2025-2026学年四川省绵阳市东辰学校九年级（上）开学数学试卷参考答案

第1页（共1页）2025-2026学年四川省绵阳市东辰学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案AADDADADCDA题号12答案B一．选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2＝﹣2 B．x3﹣2x+1＝0 C．x2+3xy+1＝0 D．解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；B、该方程属于一元三次方程，故本选项不符合题意；C、该方程中未知数项的最高次数是2且含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；D、该方程是分式方程，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A．2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，解得：m＝﹣3．故选：A．3．（3分）抛物线y＝﹣3x2﹣4的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（0，4） D．（0，﹣4）解：根据题意，得抛物线y＝﹣3x2﹣4的顶点坐标是（0，﹣4），故选：D．4．（3分）抛物线y＝x2，y＝﹣3x2的共同性质是（）A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点解：抛物线y＝x2，开口向上，有最小值，对称轴是y轴，顶点在原点；y＝﹣3x2开口向下，有最大值，对称轴是y轴，顶点在原点；∴两个函数的共同性质是顶点在原点，对称轴是y轴．故选：D．5．（3分）要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2（x+1）2﹣3，则抛物线y＝2x2必须（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位解：抛物线y＝2x2必须向左平移1个单位，再向下平移3个单位才得到y＝2（x+1）2﹣3．故选：A．6．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故选：D．7．（3分）等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10＝0的两根，则它的周长为（）A．12 B．12或9 C．9 D．7解：方程分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x＝2或x＝5，当2为腰时，三边长分别为：2，2，5，不能构成三角形，舍去；当2为底时，三边长为5，5，2，周长为5+5+2＝12．故选：A．8．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，∴，解得：m≤2且m≠1．故选：D．9．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（）A． B． C． D．解：选项A，直线下降a＜0，抛物线开口向上，a＞0，不符合题意．选项B，直线下降，a＜0，抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，﹣a＜0，即a＞0，不符合题意．选项C，直线上升，a＞0，抛物线开口向上a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，﹣a＜0，即a＞0，符合题意．选项D，直线上升，a＞0，抛物线开口向下a＜0，不符合题意．故选：C．10．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？若设每个横彩条的宽度为2xcm，则每个竖彩条的宽度为3xcm，则根据题意，列方程为（）A． B． C． D．解：若设每个横彩条的宽度为2xcm，则每个竖彩条的宽度为3xcm，剩余部分可合成长为30﹣2×2x＝（30﹣4x）cm，宽为20﹣2×3x＝（20﹣6x）的矩形，根据题意得：（20﹣6x）（30﹣4x）＝（1﹣）×20×30．故选：D．11．（3分）关于未知数x的方程kx2+4x﹣1＝0只有正实数根，则k的取值范围为（）A．﹣4≤k≤0 B．﹣4≤k＜0 C．﹣4＜k≤0 D．﹣4＜k＜0解：由题知，当k＝0时，方程为4x﹣1＝0，解得x＝，所以k＝0符合题意．当k≠0时，则x＝．因为方程只有正实数根，所以k＜0且16+4k≥0，解得﹣4≤k＜0，综上所述，k的取值范围是﹣4≤k≤0．故选：A．12．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），∵Δ＝a2+4b2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．二．填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）若y＝（k﹣2）x|k|﹣1是关于x的二次函数，则k的值是﹣2．解：由题意得，|k|＝2且k﹣2≠0，解得k＝﹣2，故答案为：﹣2．14．（4分）已知A（﹣2，y1），B（1，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的两点，则y1＞y2．解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的两点，∴，，∴y1＞y2，故答案为：＞．15．（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是8个．解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝73，解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去），∴每个支干长出8个小分支．故答案为：8．16．（4分）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac＜0（填写“＞”或“＜”或“＝”）解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜．17．（4分）若a，b是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，则2a2+3ab+5b的值为12．解：∵a，b是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，∴，，∵a是方程2x2﹣5x﹣1＝0的根，∴将x＝a代入得2a2﹣5a﹣1＝0，即2a2＝5a+1，再将其代入到2a2+3ab+5b中得5a+1+3ab+5b＝5（a+b）+3ab+1，将，代入得＝＝12，故答案为：12．18．（4分）已知m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则代数式的值为11．解：将n2+2n﹣1＝0可得n≠0，方程两边同时除以n2，得，即，∵m2﹣2m﹣1＝0，∴m和同时满足x2﹣2x﹣1＝0，又∵mn≠1，∴，∴m和是x2﹣2x﹣1＝0的两个不同根，∴，∵＝＝，将代入，原式＝5×2+1＝11，故答案为：11．三．解答题（本大题共7小题）19．解方程：（1）4（x+1）2＝9x2；（2）x2﹣7x﹣1＝0；（3）x（2x﹣5）＝4x﹣10；（4）．解：（1）4（x+1）2＝9x2，∴4（x+1）2﹣9x2＝0，∴[2（x+1）﹣3x][2（x+1）+3x]＝0，∴（﹣x+2）（5x+2）＝0，∴﹣x+2＝0或5x+2＝0，解得x1＝2，；（2）x2﹣7x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣1）＝49+4＝53＞0，∴，∴，；（3）x（2x﹣5）＝4x﹣10，∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得，x2＝2；（4），∵a＝7，b＝﹣，c＝﹣5，∴Δ＝b2﹣4ac＝＝6+140＝146＞0，∴＝，∴，．20．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．解：（1）根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，解得k≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2+1，∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＝11，∴k2+1+4（k﹣1）+4＝11，解得k1＝﹣2+，k2＝﹣2﹣，∵k≤0，∴k的值为﹣2﹣．21．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．（1）求这条抛物线的解析式．（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？解：（1）由图象可知，抛物线的顶点坐标为（6，4），过点（12，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4，则0＝a（12﹣6）2+4，解得，a＝﹣，即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+4；（2）当x＝（12﹣4）＝4时，y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3，∴货船能顺利通过此桥洞．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动t（s）；（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2．（2）设四边形APQC的面积为S（cm2），当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？解：（1）运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t，∴S△BPQ＝PB•BQ＝24t﹣4t2＝32，解得：t1＝2，t2＝4．答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2．（2）S＝S△ABC﹣S△BPQ＝AB•BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144＝108，解得：t＝3．答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2．23．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意，得400（1+x）2＝576，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%；（2）设这种台灯售价应定为m元，根据题意，得（m﹣30）[576+（40﹣m）]＝4800，解得m1＝38，m2＝80，∵售价在35元至40元范围内，∴m＝38，答：这种台灯售价应定为38元．24．综合与实践【主题】黄金分割数【素材】如图1，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．【实践操作】（1）若设线段AB＝1，AP的长为x，则BP可表示为1﹣x，∵BP：AP＝AP：AB，∴（1﹣x）：x＝x：1，…，根据此方法可计算出黄金分割数为（结果保留根号）．【实践探索】（2）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为80cm，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．解：（1）由（1﹣x）：x＝x：1得，x2＝1﹣x，则x2+x﹣1＝0，解得x＝（舍负），所以黄金分割数为．故答案为：；（2）设“千斤”下面一截琴弦长为ycm，则，解得y＝，所以“千斤”下面一截琴弦长为（）cm．25．如图1，抛物线与x轴交于点A，B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时（不含B、C点），设△BPC面积为S，写出S与P点横坐标x的函数关系