3cosωx+φω>0,0<φ<2π的部分图象如图所示，A，B分别是相邻的最高点与最低点，直线AB的方程为A．3cosπxC．-3cosπx【答案】B【分析】由题意可得A,B的坐标，即可得到函数周期，从而可得ω，再将点A的坐标代入，即可得到φ.【详解】因为A是最高点，所以yA=3，将y=3代入直线方程y=-2x+10，可得所以A7因为B是最低点，所以yB=-3，将y=-3代入直线方程y=-2x+10，可得所以B13则T=2132-所以fx将A72,3代入f即cos76π+φ=1又0<φ<2π，当k=1时，φ=所以fx故选：B跟踪训练5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图，点A(π4,2)，B在f(x)的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，DA．-3 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】由条件求BD，CD，由此确定函数的周期，列方程确定ω,φ，再求结论.【详解】由四边形ACBD为平行四边形，点A(π4,得BD=AC=由平行四边形ACBD的面积为22π，得2×1由函数f(x)图象的对称性得函数f(x)的周期为π，又ω>0，则ω=2由f(π4)=2，得而f(x)图象在点A处是上升的，则π2+φ=2kπ-π4，又|φ|<π，则φ=-3π所以f(故选：D.考点三正切函数的图象与性质典例1．（2023·河南·模拟预测）已知函数f(x)=tan2x+πA．fx为奇函数 B．fx在区间C．fx图象的一个对称中心为π12,0 D．【答案】C【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为f(x)=tan2x+π3，所以2x+即函数的定义域不关于原点对称，所以fx不是奇函数，故A当x=π12时，2x+π3=π2，此时f当x=π12时，2x+π3=因为f(x+π2)=tan2(x+π故选：C典例2．（2025·四川成都·二模）已知函数fx=2sin2x,x≠π3+kπ,k∈ZA．4π3,13π6 B．4【答案】A【分析】解出方程fx=【详解】因为函数f所以当x≠π3+kπ,k∈Z时，方程f则当k≥0时，x=当x=π3+kπ,k∈Z解得x=π则当k≥0时，x=因为方程fx=3在0,m所以这4个不同实根为π6,π故选：A典例3．（多选）（24-25高一下·山西·期中）已知函数fx=tanA．fx的定义域是B．fxC．π是fxD．π2,0是曲线【答案】BCD【分析】由函数的解析式有意义，结合tanx有定义，求得函数的定义域，可得判定A错误；根据函数的奇偶性的判定方法，可判定B正确；求得fx=fx+π，可判定C【详解】对于A中，由tanx有定义，可得x≠又由1-tan2x≠0，可得tan所以函数fx的定义域是{x∣x≠π2+kπ对于B中，因为tanx=-tan-x，所以f又因为定义域关于原点对称，所以fx是奇函数，所以B对于C中，由f(x+π)=tan所以π是fx的一个周期，所以C对于D中，函数fx的定义域关于点π又由tanx=-tanπ即fπ-x=-fx，所以曲线y=fx故选：BCD．【总结】1理解熟记正切函数的图象与性质，注意正切函数没有对称轴，对称中心是(π2,0)2解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用；跟踪训练1．（2025·广东揭阳·三模）函数fx=2025tanA．2π B．π C．π2 D【答案】B【分析】结合正切函数的图象求解即可.【详解】因为函数y=tanx的周期与y=tan所以函数fx的最小正周期为π故选：B.跟踪训练2．（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数fx=tanωx+φω>0,φ>0的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为π2，且A．π6 B．π3 C．2π【答案】B【分析】依题意可得fx的最小正周期T=π2，即可求出ω，从而表示出f【详解】因为函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为所以fx的最小正周期T=π2，又T=所以f(x)=tan(2x+φ)，则fx+π12所以φ+π6=所以φ的最小值为π3故选：B．跟踪训练3．（2023·陕西安康·一模）设函数f(x)=2tanωx-π6(ω>0)的图象的一个对称中心为π6A．π2 B．π13 C．2π【答案】B【分析】由正切函数的对称中心得到T=π3k+1，k∈【详解】根据题意得π6ω-π6=又ω>0，则T=πω=对于A，若π2是fx的最小正周期，则π3k+1=π2，得对于B，由π3k+1=π13得对于C，由π3k+1=2π13得k=11对于D，由π3k+1=2π7得k=56故选：B.跟踪训练4．（多选）（2025·湖北·模拟预测）函数y=tanx与y=cosx，x∈0,4π有A．sinx1=5-12 B．n=4【答案】ABD【分析】根据同角三角函数基本关系解方程可判断A，利用正切函数与余弦函数图象可判断BCD.【详解】因为tanx1=cosx1作出函数y=tanx与通过两个函数的图像可以得到图象有4个交点，故B选项正确；且4个点两两关于点32π,0i=1nxi+yi故选：ABD考点四函数y=Asin典例1．（2025·云南红河·模拟预测）将函数f(x)=sin(x-φ)的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，然后再向左平移5π6个单位长度后，得到的图象关于yA．-π6 B．π6 C．π【答案】B【分析】首先根据变换规律得到图象变换后的函数解析式，再结合偶函数的特征，列式求解.【详解】将f(x)图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来12倍，得然后再向左平移5π6个单位长度后，得又因为g(x)的图象关于y轴对称，所以5π3-φ所以φ=-kπ+7π6,k∈故选：B.典例2．（多选）（2025·河南新乡·模拟预测）将函数fx=2cosx的图象向左平移π3个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2A．函数gx在区间0,B．将gx图象向右平移2πC．点π6,0是函数D．