第06讲 函数最值的灵活运用（解析版）

第06讲函数最值的灵活运用【典型例题】例1．（2024·高三·河北·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴．∵，，∴（当且仅当，即时取等号），∴．故选：D例2．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以对任意恒成立，转化为对恒成立，令，则，所以对恒成立，即对恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以实数的取值范围为．故选：A．例3．（2024·江西·二模）对任意，若不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设（），则，当时，，在上单调递减当时，，在上单调递增所以，当时，取得极小值也是最小值即令（）,则所以而即当且仅当，即时取等号所以故选:D.例4．（2024·高三·福建·阶段练习）用表示a,b,c中的最小值，设则的最大值是A．4 B．6 C．3 D．5【答案】D【解析】画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．由题根据所给条件不难得到，其图像如图所示所以最大值为5．故选D．例5．（2024·高三·浙江绍兴·期末）设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的的最小值为．【答案】【解析】由已知得有两个不同实数根，可得，则，可得，令，解得或；令，解得；易知在和上单调递增，在上单调递减，故当时，上单调递减，上单调递增，而，当，即时，，当时，，当时，，当时，，显然对于，当时，.故答案为：2例6．（2024·高三·全国·专题练习）已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为.【答案】【解析】不等式对一切正实数恒成立，即直线恒在曲线的上方．当最小，即直线与交点的纵坐标最小．根据图象可知，当时，,所以当直线与曲线相切于点时，取最小值.因为，所以，所以.故答案为：例7．（2024·陕西榆林·一模）已知函数，记.（1）求证：在区间内有且仅有一个实数；（2）用表示中的最小值，设函数，若方程在区间内有两个不相等的实根，记在内的实根为.求证：.【解析】（1），定义域为，，当时，在上单调递增，又，而在上连续，根据零点存在定理可得：在区间有且仅有一个实根.（2）当时，，而，故此时有，由（1）知，在上单调递增，有为在内的实根，所以，故当时，，即；当时，，即.因而，当时，，因而在上递增；当时，，因而在上递减；若方程在有两不等实根，则满足要证：，即证：，即证：，而在上递减，即证：，又因为，即证：，即证：记，由得：.，，则，当时，；当时，.故，所以当时，,,因此，即在递增.从而当时，，即，故得证.例8．（2024·江苏淮安·一模）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．【解析】（1）对求导得．设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．当时，恒成立．当时，，从而．∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：30极小值∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是例9．（2024·高三·吉林延边·开学考试）已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.（1）求函数在点处的切线方程；（2）判断函数零点个数;（3）用表示的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．【解析】（1）∵，∴切线的斜率，.∴函数在点处的切线方程为.（2）∵，，∴，，，∴存在零点，且.∵，∴当时，；当时，由得.∴在上是减函数.∴若，，，则.∴函数只有一个零点，且.（3），故，∵函数只有一个零点，∴，即.∴.∴在为增函数在，恒成立.当时，即在区间上恒成立.设，只需，，在单调递减，在单调递增.的最小值，.当时，，由上述得，则在恒成立.综上述，实数的取值范围是.【过关测试】一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设实数，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，∴，当时，不等式显然成立，当时，原不等式可变形为，设函数，，当，，∴当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，，设，则，当时，，当时，，∴在递增，递减，，故选:A.2．（2024·高三·四川·阶段练习）定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故可以转换为对应于恒成立,即即对恒成立即对恒成立令,则上递增,在上递减,所以令,在上递减所以.故,故选B.3．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）实数满足，,的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】化简已知得，，即，令，原式化简为，令，则，所以在R上单调递增，又，所以有唯一零点，所以，此方程有唯一根为0，即，即，分别设与，则表示曲线上的点到直线的距离的平方，下面求上与平行的切线，因为，所以，当时，，解得：，所以切点为，所以到直线距离为：，此距离即为曲线上的点到直线的距离的最小值，所以的最小值为2.故选：C.4．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，故当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故当时，取得最大值，即，此时，当，，当时，故最小值为，故选：C5．（2024·江苏·一模）用表示x，y中的最小数．已知函数，则的最大值为(

