第01讲 函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题（解析版）

第1讲函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题【方法技巧与总结】1、不动点与稳定点【一阶不动点】对于函数，定义域为，如果存在，使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点．①不动点是方程的解②不动点是与图像交点的横坐标【二阶周期点】对于函数，定义域为，如果存在，使得且，则称为函数的二阶周期点①二阶周期点是方程组的解②二阶周期点是图像上关于对称（不在上）的两点的横坐标【二阶不动点】对于函数，定义域为，如果存在，使得则称为函数的二阶不动点，简称稳定点①稳定点是不动点和二阶周期点的并集②稳定点是图像上关于对称的两点的横坐标以及与的交点的横坐标2、两函数的对称问题转化为函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）问题，常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【典型例题】例1．（2024·山东青岛·高三统考开学考试）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，先画出函数的图象,这是一个圆弧AB，圆心为,如图所示，由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，即当圆心在x轴上时，所以最大值即为，，所以最大时的正切值为.故选：B.例2．（2024·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，则．即函数在原点的切线的斜率，所以．由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角大于时，旋转所得的图象与轴就会存在两个交点，此时曲线不是函数的图象，故的最大值是．故选：B．例3．（2024·江西·校联考模拟预测）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，则有两解，令，则，所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以在处取得极小值，所以，所以，的取值范围为.故选：A.例4．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，所以有两解，令，则，所以当时，0，此时函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以在处取得极大值，，且时，的值域为，时，的值域为，因此有两解时，实数的取值范围为，故选：C.例5．（2024·全国·高三专题练习）对于连续函数，若，则称为的不动点．设，若有唯一不动点，且，，则．【答案】【解析】由有唯一不动点，即方程有唯一解，即有唯一解，所以，解得，所以，又由，可得，所以，从而是一个公差为的等差数列，首项为，所以，所以，即．故答案为：.例6．（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，现新定义：若满足，则称为的次不动点，有下面四个结论①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点．④不存在正整数m，使得函数在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为．【答案】②③【解析】对于①:取函数，，既是的不动点，又是的次不动点，故①错误；对于②:定义在上的奇函数满足，故②正确；对于③:当时，，即.令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；当时，即.令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；综上时函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正确;对于④:假设函数在区间上存在不动点，则在上有解，即在上有解，令，则，再令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，，所以实数满足，存在正整数满足条件，故④错误：故答案为：②③例7．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数，如果存在点，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点满足，则称为的双重不动点．则下列函数中，①；②；③具有双重不动点的函数为．（将你认为正确的函数的代号填在横线上）【答案】①③【解析】对于①，，，所以，又，，则是的双重不动点；对于②，，，，令，当时，由基本初等函数图象易知，所以，当时，显然成立，所以不存在，使得，故函数不是具有双重不动点的函数；对于③，，，则，又，，所以是函数的双重不动点；综上，具有双重不动点的函数是①③.故答案为：①③.【过关测试】一、单选题1．（2024·安徽池州·高三统考期末）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是A． B．1 C． D．0【答案】B【解析】由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．设处的点为，的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，旋转后的对应点也在的图象上，同理的对应点也在图象上，以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当（1）时，即，此时，不满足函数定义；当（1）时，即，此时，不满足函数定义；当（1）时，即，此时，，，，不满足函数定义；故选．2．（2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（

）A． B．3 C．-3 D．0【答案】A【解析】对于A项，若，则构造如图1的函数图象，使得点，根据定义可得图象上不存在关于轴对称的点，符合函数的定义，所以的取值可能是.故A正确；对于B项，若，构造如图2的函数图象，使得点，根据定义可推得点，所以有，不符合函数的定义，故B错误；对于C项，若，构造如图3的函数图象，使得点，根据定义可推得点，所以有，不符合函数的定义，故C错误；对于D项，若，构造如图4的函数图象，使得点，根据定义可推得则点，所以.又，所以，不符合函数的定义，故D错误.故选：A.3．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点，两动点，且绕点逆时针旋转到所形成的角记为，设函数，其中令，作，随着的变化，就得到了点的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先考虑与共线的蝴蝶身方向，令，则，所以，令，则，所以，所以排除AC，先考虑与垂直的蝴蝶身方向，令，则，所以，所以排除D，故选：B4．（2024·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数关于x轴对称的函数为，根据题意和在上有两个交点，即所以令由令，可得或故当时，，为减函数，当时，，为增函数，由，，，所以时有两解，故选：B5．（2024·贵州六盘水·高三校考期末）已知函数是自然对数的底数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数a的取值范围是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知，得到方程a﹣x3＝﹣3lnx⇔﹣a＝3lnx﹣x3在[，e]上有解．设f（x）＝3lnx﹣x3，求导得：f′（x）＝﹣3x2＝，∵≤x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，∵f（）＝﹣3﹣，f（e）＝3﹣e3，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a＝2lnx﹣x2在上有解等价于3﹣e3≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e3﹣3]．故答案为C.6．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）若函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意得到=-+3lnx,这个方程由两个不同的根，变量分离得到，是导函数的根，函数在，故函数先减后增，且；则使得两个函数y=a和g(x)有两个交点只需，即.故答案为A．7．（2024·湖北·校联考二模）已知函数（为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，在上有两个解，则，令，，则，令，令，得在单调递减，上单调递增，又，所以.故选：B．8．（2024·全国·高三专题练习）函数定义在上，已知的图象绕原点旋转后不变，则关于方程的根，下列说法正确的是（

