留数定理在计算实积分中应用

第一章引言留数定理是复变函数中的一个重要理念，是复变函数论中的紧要组成部分，是解析函数沿一条正向简单闭曲线的积分值。在计算实积分和复积分的过程当中和级数求和的过程当中都非常重要，尤其是当被积函数的原函数求和不成功或数项级数的求和较困难时便更能发挥出它的作用。使用留数定理我们能够把所需积分变动成沿闭合路线的复变函数的积分，进一步把所需积分转化为留数加以计算。利用留数定理计算实积分即：为,继而选择辅助函数f(z)，在闭合区域上对f(z)利用留数定理简化题目。留数定理还可以应用在其他题目中，比如针对一些较困难的级数求和的题目，也能够使用留数定理。在计算积分中使用留数定理，能让计算更为简捷，减少计算时间，简化计算步骤，若是对少许原函数不容易直接求得的定积分和反常积分，则更能带来非常好的效果。利用留数来计算定积分，是有着基本步骤的，其中一个重要环节是选择一个适合的辅佐函数和一条对应的周线，从而将定积分的运算转化成复积分的计算，但如果出现以下情况，即辅佐函数是多值解析的或者被积函数是多值解析的，则要适当割开平面。留数定理与积分运算之间有着密切联系，因此对两者之间的关系进行深刻理解非常重要。本文根据留数定理分别从定积分，复积分以及级数求和的角度讨论有关积分运算的应用。第二章留数定理2.1留数定义定义2.1.1的，即在点的内，那么称为，记为参考文献[1]参考文献[1]2.2留数的计算方法定理2.2.1（1）若为的一阶极点，则（2）为的阶极点，则（3）设，和在解析，若，则为的一阶极点，例2.2.1计算解：在和一个二级极点所以例2.2.2计算积分，为正向圆周解：有一个的所以例2.2.3计算解：，令得，即因为所以是得2.3留数定理定理2.3.1内，除，在上除，则（“”）[2][2]证，为，使及其，，应用得[3][3]由留数的定义，有代入上式，即得为真第三章留数定理在计算实积分中的应用3.1计算型积分的，而且在.如果令，则，，，当时，沿的，所以，右端为的有理函数的周线积分，而且积分路径上没有奇点，只需应用留数定理就能求得它的值.注在这里重点是引入变数代换，而被积函数在上的连续性可以先不检验，只需要看变换后的被积函数在上是否有奇点.例3.1.1计算积分解：令，则，当从到时，沿绕行一周，所以而函数在上有两个奇点，其中只有在的内部，由，得例3.1.2计算积分解：其中是的根，且所以3.2计算型积分为了计算这种反常积分，我们需要证明一个引理.它作用是估计辅助曲线上的积分.引理3.2.1设沿圆弧（，充分大）上连续，且于上一致成立（即与中的无关），则[4].[4]证因为，则有.对于任给，由已知条件，存在，使当时，有不等式，.于是不超过（其中为的长度，即）.定理3.2.1设为，其中与为，且：（1）；（2）在上.于是有.证由已知条件以及数学分析中的结论，知存在，而且等于它的主值.记为.取上半圆周作为辅助曲线.则由线段以及合成一周线，先取充分大，使内部包含在上半平面内的一切.而由已知条件，在上没有奇点.，或写成.因为，由已知条件知，故沿上，就有.在等式中令，并根据引理，知的积分之极限为零，这就证明出例3.2.1计算积分解：由于为到且所以在上半平面只有一个二级极点，且在实数轴上没有奇点所以3.3计算型积分引理3.3.1设函数（，充分大）上连续，且在上一致成立.则[5][6][7][8][9][10][11][12][13][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15]证对于任给的，存在，使当时，有.于是，就有，这里利用了，以及.于是，由（若尔当不等式），将化为定理3.3.1设，其中以及是，且符合条件：（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3）.则有.