《时间序列分析》课件 第11章 ARCH模型与 GARCH模型

时间序列分析

张成思第11章ARCH模型与GARCH模型

11.1背景介绍

11.2ARCH模型

11.3GARCH模型

11.4非对称GARCH模型:TGARCH模型与EGARCH模型

11.5其他GARCH模型11.1背景介绍

AR模型因为自身经常表现出较高的平滑性而可以用来捕捉相对频率较低的时间序列变量，如月度、季度通胀率、GDP增长率等。对这样的时间序列数据其进行AR模型回归之后的残差序列一般不表现出很强的异方差性。图11-1中国M2同比增长率与其AR模型残差序列:1996年12月—2024年4月图11-2上海证券综合指数收益率和深证成份指数收益率

11.2ARCH模型

11.2.1ARCH模型的定义ARCH模型的核心思想是，误差项在时刻t的方差依赖于时刻t

1的误差平方的大小。因此，在ARCH建模的过程中，要涉及到两个核心的模型回归过程，即原始的回归模型（常被称为条件均值回归模型）和方差的回归模型（条件异方差回归模型）。

ARCH(1)模型的基本组成形式：(13.1)

(13.2)

其中：

和

分别表示因变量和自变量，

表示无序列相关性的随机扰动项。表示在t时刻随机扰动项的方差，因为方差随时间变化，并且以过去的扰动项的信息为变化条件，所以称为“条件异方差”。

模型(11.1)表示原始回归模型，在ARCH以及后面介绍的GARCH模型系统中，经常被称为“条件均值等式”，或者简称为“均值等式”。而模型(11.2)体现的ARCH模型的核心内容，该等式被称为“条件方差等式”，或者简称为“方差等式”。

注意，凡是提到ARCH模型，实际上一定包含模型(11.1)和(11.2)这样的两个等式，缺一不可。另外，“方差等式”模型(11.2)有时候也可以写成下面的形式，即：

模型(11.1)和(11.2)构成了ARCH(1)模型，而更一般的，我们可以将这个模型系统拓展到ARCH(p)的形式，即：

(13.15)图11-3上海证券综合指数收益率AR(1)模型残差及残差平方项的样本自相关函数图

可观察到，残差项自身在各期之间没有表现出明显的自相关性，而其平方项呈现出较强的自相关性，说明残差平方项可能符合自回归模型的特点。

所以，我们可以通过

的历史信息来预测

。一般情况下，我们经常会观察到残差平方项之间存在一定的正相关性。这就是我们常说的股票市场波动性的集群现象，从图13-2中我们已经看到这样的现象。

ARCH模型突出了条件期望的概念，而在传统的回归模型当中，我们以前经常使用的是无条件方差的概念。为了说明问题，我们以AR(1)模型

为例。这里，对扰动项的无条件方差和条件方差可以分别写成：表11-1无条件方差和条件方差对应的期望结果11.2.2ARCH模型的属性

(13.6)(13.7)(13.8)

(13.9)

11.2.3ARCH模型的估计与检验

利用模型(11.7)还可以对回归模型的参差项进行直接检验ARCH效应。步骤如下：

11.3GARCH模型11.3.1GARCH(1,1)模型的基本定义GARCH(1,1)模型的基本表达形式：

由于GARCH(1,1)模型的方差等式比ARCH模型的方差等式多了一项，为了便于区分，

被称为ARCH项，而

称为GARCH项。

11.3.2GARCH(q,p)模型

11.3.3GARCH模型的属性(13.27)(13.28)对于模型，如果下列方程

的根都落在单位圆外，即满足平稳条件:

的根都落在单位圆外，那么GARCH模型系统中的方差等式为平稳过程。另外，

11.3.4GARCH模型的估计与检验

这里，我们介绍的GARCH模型的估计过程，通过同时设立均值等式和方差等式，然后直接获得估计结果。而ARCH模型只不过是GARCH模型的一个特殊情况，所以这里介绍的GARCH模型估计过程和估计方法等，同样适用于ARCH模型。