）A．没有实根 B．有且仅有一个实根C．有两个实根 D．有两个以上的实根【答案】B【解析】函数定义在上，的图象绕原点旋转后不变，与其反函数是同一个函数，关于对称，原点是它的对称点，当时，，，解得，是唯一解．方程有且仅有一个实数根．故选：．9．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】原问题等价于在有零点，而，∴，单调递减，，单调递增，又，由可判断，因而的值域为，又有零点，有，所以.故选：D.10．（2024·青海海南·高三校联考期末）已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，、关于轴对称，∴与在上有交点，则在有解，令，则，，∴在上递增，而，∴在上，递减；在上，递增；∴，故只需即可，得.故选：B11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函数与的图象上存在关于轴对称的点，即有解，即函数与函数的图象有交点，在同一坐标系内画出函数与函数的图象．由图象，得，即；故选B.12．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，.若在区间上存在不动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得，在上有解，即有解，令，，则，令函数，，当时，，所以在上单调递增，，所以为偶函数，所以在上单调递减.，，故，，故选：A.13．（2024·山东菏泽·统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得，，则，且，所以.又，.令，，则恒成立，所以，在上单调递增，所以，所以.所以，，即.令，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以在上单调递减.又，，所以.因为在上单调递减，，所以.又，所以，即.令，，则恒成立，所以，在上单调递减.又，，所以.综上可得，.故选：C.14．（2024·河南开封·统考一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得若函数为不动点函数则满足，即，即设，设所以在单调递减，且所以在上单调递增，，所以在上单调递减，所以当则当则所以的图像为：要想成立，则与有交点，所以故选：B15．（2024·全国·高三专题练习）对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是（

）A．对于函数，有成立B．若是二次函数，且A是空集，则B为空集C．对于函数，有成立D．对于函数，存在，使得成立【答案】D【解析】对于A：函数，，故A正确.对于B：若A是空集，则恒成立或恒成立.若恒成立，用代替x可得，同理可得，所以无解，即B为空集，故B正确.对于C：函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且.又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确.对于D：函数，，，，故D错误.故选：D16．（2024·全国·高三专题练习）对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，由，得有解，所以，解得由得两式相减，得，因为，所以，消去，得，因为方程无解或仅有两个相等的实根，所以，解得，故a的取值范围是故选：D.17．（2024·全国·高三专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意知，令，，，为奇函数，，且当时，，当时，，单调递减，在R上单调递减，由，得，即，，即，，为函数的一个不动点，，即，，即关于x的方程在上有解.令，，则，在上单调递减，，要使关于x的方程在上有解，则，即实数a的取值范围为.故选：B二、多选题18．（2024·安徽六安·高三六安一中校考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（

）A．函数有3个不动点B．函数至多有两个不动点C．若函数没有不动点，则方程无实根D．设函数(，e为自然对数的底数)，若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A，令，，，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，而，即在R上只有一个零点，函数只有一个不动点，A不正确；对于B，因二次函数至多有两个零点，则函数至多有两个不动点，B正确；对于C，依题意，方程无实数根，即，当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根，当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根，所以函数没有不动点，则方程无实根，C正确；对于D，点在曲线上，则，又，即有，当时，满足，显然函数是定义域上的增函数，若，则与矛盾，若，则与矛盾，因此，当时，，即当时，，对，，令，，，而两个“=”不同时取得，即当时，，于是得在上单调递增，有，即，则，D正确.故选：BCD19．（2024·全国·高三专题练习）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】如上图所示，分别是绕着原点逆时针方向旋转，，，，所得到的的曲线，根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.故选：ABCD．20．（2024·新疆克孜勒苏·高三统考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】选项A，若，则，解得或，故该函数是“不动点”函数；选项B，若，则，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项C，若，则，得，且，解得，该函数是“不动点”函数；选项D，若，则，即，在同一坐标系中，作出与的函数图象，如图，由图可知，方程有实数根，即存在，使，故该函数是“不动点”函数．故选：ACD.21．（2024·广东珠海·高三校考期末）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家布鲁伊·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个定点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点，则下列说法中正确的有（

）A．函数是“不动点”函数B．函数的不动点为和3C．函数的导函数是“不动点”函数D．函数的导函数不是“不动点”函数【答案】ABD【解析】对于A,由于的定义域为，且，所以是的不动点，故是“不动点”函数，A正确，对于B,令，则，解得或，故函数的不动点为和3，B正确，对于C，由于，定义域为,令，则，则当单调递增，当单调递减，所以，故，故无实数根，因此不是“不动点”函数，C错误，D正确，故选：ABD22．（2024·全国·高三专题练习）（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】选项A，若，则，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若，则，解得或，故该函数是“不动点”函数；选项C，若，则，得，且，解得，该函数是“不动点”函数；选项D，若，则，即，在同一坐标系中，作出与的函数图象，如图，由图可知，方程有实数根，即存在，使，故该函数是“不动点”函数．故选：BCD三、填空题23．（2024·全国·高三专题练习）设函数．（1）该函数的最小值为；（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是．【答案】2，【解析】（1）先画出函数的图象由图可知，该函数的最小值为2．（2）由图可知，当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于时，曲线都不是一个函数的图象则的取值范围是：，．故答案为：2；，．24．（2024·浙江温州·统考一模）