若ϕx=fx±gx，则ϕ【答案】BCD【分析】首先求出函数fx图象变化后的gx【详解】将fx=2cosx的图像向左平移然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得gx对于选项A：∵x∈0,2π函数gx=2cos12对于选项B：将gx图象向右平移2y=gx-因为该函数为偶函数，其图象关于y轴对称，于是B选项错误；对于选项C：令12x+π3=kπ+π2，解得x=2k故π6,0不是gx对于选项D：记ϕx=fx±gx而y=2cos12x+π∴ϕx的最小正周期为4π，且ϕπ综上所述，本题错误的选项为BCD.故选：BCD.【总结】1平移变换①y=fx⟶y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减②y=fx⟶y=fx±b(b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移bPSf(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π2伸缩变换①y=f将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).②y=f将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍(ω>1缩短，ω<1伸长)问题怎么理解呢？例：若将fx=3sinx+π解析我们把fx=3sinx+π3的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=跟踪训练1．（2025·河北石家庄·三模）将函数fx=sin2x+π3+3的图象向右平移πA．-π12,3 B．-π12,0【答案】A【分析】根据乳香的平移变换可得函数gx的解析式，利用整体代换法即可求解函数gx【详解】由题知gx令2x+π6=kπ,k∈Z，解得x=-π∴当k=0时，-π12,3为函数故选：A.跟踪训练2．（2025·江西新余·模拟预测）已知x=π6是函数fx=sin2x+ϕA．π3 B．4π3 C．5【答案】D【分析】根据题意求出ϕ，再由诱导公式将gx的函数名变成与fx【详解】由题可知2⋅π6+因为ϕ<π2，所以k=0所以fx因为gx设gx向右平移aa>0个单位得到则sin2所以2x-2a+π故a=π6-kπ,k∈故选：D．跟踪训练3．（2025·全国·模拟预测）已知函数fx=sinωx+φ+13π2ω∈N*,0<φ<π2在-π6A．2π3 B．π3 C．π【答案】D【分析】利用函数的单调区间长度可以估计周期的长度，再结合ω∈N*，可确定ω【详解】因为函数fx又函数fx在-所以函数fx的最小正周期T=则ω≤3，又ω∈N*，所以若ω=1,fx=cos又因为0<φ<π2，7π12若ω=2,fx=cos因为0<φ<π2，所以φ=π若ω=3,fx=cos又0<φ<π2，7π4综上，fx=cos2x+π3，所以函数由fx-m=cos所以有π3则正数m的最小值为π6故选：D．考点五由图象确定三角函数的解析式典例1．（2025•乌鲁木齐模拟）函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，AC=23，∠ACB=A．12 B．1 C．π2 D【答案】C【分析】记BC与x轴的交点为M，连接AB，设AB＝a，则BC＝2a，在△ACB中，利用余弦定理可求得a，进而在△ACM中，求得AM，进而利用周期可求ω．【解答】解：记BC与x轴的交点为M，连接AB，由题意可得M在函数y＝Asin（ωx+φ）的图象上，且为一个对称中心，设AB＝a，则BC＝2a，又AC＝23，∠ACB=π在△ACB中，由余弦定理得AC2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcosπ6即a2=(23)2+4a2﹣2×23×2a×32，整理得3a2﹣在△ACM中，由余弦定理得AM2＝AC2+MC2﹣2AC•CMcosπ6所以AM2＝12+4﹣2×23×2×32=4，解得所以函数y＝Asin（ωx+φ）的最小正周期为T＝2AM＝4，所以ω=2故选：C．典例2．（2025•红桥区一模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）f（x）关于点（π6，3（2）f（x）关于直线x=π（3）f（x）在区间[π2，5π6（4）f（x）在区间（-5π12，π12）上的值域为（1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由特殊点的坐标求出φ，由五点法作图求出ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π可得B=1+52=3，A=5-12=2，故有f（x）＝把点（0，2）代入，可得2sinφ+3＝2，即sinφ=-12，φ=-π6，故有f（x）＝2sin（ωx再根据五点法作图，可得ω×（-π6）-π6=-π2，∴ω＝2，f（x）＝令x=π6，求得f（x）＝4，故f（x）不关于点（π6，3令x=π3，求得f（x）＝5，为最大值，故f（x）关于直线x=π当x∈[π2，5π6]，2x-π6∈[5π6，3π当x∈（-5π12，π12），2x-π6∈（﹣π，0），sin（2x-π6∴函数f（x）的值域为[1，3），故（4）错误．故选：B．【总结】由函数y=Asinωx+φ+B(A>0,ω>0(1)求A,B：通过函数最值求解，由fmax=A+B(2)求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出(3)求φ：求出A,ω后代入函数图象一最值点，求出φ.跟踪训练1．（2025•玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x∈R]的部分图象如图所示，则f（A．2cos(32x+π4) B．C．2cos（2x-π4） D．2cos（【答案】D【分析】根据函数f（x）的部分图象求出A、T、ω和φ的值即可．【解答】解：根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，且T＝2×（5π6-所以ω=2又x=π6时，f（π6即32×π6+φ＝2kπ解得φ＝2kπ-π4，k∈又|φ|＜π2，所以φ所以f（x）＝2cos（32x-故选：D．跟踪训练2．（2025•黑龙江模拟）函数y＝f（x）的部分图象如图所示，已知f(-π3)=f(π)=-12A．12 B．32 C．0 D【答案】B【分析】根据f（-π3）＝f（π），可得x=π3是函数图象的一条对称轴，结合f（π）=-12建立关于ω、φ的方程组，解之可得【解答】解：根据f（-π3）＝f（π），可得f（x）的图象关于x结合f（π3）为函数的最大值可得ωπ3+φ=π2+2kπ（根据f（π）=-12，且x＝可得ωπ+φ=11π6+2kπ（k∈结合ω＞0，-π2＜φ＜π2所以f(x)=故选：B．跟踪训练3．