要估计GARCH模型，首先要明确组成一个GARCH模型的均值等和方差等式的具体形式。例如，如果我们要对标准普尔500股票收益率

进行AR(1)回归，并检验回归残差项是否具有GARCH效应，那么可以设立下面的GARCH(1,1)模型，即：

13.3.5GARCH模型与波动预测

在计量经济学发展的早期,经常使用残差的平方项来直接代表金融序列变量收益率的波动性σt2。

图11-4上海证券综合指数收益率AR(1)模型残差的平方项序列我们使用模型(11.18)中的GARCH(1,1)模型例子来说明如何获得波动性的序列σt2,即传统的做法是假设u0=y0=0,而设定σ20等于无条件方差σ2,即图11-5上海证券综合指数收益率GARCH(1,1)模型的条件波动性σ2序列表11-3标准普尔500指数收益率的GARCH(1,1)模型估计结果表11-4道琼斯工业平均指数收益率的GARCH(1,1)模型估计结果图11-6残差序列与条件波动性序列比较:标准普尔500指数与道琼斯工业平均指数收益率

假定通过上述过程获得的样本内最后一个观测值为

，

那么我们可以通过GARCH模型来获得样本外的波动性预测。

例如，对于向前一期的预测，可以通过下式获得，即：

对于向前多期的动态预测，可以通过循环过程实现，即：

随着预测期间的增大，

最终要收敛到无条件方差的水平，即：

11.3.6GARCH-in-Mean模型简单的GARCH(1,1)-in-Mean模型可以定义成如下形式，即：

把模型(11.35)拓展到GARCH(q,p)的形式：

11.4非对称GARCH模型:TGARCH模型与EGARCH模型11.4.1非对称GARCH模型的背景介绍

由于在GARCH模型的方差等式

中

，条件方差很可能无法区分正的和负的冲击可能造成的不同影响。

因此，利用GARCH模型分析金融资产收益率的波动性问题，常常需要考虑到这种非对称影响，而非对称GARCH模型也就应运而生了。而这种非对称性的反应有时称为杠杆效应。我们下面分别介绍两种典型的非对称GARCH模型，即TGARCH和EGARCH模型。11.4.2TGARCH模型

所谓TGARCH模型，即门限GARCH模型，就是指利用虚设变量来设置一个门限用以区分正的和负的冲击对条件波动性的影响。

以GARCH(1,1)为例，要建立只有一个门限的TGARCH模型，首先，设立一个虚设变量，满足以下条件，即

然后，设立GARCH模型的方差与均值等式:

如果将模型(11.38)中的方差等式明确的表示出来，可以写成：

如果

，那么TGARCH模型捕捉了一定的非对称性。当

时，TGARCH模型就变回到一般的GARCH模型。在一般GARCH模型中，只要

，就可以确保模型系统具有恒定的无条件方差。而对于TGARCH模型，不难证明，必须满足下列条件，才能确保模型系统具有恒定的无条件方差，即：

。

虽然以上讨论的内容是基于只有一个门限的TGARCH(1,1)模型的，但可以推广到含有多个门限的TGARCH(q,p)模型，只要将模型(11.37)进行拓展，即：

其中，r代表门限个数。并且，如果

，则

；如果

，则

。11.4.3EGARCH模型

简单的EGARCH(1,1)模型可以设立如下：

从模型(11.40)可以看到，EGARCH模型中的非对称性表现为

如果要检验EGARCH模型中的非对称性是否存在，就是要进行下列假设检验：

EGARCH(1,1)模型可以拓展到更一般的EGARCH(q,p)模型，即

GARCH模型设立检验

基本思想：首先设立一般GARCH模型，不包含任何非对称因素，并获得残差序列

和标准差序列

；然后定义

进而进行以下回归:

其中：

表示信息集，包含可能与

相关的变量的向量。

如果要检验条件方差是否具有非对称反应，可以使用类似模型(11.37)的条件来定义

。原假设是要检验

对

没有任何解释力，即：

一般采用似然比检验来对模型(11.48)进行检验，似然比统计量的定义为：