第6数阵寻源数列分组问题（解透一题） 学生版

第8题数阵寻源数列分组问题（解透一题）【2025届浙江省名校协作体T11】观察下面一组等式：记表示第个等式中等号右边第个数，如，，则（

）A．

B．C．

D．本题借助给出的一组等式，要求剖析等式右边数字的规律，进而考查数列的通项公式、数列求和等方面的知识.例如，需要探寻等式右边每一项数字的通项公式，并依据通项公式开展相关的计算与判断.同时检验归纳推理能力：需从给定的有限个等式中归纳出一般性规律，比如，通过观察等式右边数字的起始值、公差等特征，总结出第个等式中右边数字的通项公式.另外考查运算求解能力：在获取通项公式后，需要进行一系列运算，如判断某个数是否处于特定的数列集合中、计算数列的和等，以此考查运算求解能力.一、问题拆解观察等式右边的数：第1个等式右边有1个数，第2个等式右边有2个数，第3个等式右边有3个数，⋯⋯，第n个等式右边有n个数.这些数是首项为1，公差为2的等差数列.故问题可以看作将首项为1，公差为2的等差数列按第1组1个，第2组2个，……，第k组k个的规律分组，得到分组数列：.从而转化为分组数列问题研究.二、详细解析先分析等式右边数字的起始值规律：第1个等式右边第1个数是1；第2个等式右边第1个数是；第3个等式右边第1个数是；第4个等式右边第1个数是.由此可归纳出第个等式右边第1个数的表达式为.再看每个等式右边数字的公差为2，那么第个等式中第个数.现在对选项逐一分析：选项A本质考察项2025是否在第45组内.由，可知，，而，故选项A正确.选项B考察就是的推导运用，该选项错误.选项C考察以及数列求和的运用.由知故(与等差/等比数列相结合，考查通项拆分能力；经放缩后进行裂项，以证明数列不等式)联想到经典裂项公式，则选项D：因为，则，.同时需要注意，故.（易错点：忽略组中元素的个数）所以，D正确．综上，答案为ACD.

对于给定数列，将它的各项按一定的规则分组，以所得的组为单位的新数列称为分群数列.研究分群数列时，要根据分组规则找出分群数列的组数与原数列的项数的内在联系，从而把分群数列的问题归结为原数列的问题.解题时往往需要求出第n组数的首项或末项，然后通过分组规则列出不等式.高中数学中的分组数列问题，是将原数列按特定规则重新分组形成的新数列，其核心在于通过分组规律确定原数列中某一项在分组数列中的位置或求和问题.确定某项在分组中的位置步骤：(1)确定分组规律：计算前k组的总元素数.(2)建立不等式：通过前k−1组的总元素数与目标数的关系，确定所在组.(3)计算组内位置：用目标数减去前k−1组的总元素数，得到组内序号.

求数列的前n项和：可先确定前n项包含了完整的前k组以及第k+1组的部分项，分别计算前k组的和以及第k+1组部分项的和，再将它们相加.前k组的和可根据分组规律分别计算每组的和再相加；第k+1组部分项的和可根据等差数列求和公式计算.【训练目的：学会将问题转为为分组数列.】（2024届星云联盟2月线上调研11）1．已知数列：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（

）A．B．C．存在正整数m，使得，，成等比数列D．有且仅有3个不同的正整数，使得【整理证明典例，寻求解透基础】2．设为等差数列，是公差.把它按照“第n组含有n个数”的规则分组：求证：(1)第n组的首项为.(2)第n组中n个数的和为.【高考寻源2008·江苏·高考真题】3．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为．【高考寻源2008·山东·高考】4．将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表：……记表中的第一列数、、、……构成的数列为，，为数列的前项和，且满足（I）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（II）上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当时，求上表中第行所有项的和（2024届山东枣庄二模）5．将数列中的所有项排成如下数阵：从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（

）A． B．C．位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次（2022届武汉市高三质量检