（2025•青秀区模拟）在物理学中简谐运动可以用函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于点(π6B．函数f（x）的解析式可以为f(x)=2cos(2x-2πC．函数f（x）在[0，π]上的值域为[0，2] D．若把f（x）图象上所有点向右平移π12个单位，则所得函数是【答案】B【分析】由三角函数的部分图象可得A，ω，φ的值，即求出函数f（x）的解析式，由函数的性质分别判断出所给命题的真假．【解答】解：由函数图象的最高点的纵坐标可得A＝2，且3T可得T＝π=2πω，可得ω又2•π3+φ=π2+2kπ，k∈Z可得φ=-π所以f（x）＝2sin（2x-πA中，因为2×π6-π6≠kπ，k∈Z，所以（B中，f（x）＝2sin（2x-π6）＝2cos（2x-π6-π2）＝C中，因为x∈[0，π]，所以2x-π6∈[-π6，11π6]，所以sin（2x-π6）∈[﹣1，1]，即f（x）∈D中，把f（x）图象上所有点向右平移π12个单位，则所得函数y＝2sin[2（x-π12）-π6]＝2sin（故选：B．考点六三角函数的应用典例1．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A23,-2出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=rsinωt+φt≥0,ω>0,φ<

A．42 B．10 C．42-3【答案】A【分析】由A点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了34个周期，由计算出图中∠POA【详解】由已知r=(23)2经过45秒后，即旋转了34个周期，因此∠POA=(1-所以PA=4故选：A．

典例2．（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长AB=600m，宽AD=360m的矩形空地进行建设.规划在边AB,AD上分别取点M,N修建人行步道（不考虑宽度），且满足点A关于步道MN的对称点E在边DC上.在△AMN内种植花卉，在△EMN内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道MN的最短距离为m.（结果精确到【答案】468【分析】由题设有Rt△MAN≌Rt△MEN，设∠AMN=θ0<θ<π2【详解】由题意，Rt△MAN≌设∠AMN=θ0<θ<π2在Rt△DEN中cos2θ=DN则MN=AN由于AN=180cos2则tan2θ=sin令sinθ=t，t∈1010令f(t)=t-t3，则令f'(t)>0，则t∈10令f'(t)<0，则t∈3所以ft所以MN即人行步道MN的最短距离为468m故答案为：468.【总结】1对于三角函数在生活或物理中的应用中，求三角函数解析式时根据题意求出最值和周期，再通过某个时刻的取值求出最后解析式；2在几何的最值中，用代数法求解时引入某个角作为参数，要思考好到底哪个角适合。跟踪训练1．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asinωt+φA>0,ω>0,0<φ<π2A．-5安 B．5安 C．-53安 D．5【答案】D【分析】通过函数的图象求出A,T，然后利用周期公式求出ω，将点1300,10代入表达式，即可求出φ的值，得到函数解析式，代入t=【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和-10，可得A=10.由周期T=150=再将点1300,10代入I=10sin所以π3+φ=π因为0<φ<π2，所以k=0时，φ=π将t=1200代入得，故选：D.跟踪训练2．（2023·陕西咸阳·二模）如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别是边AB、DA边上的点，那么当△APQ的周长为2时，∠PCQ=（

）A．π6 B．π4 C．π3【答案】B【分析】设AP=x，AQ=y，∠BCP=a，∠DCQ=β，则tana=1-x，tanβ=1-y，且△APQ的周长为2，即x+y+【详解】解：设AP=x，AQ=y，∠BCP=a，∠DCQ=β，则tana=1-x，tan于是tan(α+β)=又△APQ的周长为2，即x+y+x2+于是tan(α+β)=又0<α+β<π2，所以∠PCQ=π故选：B.跟踪训练3．（2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛修建三段栈道AB、BD与BE，在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.设∠CBE=θ，则需要修建的栈道总长度的最小值为百米.【答案】2【分析】连接CD，CE，设∠CBE=∠CBD=θ，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值.【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：CD=CE=1.由对称性，可设∠CBE=∠CBD=θ，又CD⊥BD，CE⊥BE，所以BE=BD=CDtanθ易知∠MCE=∠NCD=θ，所以ME=ND的长为又AC=3，故AB=AC-BC=3-1sinθ令sinθ0=13且θ所以f'当θ0<θ<π3时，f'当π3<θ<π2时，f'所以栈道总长度最小值fθ故答案为：2π考点七三角函数的零点问题典例1．（2025•华安县模拟）设函数f(x)=2sin(12x+φ)-1，若f（x）在[0，5π]内恰有3A．0 B．π6 C．π4 D【答案】C【分析】根据正弦函数的性质解方程f（x）＝0，结合题意建立关于φ的不等式，然后对各项中φ值逐一检验，即可得到本题的答案．【解答】解：由题意，f（x）＝0即sin（12x+φ）=可得f（x）在[0，+∞）上的零点依次满足12x+φ=π6、5π6、13当x∈[0，5π]时，12x+φ∈[φ，5π当φ＝0时，[φ，5π2+φ]＝[0，5π2]，根据π6、当φ=π6时，[φ，5π2+φ]＝[π6，8π3]，根据当φ=π4时，[φ，5π2+φ]＝[π4，11π4当φ=π3时，[φ，5π2+φ]＝[π3，17π6]，根据故选：C．典例2．（2025•宝安区模拟）已知a∈R，函数f(x)=cos(x-2π3)-a在区间[-π6，π]上有且仅有两个零点x1，x2，则cos（x1A．-178 B．-94 C．﹣2【答案】A【分析】根据三角函数的图像与性质，可得x1【解答】解：由f(x)=cos(x-2π得sin(又x∈[-π6又sin(所以12≤a＜1，且x故cos=2sin2(x1-π6)-1-3所以当a=34时，cos（x1﹣x2）﹣3a故选：A．