特别来说，将，可知类似以及的积分.根据，，.例3.3.1计算积分解：令，这样就可以写为，因为，从到，而且有所以得由上式，在有两个和在这两个点的分别是代入得例3.3.2计算积分解：令，即为形式，因为是，所以有化为从到，而且所以可以写成得在只有一个3.4计算积分路径上有奇点的积分在中，，也能这样去做，与类似，又在定理（设，在这里以及是，且满足条件：(1)的次数高；(2)在实轴上；(3).则有）中假设没有实零点，现在我们允许有有限多个一阶零点，将条件放大，就是允许函数在实数轴上有有限个，为了估计我们去掉这些极点后沿辅助路径的积分，我们还需要引进另一个引理.[2]引理3.4.1设沿圆弧（，充分小）上连续，且于上一致成立，则有.证因为，于是就有.所以能得知上面的式子在r充分小的时候，它的值不会超过任意给定正数.例3.4.1计算积分解：因为存在，且又因为其中与为互质多项式，且的次数比的次数高有有限个一级零点.即得第四章留数定理在复积分中的应用分别是留数定理的特殊情况，本章主要对这3种特殊情况做出阐述，并在复积分的运算中应用。4.1柯西积分定理定理4.1.1设函数在内解析，那么对中的任意一条封闭曲线，（即在内没有孤立奇点），这样根据留数定理得，所以内的解析函数沿闭路曲线的积分为0，这即为柯西积分定理。[3]例4.1.1计算，是单位圆周解：是的解析区域里的一条封闭曲线，根据柯西积分定理得4.2柯西积分公式对积分进行考察，因为显然是的一级极点或者可去奇点。当这个点是一级极点时，根据留数定理以及计算一级极点处留数的方法，显然有当这个点是可去奇点时，根据留数定理，显然有因此不论这个点是一级极点或者可去奇点，都有，即，这即为柯西积分公式。例4.2.1计算，为正向圆周解：因为被积函数的两个奇点分别是，分别以这两个点作为心做两个完全含于而且互不相交的圆周，则有4.3高阶导数公式对积分，因为显然是被积函数不超过级的极点或者可去奇点。（1）当这个点是不超过级的极点时，根据留数定理以及计算不超过级的极点处留数的方法，显然有（2）当这个点是可去奇点时，因此不论这个点是不超过级的极点或者可去奇点，都有，即，这即为解析函数的高阶导数公式。例4.3.1计算，是正向圆周解：因为被积函数的两个奇点是，分别以这两个点作为心做两个完全含于而且，则第五章留数定理在级数求和中的应用设，都不是，那么例5.1求级数的和解：先取，可以知道有一个三阶极点，它的留数是将其带入公式，则可以得到注：设只有个阶极点和阶极点且时，则得例5.2求级数的和解：先取，可以知道有且仅有一个二阶极点0且，则根据上面公式可以得出例5.3求级数的和解：设，则有一个一阶极点0和其他四个一阶极点：根据上面公式可以得出例5.4求级数的和解：因为所以设，显然有一阶极点0和-1，而且都是的二阶极点，则因此，结论留数理论对于复变函数论的本身和实践来说十分重要，它延续了柯西积分理论，将柯西积分理论进一步扩展，留数定理在积分运算中有着十分重要的作用，担任着非常重要的角色，它与实积分和复积分的计算有着密切关系。除此以外，都是留数定理的特殊情况。因此我们可以得出结论，实积分、复积分与级数求和中的一些题目都可以用复变函数的理论来进行转化，运用这些理论可以解决积分运算的问题。将多种学科中的方式方法以及相关的内容交融渗透，展现思维的发散性与深刻性，可以简化有关的计算。谢辞这篇论文是在尊敬的任晓芳老师的指导之下完成。从布局整篇论文到简化细节，从整体内容到笔墨粉饰，她都帮助了我很多。在写稿的过程当中，任晓芳老师为我提出很多建议，屡次和我深入探讨论文中的核心问题，并且帮助我开拓思维，了解更多知识，不仅使我在学术方面有了很大进步，而且极大的锻炼了我的能力。并且，在初稿完成后，任晓芳老师多次为我进行指正，耗费了自己宝贵的时间，对细微之处也仔细研究，让我在写论文的过程中自身得到了极大的进步，令我深