第06讲 函数最值的灵活运用（原卷版）

第06讲函数最值的灵活运用【典型例题】例1．（2024·高三·河北·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例2．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例3．（2024·江西·二模）对任意，若不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例4．（2024·高三·福建·阶段练习）用表示a,b,c中的最小值，设则的最大值是A．4 B．6 C．3 D．5例5．（2024·高三·浙江绍兴·期末）设函数在处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的的最小值为．例6．（2024·高三·全国·专题练习）已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为.例7．（2024·陕西榆林·一模）已知函数，记.（1）求证：在区间内有且仅有一个实数；（2）用表示中的最小值，设函数，若方程在区间内有两个不相等的实根，记在内的实根为.求证：.例8．（2024·江苏淮安·一模）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．例9．（2024·高三·吉林延边·开学考试）已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.（1）求函数在点处的切线方程；（2）判断函数零点个数;（3）用表示的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．【过关测试】一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设实数，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·高三·四川·阶段练习）定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是A． B． C． D．3．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）实数满足，,的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2024·江苏·一模）用表示x，y中的最小数．已知函数，则的最大值为(

)A． B． C． D．ln26．（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2024·湖北·模拟预测）已知，，且，则（

）A．， B．C．的最小值为，最大值为4 D．的最小值为128．（2024·高三·河南驻马店·期末）已知函数存在个不同的正数，，使得，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5 B．的最大值为4C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题9．（2024·陕西西安·一模）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为.10．（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）用表示两个数中的较小值．设，则的最大值为.11．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是.12．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为．13．（2024·河北·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，设，且，则的最小值为；当时，满足条件的所有值的和.14．（2024·高三·北京·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为．15．（2024·天津·一模）记不超过的最大整数为．若函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是．四、解答题16．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值．17．（2024·江苏南通·二模）设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.18．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数．(1)求的最小值；(2)若时，恒成立，求的最小值．19．（2024·海南·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数有最小值2，求的值.20．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.(1)直接写出当时，函数在处的切线方程；(2)通过计算用表示；(3)当时，若函数的最小值为，证明：.21．（2024·高一·江苏·阶段练习）已知向量，，且.(1)求的值；(2)求的取值范围；(3)记函数，若的最小值为，求实数的值.22．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.(1)求证：；(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.23．（2024·湖南邵阳·二模）设函数.(1)求的极值；(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.24．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知函数，其中.(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;(2)是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.25．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数.(1)若，求的最大值；(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.26．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数．(1)讨论的单调性；(2)已知有极值，求的所有极值之和的最大值．27．（2024·高三·北京·开学考试）已知函数，，其中.(1)证明：当时，(2)用表示，的最大值，记.问：是否存在实数，使得对任意，恒