【总结】1直接求某个具体函数的零点个数或方程的解个数，先把函数解析式或方程通过三角恒等变换的方法进行化简；2零点存在性问题，需要数形结合，结合周期性单调性进行分析。跟踪训练1．（2025•鞍山模拟）已知函数f（x）＝cos2x﹣cosx，则函数f（x）在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由二倍角余弦公式结合求解一元二次方程得到[0，2π]上的零点即可．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣cosx＝2cos2x﹣cosx﹣1＝（2cosx+1）（cosx﹣1），由f（x）＝0，得cosx=-12，cosx即x=2π3+2kπ或x=4π所以函数f（x）在区间[0，2π]的零点是0，2π故选：D．跟踪训练2．（2025•辽宁模拟）设ω＞0，已知函数f（x）＝sin（ωsinx）在区间（0，π）内恰有2025个零点，则ω＝（）A．1010π B．1011π C．1012π D．1013π【答案】D【分析】根据题意由正弦函数的零点结合图象可得．【解答】解：令f（x）＝sin（ωsinx）＝0，得ωsinx＝kπ，k∈Z，所以sinx=kπω，k又x∈（0，π），所以0＜sinx≤1，所以0＜kπω≤1，所以ω≥kπ，k∈N*，由题可得方程sinx=kπω即曲线y＝sinx与直线y=kπω，k∈N*在区间（0，π当k＝1时，sinx=当k＝2时，sinx=当k＝3时，sinx=3π由题意方程sinx=所以需1013πω=1，所以ω故选：D．跟踪训练3．（2025•安徽模拟）下列函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π3；②在区间(π12，π6)单调递增；③在[0，π]A．f（x）＝sin|3x| B．f(x)=-2C．f(x)=|tan32x| 【答案】B【分析】根据三角函数的相关性质确定各函数的最小正周期、区间单调性，结合周期性得区间零点个数判断各项的正误即可．【解答】解：对于A：由于函数f(x)=sin|3x|=对于B：f(x)=-当x∈(π12，π6)由3x=π所以f（x）在[0，π]上的零点有π6，π2，对于C：f(x)=|作出简图②，易得f（x）满足性质②．由32x=kπ，k∈Z得x=2kπ3，k∈由正弦函数性质得f(x)=当x∈(π12，π6)由3x＝kπ，k∈Z，得x=kπ3，k∈Z，所以f（x）在[0，π]故选：B．考点八三角函数的最值问题典例1．（2025•西安模拟）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，其最小正周期为2π3，将f（x）的图象向左平移π9个单位长度后得到g（x）的图象，g（A．1 B．2 C．3 D．3【答案】B【分析】根据正弦函数的图象与性质以及三角函数图象的平移变换可得f(【解答】解：由题意可得，T=2π|ω所以ω＝3，f（x）＝2sin（3x+φ）．将f（x）的图象向左平移π9个单位长度得g（x）的图象，则g因为g（x）的图象关于点(π所以3×π6+又|φ|＜π2当x∈[0，π所以当3x+π6=π2，即x故选：B．典例2．（2025•宁德三模）若函数f(x)=2sin(π2x-π4)在区间[a，aA．-2≤m≤-22 B．-2≤m≤2 C．2≤M≤2【答案】B【分析】AB选项，π2x-π4∈[π2a-π4，π2【解答】解：函数f(x)=2sin(π2x-AB选项，x∈[a，a+1]时，π2显然m的最小值为﹣2，只需[π2a当π2a-π4故-2≤m≤2，ACD选项，同理M的最大值为2，只需[π2a当π2a-π4故-2≤M故选：B．【总结】1求函数的最值时，往往把函数解析式通过三角恒等变换转化为y=A2最值存在性问题，需要数形结合分析，同时结合三角函数的周期和单调性进行分析。跟踪训练1．（2025•苏州模拟）已知函数f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的图象关于直线x=5π12对称，且f（x）在(0，A．310 B．2710 C．3910 【答案】D【分析】利用三角函数降幂公式以及辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数的单调性以及对称性，建立不等式与方程，可得答案．【解答】解：f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1＝2•1+cos2ωx2+sin2ωx﹣1＝cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+π4所以2ωx+π4∈（π4因为f（x）在（0，π3）有最大值没有最小值，所以π2＜2ωπ又因为f（x）的图象关于直线x=5π12对称，所以5ωπ6+解得ω=6k5+310，k∈Z，所以当k故选：D．跟踪训练2．（2025•江西模拟）已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈(0，π4)是偶函数，则g（x）＝sinxA．-14 B．34 C．1 【答案】B【分析】利用偶函数定义f（x）＝f（﹣x）化简f（x）解出θ得值，将θ得值代入g（x），通过三角恒等式展开并化简，利用余弦函数的有界性求出最大值．【解答】解：由f(得sin（x+2θ）+cos（x+4θ）＝sin（﹣x+2θ）+cos（﹣x+4θ），展开并整理得：cos2θ＝sin4θ＝2sin2θcos2θ，整理得：sin2θ=12代入θ=π12，4因为sinx⋅化简得：g(当cos(2x+π3)=-1时，故选：B．跟踪训练3．（2025•河南模拟）已知A＞0，ω＞0，函数f（x）＝Asinωx的图象与函数g(x)=Asin(ωx+π3)的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若△BCD是边长为12的等边三角形，则函数F（x）＝f（x）+gA．6 B．63 C．12 D．【答案】B【分析】运用两角和与差的正弦公式化简f（x）＝g（x），可得sin（ωx-π3）＝0，结合|BD|＝12，解出ω=π6，且B点的坐标为（2+6k，Asin（π3+kπ）），k∈Z，然后根据B、C两点纵坐标差的绝对值等于63，列式算出A＝6，可得F（x）＝6sinπx6+【解答】解：由f（x）＝g（x），可得Asinωx＝Asin（ωx+π即sinωx=12sinωx+32cosωx，可得12sinωx所以sin（ωx-π3）＝0，可得ωx-π3=kπ（k∈Z），x=因为f（x）的图象与g（x）的图象相邻的三个交点分别为B、C、D，且△BCD是边长为12的等边三角形，所以|BD|=2πω=12可得B点横坐标xB＝2+6k（k∈Z），纵坐标yB＝Asin[π6×（2+6k）]＝Asin（π3+kπ），由等边三角形的性质，可知2|yB|=32×12，即2Asinπ3=63所以f（x）＝6sinπx6，g（x）＝6sin（πxF（x）＝f（x）+g（x）＝6sinπx6+3sinπx6+33cos所以当πx6+π6=π2+2mπ（m∈Z）时，即x＝2+12m（m∈故选：B．