)A． B． C． D．ln2【答案】C【解析】∵，∴，根据导数易知在上单调递增，在上单调递减;由题意令，即，解得；作出图象：则的最大值为两函数图象交点处函数值，为．故选：C．6．（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，令直线，显然过点，由，得，显然，即直线与曲线相离，且，则曲线上的点在直线上方，过作于，则，而，因此，令过点的直线与曲线相切的切点为，由，求导得，则此切线斜率，解得，即切点为，而点在曲线的对称轴上，曲线在过点的两条切线所夹含原点的区域及内部，当点的坐标为时，锐角最大，最大，最大，此时，，所以的最大值为.故先：D二、多选题7．（2024·湖北·模拟预测）已知，，且，则（

）A．， B．C．的最小值为，最大值为4 D．的最小值为12【答案】BD【解析】对于选项A:由已知得，，则，.故A错误；对于选项B:令，则在单调递减，在单调递增，得，故B正确；对于选项C:结合题意可得，令，则在上单调递增，得，故C错误.对于选项D:设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以.故D正确.故选:BD.8．（2024·高三·河南驻马店·期末）已知函数存在个不同的正数，，使得，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5 B．的最大值为4C．的最大值为 D．的最大值为【答案】BD【解析】的几何意义为过点，的直线的斜率.如图所示，易知直线与的图象最多只有4个交点，故的最大值为4，故A错误，B正确.当直线与曲线相切时，取得最大值，设切点为，则该直线的斜率为，又，则，所以，解得，得，所以故C错误，D正确.故选：BD.三、填空题9．（2024·陕西西安·一模）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为.【答案】【解析】因为函数在内有且只有一个零点，即方程在内只有一个根，即在内只有一个根，令，可得，再令，解得，当时，，单调减，当时，，单调增，所以当时，有最小值，即，所以函数，则，令时，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，故函数在上的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为.故答案为：.10．（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）用表示两个数中的较小值．设，则的最大值为.【答案】1.【解析】由题意，∵0＜x≤1时，2x-1∈（-1，1]；x＞1时，∈（0，1）∴f（x）的最大值为1；故答案为1．考点：１．新定义；２．函数的最大值．11．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是.【答案】/【解析】由得，显然，所以有解，令，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，则，即的最小值是.故答案为：12．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为．【答案】【解析】令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，得，而，令，则，所以，若，如图作出函数的图象，由函数图象可知，方程有唯一实数根，即，由，得，即，当时，，即，又，，所以，所以不成立，即当时，不恒成立，综上所述，的最小值为.故答案为：.13．（2024·河北·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，设，且，则的最小值为；当时，满足条件的所有值的和.【答案】【解析】由题意，当时，，则，解得（舍去），当时，，则，解得（舍去），当时，，则，解得，所以的最小值为，当时，，则，解得（舍去），当时，，则，解得，当时，，则，解得，当时，，故舍去，因为的最小公倍数为，以为首项为公差的等差数列，设为，则，以为首项为公差的等差数列，设为，则，所以数列和是满足条件的所有值，令，解得，令，解得，则当时，满足条件的所有值的和.故答案为：；.14．（2024·高三·北京·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为．【答案】2【解析】，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，,与函数，,图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数图象，如图，由图象可知，当函数的图象刚好为时此时，取得最小值为2.故答案为：215．（2024·天津·一模）记不超过的最大整数为．若函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是．【答案】【解析】取，则，所以函数既有最大值也有最小值，即在区间上既有最大值也有最小值，当时，在区间上单调递增，只有最小值，无最大值，不合题意，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，则，此时只有最小值，没有最大值，不合题意，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，则，此时有最大值为，最小值为，当时，在区间上单调递减，只有最大值，无最小值，不合题意，综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.四、解答题16．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值．【解析】（1）由，得，所以，，函数在处的切线方程（2）令，当时，，则，所以，所以，所以在单调递减；当时，，则，此时，所以在单调递增，所以当时，函数取得最小值；所以当时，函数的最小值为17．（2024·江苏南通·二模）设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.【解析】（1）由题意可得周期，故，，由于，故，故，当时，，由于在区间上有最大值无最小值，故，解得，故.