跟踪训练4．（2024•龙凤区校级模拟）设f(x)=1cosx，将f（x）的图像向右平移π3个单位，得到g（x）的图像，设h（x）＝f（x）+g（x），x∈[π12A．62 B．6 C．26 D．【答案】B【分析】根据平移得到g（x）的解析式，根据h（x）＝f（x）+g（x）得到h（x）的解析式，根据三角变换公式以及h（x）的增减性最后得到h（x）的最大值．【解答】解：∵将f（x）的图像向右平移π3个单位，得到g（x∴g(∴h(∴h(∴h(∴h(∴h(∵x∈[∴x-∴cos(令t=cos(∴cos(易知y=t-即cos(x-∴h（x）在[π∴当cos(x-π6)=6故选：B．考点九求ω的取值范围典例1．（2024•青羊区校级模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0)，x∈[π2，A．若b-a=2，φ=π6B．若b-a=2，φ=π6，则C．若b-a=3，则ω的最小值是4D．若b-a=32，则ω【答案】D【分析】由已知结合正弦函数的最值取得条件，周期性及单调性检验各选项即可判断．【解答】解：A选项：当b﹣a＝2，φ=π6时，解得a＝﹣1，b＝1，所以函数的解析式为当ω足够大时，[π2，B选项：为使ω更小，[π2，π]所以πω2+π所以k＝1时，ω≥73，验证成立，故C选项：当b-a=3时，sina所以sinα+β所以[π2，则13⋅2πωD选项：当b-a=32时，sin所以sinα=34故选：D．典例2．（2025•李沧区一模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x=-π4为f（x）的零点，x=π4为y＝fA．11 B．9 C．7 D．5【答案】B【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出ω和φ的值，进一步利用ω和φ的值，利用函数的单调性判断结果．【解答】解：由于f(x)=所以满足-π4ω+φ=k整理得φ=k1+k22π+π4，ω＝2（k2由于|φ所以φ=-由于函数f（x）在（π18，5故5π36-整理得ω≤12．由于ω＞0，所以0＜ω≤12．当φ=π4时，则k1+k2＝0，ω＝4k2+1，所以ω＝1，5，当φ=-π4时，则k1+k2＝﹣1，ω＝4k2+3，所以ω＝3，7，若ω＝1，5时函数在（π18，5当ω＝9时，函数f（x）＝sin（9x+π4）在（π18当ω＝11时，函数f（x）＝sin（11x-π4）在（π18，3综上所述则ω的最大值为9．故选：B．【总结】1函数y=Asinωx+φ的最小正周期是T=2π|ω|2已知函数y=Asinωx+φ(A>0,ω>0)在[x第一步：根据题意可知区间[x第二步：以单调递增为例，利用ωx1+φ,ω第三步：结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω的取值范围。3题中含有k个对称轴或对称中心，结合三角函数图象分析出取到k个和k+1个对称轴（或对称中心）时的图象，从而得到关于ω的不等式。4结合零点个数求ω范围时，对于区间长度的定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k个零点，需要确定含有k+1个零点的区间长度的最小值。跟踪训练1．（2025•青山湖区校级模拟）已知关于x的方程3(1-sinωx)=cosωx在（0，π）内恰有3个不相等的实数根，则ωA．[136，52) B．(136【答案】B【分析】由已知可得sin(ωx+π6【解答】解：因为3(1-所以cosωx+所以2(1所以sin(由x∈（0，π），可得ωx+因为方程有3个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得7π解得136所以ω的取值范围为(13故选：B．跟踪训练2．（2025•长沙校级一模）将函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω＞0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【分析】根据“左加右减，上加下减”求出函数g（x）的解析式，再利用函数的单调性即可求出ω的最大值．【解答】解：将函数f(x)=cos(当x∈(π3因为g（x）在区间(π所以ωπ6+π6≤π，所以0＜故选：B．跟踪训练3．（2025•牡丹江校级模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x=-π8为f（x）的零点，x=π8为y＝fA．10 B．12 C．14 D．18【答案】C【分析】由已知结合函数零点及对称轴可得ω≤18，再利用单调性分析求得ω的最大值．【解答】解：函数f(∵x=-π8为f（x）的零点，x=π8为∴ω•（-π8）+φ＝k1π（k1∈Z）ω•π8+φ＝k2π+π2（k2∈∴②﹣①得，ω＝4（k2﹣k1）+2（k1，k2∈Z），即ω为偶数．∵f（x）在(π18，π9)当ω＝18时，由①得，φ=π4，此时f（x）在当ω＝14时，由①得，φ=-π4，此时f（x）在∴ω的最大值为14．故选：C．跟踪训练4．（2025•青秀区模拟）已知函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω＞0)A．(13，43C．(13，12)∪[5【答案】C【分析】根据f（x）在区间(π3，π2)上单调递增，得到0＜ω≤6，换元法得到t∈(π3【解答】解：因为f（x）在区间(π所以T2≥π2-π3令t=ωx-π6因为f（x）在区间(π所以ωπ3-π6≥2kπ-π2ωπ2又0＜ω≤6，所以13＜ω所以ω的取值范围是(1故选：C．考点十三角函数新定义典例1．．（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为y=2-122xπsinωx0≤x≤2π，其中x表示不超过x的最大整数，如A．±32 B．±22 C．【答案】C【分析】将点M54π,1代入葫芦曲线的方程可得ω=2【详解】将点M54π,1代入葫芦曲线的方程可得由0<ω≤3，ω∈Z，可得ω=2，因此曲线方程为y=当x=53π所以交点的纵坐标为±3故选：C.典例2．（多选）（2025·河南许昌·三模）如图，点P(a,b)是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形边上的动点，角θ以Ox为始边，OP为终边，定义S(θ)=b|a|+|b|,C(θ)=A．SB．SC．函数y=S(x),x∈0,π2D．函数y=S(x),x∈[0,2π]的图象与x【答案】BCD【分析】由题意可得到a=OPcosθ,b=OPsinθ，从而可得S(θ)=b|a|+|b|,C(θ)=a|a|+|b|的表达式，直接代入化简求值，可判断AB；根据函数的对称性可判断【详解】由题意得a=OPcosθ,b=OP∴S(θ)=OPsinθ|OPcos化简得S(θ)=sinθ|对于A，Sπ4=sinπ4对于B，Sθ+π2=对于C，∵y=S(x),x∈0,而S2×π4-x=S故S(x)+S2×π4故S(x)的图象关于点π4,1对于D，∵y=S(x),x∈[0,2π],∴S(x)=而S (2π -∴S(x)+S(2π故S(x)的图象关于点(π而S(π-x)即S(x)关于x=π2对称，且设S(x)在0,π2内与故所求S(x)在[0,2π]内与x轴围成封闭图形的面积为4当x∈0,π2且S(0)=0,Sπ2=1,Sπ2S(x)在0,π2上的图象关于点在0,π2的图象与x轴围成图形面积等于以故A=12×1×π2故选：BCD．跟踪训练1．（2025·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cotθ=1tanθ，正割函数secθ=1cosθ，余割函数cscθ=1sinθ，正矢函数versinθ=1-cosθ，余矢函数vercosθ=1-sinθ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点

A．versinθ=AM BC．cotθ=BS D．【答案】C【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知sinθ=MP，cosθ=OM，tan【详解】根据题意，易得△OMP∼△OAT∼△SBO∼△PNO，对于A，因为1-cosθ=1-OM=MA，即versin对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，cscθ=1sin对于C，cotθ=1tan对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得secθ=1cosθ故选：C.【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.跟踪训练2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，∠α的终边OP与正方形ABCD交于点Px,y，我们定义∠α的类余弦值Lcosα=x，类正弦值LsinA．对任意的α∈R,B．对任意的α∈R,LC．f(x)=Lcosx在区间D．对任意的α∈R,L【答案】D【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D.【详解】对于AB，当α=π4时，Lcosα=Lsin对于C，Lcos54对于D，正方形ABCD关于直线y=x对称，∠α和π2-∠α的终边也关于直线则∠α和π2-∠α的终边和正方形ABCD的交点也关于直线y=x对称，所以Lcos(故选：D跟踪训练3．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如y=Asinωx的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于y=sin80n2【答案】12【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到ω12π=25k1【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以ω12π=∴80n2+n=25k又∵k1+k2∈Z，且n∈N，n2∈N，∴n的可能值为：1一一代入1式中能同时使k1，k2为整数的经检验：n的值为2和10；所以正整数n的所有可能取值之和为2+10=12.故答案为：12.1（2025·山东青岛·三模）已知函数f(x)=sinωx+π3+b的图象关于点πA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由三角函数图象的对称性可得结果.【详解】由题意，可得b=2，且f(π2)=2所以πω2+π3函数f(x)=sin所以f(2π故选：C.2（2025·江苏扬州·三模）当x∈[0,2π]时，曲线y=sin2x与A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.【详解】作y=sin2x0ππ325374x0ππ3π5372sin010-1010-10作y=2sin2x--0ππ3253715x0π3π5π7π9π11π13π15π22-020-2020-2-在同一坐标系中画出图形，如下图所示，则两个函数在[0,2π]上有4故选：B.3（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数fx=2tanωx+π6ω>0的图象向左平移π3个单位，得到函数A．12 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】利用平移思想，结合正切函数平移π2k,k∈Z都是奇函数，可得【详解】函数fx=2tan得到函数gx由gx为奇函数，则ω因为ω>0，所以ω的最小值是1，故选：B.4（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数fx=tanωx+2π3A．0,13 BC．0,56 D【答案】C【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解.【详解】当x∈0,π时，ωx+2π3得2π3<ω故选：C.5（2025·广东广州·三模）已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图所示，若A，B，C是直线y=mA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由三角函数的性质得出fx的周期，求出ω【详解】由题意可得3T4=7π2-π2所以fx=2sin12所以sinπ4+φ=1，所以又φ<π2，所以φ=因为A，B，C是直线y=mm>0与函数fx图象的从左至右相邻的三个交点，且所以4AB=4π，所以AB所以m=2sin故答案为：B.6（2025·上海闵行·二模）已知函数y=cosπ6x+π3在区间a,a+9上既有最大值1又有最小值A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】D【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可.