（2），，，故直线方程为，令，则，故在定义域内单调递增，又，因此有唯一的的零点，故l与曲线有唯一的交点，得证.18．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数．(1)求的最小值；(2)若时，恒成立，求的最小值．【解析】（1）由题设可得，当时，，当时，，故的最小值为.（2）因为时，，所以在上恒成立，所以在上恒成立，当时，有恒成立，故在上恒成立，因为的图象为线段，所以，故且.当时，有在上恒成立，所以在上恒成立，故，所以且，所以，故的最小值为.19．（2024·海南·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数有最小值2，求的值.【解析】（1）当时，的定义域为，则，则，由于函数在点处切线方程为，即.（2）的定义域为，，当时，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，即则令，设，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，解得：.20．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.(1)直接写出当时，函数在处的切线方程；(2)通过计算用表示；(3)当时，若函数的最小值为，证明：.【解析】（1）当时，，，从而，，所以函数在处的切线方程为；（2）因为，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是函数的极小值点；又因为，所以，整理得，又当时，，若要使得函数有极值，则还需，即，综上所述，，；（3）因为，且由（2）可知，所以，令，则，令，得到，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，从而令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，则，记，则，因为，所以，单调递增，所以，即.21．（2024·高一·江苏·阶段练习）已知向量，，且.(1)求的值；(2)求的取值范围；(3)记函数，若的最小值为，求实数的值.【解析】（1）向量，，.（2），，，，，所以的取值范围为.（3）由（1）（2）可知，函数，令，则，，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，当，即时，最小值为，解得（舍去）；当，即时，最小值为，解得或（舍去）；当，即时，最小值为.综上可知，.22．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.(1)求证：；(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.【解析】（1）因为抛物线的焦点为，所以，即的方程为：，如下图所示：设点，由题意可知直线的斜率一定存在，设，联立得，所以.由，得，所以，即.令，得，即，同理，且，所以.由，得，即.所以.故.（2）设点，结合（1）知，即因为，所以.同理可得，所以.又，所以.当且仅当时，等号成立；即直线斜率为0时，取最小值；23．（2024·湖南邵阳·二模）设函数.(1)求的极值；(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.【解析】（1）.令，得，令，得.故在单调递减，在单调递增.在处取得极小值，无极大值.（2）对恒成立，即对恒成立.令，则只需即可..易知均在上单调递增，故在上单调递增且.当时，单调递减；当时，单调递增..故，故的最大值为.24．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知函数，其中.(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;(2)是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.【解析】（1），则，故曲线在处的切线为，即，当时，此时切线为，不符合要求当时，令，有，令，有，故，即，故（2），①当时，在上单调递增，的最大值是，解得，舍去;②当时，由，得，当，即时，时，时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，又在上的最大值为;当，即时，在上单调递增，，解得，舍去.综上所述，存在符合题意，此时25．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数.(1)若，求的最大值；(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，所以，当时，单调递增；当时，单调递减；故的最大值为.（2）当，即时，在单调递增，所以即可，故，此时；当，即时，在单调递减，所以即可，故，此时；当时，使；当，则单调递增，当，则单调递减，所以，令，则，所以在上单调递增，故，即成立.综上，实数的取值范围26．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数．(1)讨论的单调性；(2)已知有极值，求的所有极值之和的最大值．【解析】（1）函数的定义域为，又，令，解得或．①当时，，则当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减；②当时，，则恒成立，所以在上单调递增；③当时，，则当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上可得：当时在和上单调递增，在上单调递减；当时在上单调递增；当时在和上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可得，当时，无极值，故舍去；当时，有两个极值，分别为，，则，令，，令，，则，令，得，所以当或时，当或时在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，，即的所有极值之和的最大值为．27．（2024·高三·北京·开学考试）已