【详解】由题意可得函数的周期为T=2最大值点满足π6x+π最小值点满足π6x+π因为函数y=cosπ6x+π对于A，若a=2024，当k=169时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间2024,2033内，故A正确；对于B，若a=2025，当k=169时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间2025,2034内，故B正确；对于C，若a=2026，当k=169时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间2026,2035内，故C正确；对于D，若a=2027，当k=169时，最大值点为2026，当k=170时，最大值点为2038，此时不位于区间2027,2036内，故D错误.故选：D7（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数fx=4sinωx+φω>0,|φ|<π的图象向左平移得到gx=4sinωx的图象，其中点A是gx图象上的最高点，N,M分别是fx，gxA．4sinπ6C．4sinπ3【答案】A【分析】设图象向左平移最小θθ>0个单位，得到ωθ+φ=0，再结合三角形△AMN的面积及|MN|=|AM|，列出等式求解ω,φ【详解】函数fx=4sinωx+φω>0,|φ|<则4sin又ω>0,|φ|<π所以ωθ+φ=0，即θ=-φ所以|MN|=-φ三角形△AMN的面积12即φω又函数的周期为2πω所以|AM|=16+π2ω解得：ω=π所以fx故选：A8（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知A,B分别是x,y轴正半轴上的两个动点，且AB=2，如图，以AB为边构造正方形ABCD，分别过点C,D向x轴做垂线，垂足依次为E,F，当点A由2,0向左运动到原点的过程中，四边形CEFD面积的变化趋势可能为（A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角函数表达四边形CEFD的面积，然后利用三角函数变换公式化简，进而根据三角函数的单调性做出判定..【详解】当点A由2,0向左运动到原点的过程中，设∠BAO=θ,θ从0到π2作BN⊥CE于点N，DM⊥CE于M.则∠ADF=∠CDM=∠BCN=∠BAO=θ,所以|DF|=|CN|=|EF|=|OA|=|AB|cos|EN|=|OB|=|AB|sin|CE|=|CN|+|NE|=2所以S=12sin2θ+∵2θ+φ∈φ,所以当0≤θ≤π4-φ2时S四边形CEFD随着θ的增大而增大；当因此当点A由2,0向左运动到原点的过程中，θ从0到π2变化，四边形结合图象，只有C正确.故选：C.9（多选）（2025·河北廊坊·模拟预测）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为y=Acosωt+φ+k（其中A>0,ω>0,0<φ<π,y（单位:m）为港口水深，t（单位:h）为时间，0≤t≤24时间t1471013161922水深y1112.51412.51112.51412.5A．A=2.5B．φ=C．该轮船9点可以进出港口D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时【答案】BC【分析】根据表中数据求出A,ω,φ可判断ABC；求出cosπ6t+5π6≥12时，轮船从0点到【详解】对于A，由表格数据可得A=14-112=1.5对于B，由表格数据可得T=12=2πω，解得ω=所以y=1.5cosπ6所以1.5cosπ6+φ+12.5=11所以φ=5π6对于C，当t=9时，1.5cosπ6对于D，由1.5cosπ6由cosπ6t+即12k-7≤t≤12k-3k∈Z，当k=1时，因为cosπ6t+5π6≥12>故选：BC.10（多选）（2025·安徽合肥·模拟预测）对于函数fx=sin2x和A．fx与gB．fx与gC．fx与gD．fx与g【答案】BCD【分析】求出两函数的零点判断A；根据最大值判断B；求出两函数的最小正周期判断C；求出两函数的对称轴判断D.【详解】令fx=0，解得：x=kπ2所以fx与gx零点不相同，故fx与gx有相同最大值1，故y=sin2x与y=cos2x与所以函数fx=sin2x和gxfx与gx有相同的对称轴为x=kπ故选：BCD.11（多选）（2025·江西·二模）在平面直角坐标系中，曲线C由函数y=cosx-3π4≤x≤A．C关于直线x=πB．C关于点π4C．直线x=a被C截得的线段长的最大值为2D．C围成的图形的面积大于2【答案】AC【分析】根据函数的图象判断A，B，结合三角函数值域判断C，应用割补法判断D.【详解】画出C的图象，由图可知A正确，B错误；直线x=a-3π4≤a≤5π4被当-3π4≤x≤π4时，如图，4个阴影部分面积相等，区域②的面积小于区域①利用割补法知曲线C在-3π4π4上围成的图形的面积小于以π2为宽、2为高的矩形ABCD的面积π，即曲线C围成的图形的面积小于故选:AC.1（2025·福建宁德·三模）若函数fx=2sinπ2x-π4在区间a,a+1A．-2≤m≤-22 BC．2≤M≤2 D．【答案】B【分析】AB选项，π2x-π4∈π2a-π4,π2a+π【详解】AB选项，x∈a,a+1时，π其中π2显然m的最小值为-2，只需π2a-π当π2a-π4=故-2≤m≤2，A错误，BCD选项，同理M的最大值为2，只需π2a-π当π2a-π4=-故-2≤M≤2，故选：B2（2025·天津红桥·模拟预测）设a∈R，函数f(x)=cos(2πx-2πa),x<ax2-2(a+1)x+aA．(2,94]∪(52,114]【答案】A【分析】由二次函数最多两个零点，讨论f(x)=cos2π(x-a)在x∈（0，a)区间分别取4、5、6个零点时的a的取值范围，再讨论fx=x2-【详解】⸪函数fx在区间0,+∞内恰有⸫当x<a时，fx令f(x)=cos2π解得：x=k2+14+a，⸪x∈当x<a时，f(x)=cos①若fx有4个零点，此时-5≤-2a-12②若fx有5个零点，此时-6≤-2a-③若fx有6个零点，此时-7≤-2a-当x≥a时，fx令Δ=4(a+1)①若a<2，fx没有零点；②若a=2，x=3，f③若a>2，fa=a当-2a+5≥0时，即2<a≤52，f当-2a+5<0时，即a>52，f综上所述，函数fx在区间0,+∞内恰有74<a≤94解得a∈故选：A.3（多选）（2025·四川成都·模拟预测）函数fx=5sinx+5cosA．a=-2B．tanC．当π4≤x≤D．若π4≤x1【答案】BCD【分析】对于选项A，根据图象平移前后的三角函数化简可求得a的值；对于选项B，直接根据正切公式化简即可求得；对于选项C，D，根据正弦函数的性质进行求解即可.【详解】对于A：fx=5sinx+又gx∴a2+9=10且a<0，对于B：由于tanφ=tanθ-π4=对于C：由π4≤x≤3从而g(x)min=10对于D：π4≤x1<从而x1则gx1+x故选：BCD.4（多选）（2025·浙江·二模）已知函数fx=sinA．π是fxB．fx的图象关于点πC．fx的图象关于直线x=D．fx在区间π【答案】ACD【分析】通过三角恒等式化简函数表达式为fx=cos22x-4cos2x-14【详解】fx=sin因为fx+π=cos2因为fπ2-x+fx=cos因为fπ-x=cos22π-x-4当x∈π2,π时，2x∈π,2π又y=t2-4t-14,t∈-1,1单调递减，由复合函数的单调性可得f故选：ACD.5（多选）（2025·河北·模拟预测）已知函数fx=sinωx+φω>0,A．当ω=23时，φ=π3 BC．当ω=3时，φ=π6或φ=-5π6 D．当ω=1【答案】BD【分析】对于选项中的每个ω的值进行验证，求出函数fx的最小正周期，分析可知直线x=π4为函数fx的一条对称轴，利用正弦型函数的对称性结合φ的取值范围，求出φ【详解】对于A选项，当ω=23时，此时函数fx的最小正周期为T=因为f0=fπ2=-f所以23×π因为φ<π，所以φ=π当φ=-2π3时，fxf-π=当φ=π3时，fxf-π=综上所述，当ω=23时，φ=π3或对于B选项，当ω=2时，fx此时函数fx的最小正周期为T=因为f0=fπ2=-f所以2×π4+φ=k因为φ<π，所以φ=0，此时fx=sin对于C选项，当ω=3时，fx函数fx的最小正周期为T=因为f0=fπ2=-f所以3×π4+φ=k因为φ<π，所以φ=-π当φ=-π4时，fxf-π=当φ=3π4时，fxf-满足f0故当ω=3时，φ=-π4或3π对于D选项，当ω=1时，fx函数fx的最小正周期为T=2因为f0=fπ2=-f所以π4+φ=kπ因为φ<π，所以φ=-3π当φ=-3π4时，fxf-π=当φ=π4时，fxf-π=故当ω=1时，φ=π4或φ=-3π4故选：BD.6（多选）（2025·吉林·三模）已知函数fx=sinA．fx的周期为B．fx的图象关于x=C．fx在0,π上恰有D．若fωxω>0在0,π2【答案】ABD【分析】对于A，根据周期函数的定义判断即可；对于B，通过计算判断方程fπ4+x=fπ4-x是否成立即可；对于C，根据fx【详解】①当x∈2kπ,2k②当x∈2kπ+π③当x∈2kπ+π,2k④当x∈2kπ+3因此，fx=sin所以函数fxA选项：因为f=sinxcosx+cosxB选项：因为f==cos所以fx的图象关于x=π4C选项：由fx当x=0时，fx=0，当x∈0,π2时，f所以fx在0,π上有无数个零点，故D选项：由ω>0，0≤x≤π2，得因为fωxω>0在0,π2上单调递增，所以由解得0<ω≤12，则ω的最大值为12故选：ABD.7（2025·北京海淀·一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮A和转轮B组成，B的圆心固定在转轮A上的点Q处，某个座椅固定在转轮B上的点M处．A的半径为10米，B的半径为5米，A的圆心P距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，A与B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A旋转一周用时π分钟，B旋转一周用时π2分钟．当Q在P正下方且M在Q正下方时，开始计时，设在第t分钟M距离地面的竖直高度为h①hπ②ht最大值是35③M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；④存在t0∈0,π，使得t=t0时M其中所有正确结论的序号为．【答案】①③【分析】根据题意，可求得在第t分钟M距离地面的竖直高度为ht=-10【详解】转轮A与转轮B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A旋转一周用时π分钟，B旋转一周用时π2分钟，可得最小正周期TA=π，TB=又A的半径为10米，A的圆心P距离地面竖直高度为20米，所以第t分钟，Q点距离地面的高度为：ft第t分钟，M距离地面的竖直高度为：ht化简得ht所以hπ4=-10当cos2t+12=0，即cos2t=-12若M到P的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需4t=2t+2kπ所以不存在t0∈0,π，使得t=t0时M到P因为A旋转一周用时π分钟，B旋转一周用时π2分钟，所以可得点Q在圆周上的速度为20ππ=20，同理可得点M在圆周上的速度为10ππ2=20，所以点M在竖直方向上的速度大小低于40故答案为：①③.8（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，则铁棒的长度L=（用含θ的表达式表示）；当a=b=2m时，能够通过这个直角走的铁的长的最大值为.【答案】L=bsin【分析】第一空：根据示意图及三角函数定义，即可得长度L的表达式；第二空：根据第一空的表达式，化简可得L=41sin22θ+1sin2θ，令t=【详解】作出示意图，铁棒AB=L，∠ACD=∠CBE=θ，AD=b,BE=a在△ACD中，AC=AD在△BCE中，BC=BE所以AB=L=AC+BC=b当a=b=2mL==4令t=1sin2θ，因为θ∈所以sin2θ∈(0,1]，t≥1所以L=41sin2所以当t=1时，即θ=π4时，L的最小值为所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为42故答案为：L=bsin1（2025·全国一卷·高考真题）若点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx-π3的图像的一个对称中心，则A．π6 B．π3 C．π2【答案】B【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.【详解】根据正切函数的性质，y=2tan(x-π即y=2tan(x-π即a=π又a>0，则k=0时a最小，最小值是π3即a=π故选：B2（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sinA．3 B．