第6题对数函数图像与零点的综合应用 教师版

第6题对数函数图像与零点的综合应用（一题多变）【2025届云南三校联考卷（二）第8题】，为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（

）A．

B．C．的最小值为4

D．的最小值为4【思路分析】通过题意判断得到比1大还是小对的图象没有影响，然后不妨假设，进而得到，根据对数运算法则得到，将B、C、D选项利用消元思想转化为对勾函数求最值或取值范围问题即可求解，注意最值取得的条件是否符合题意.【详解】函数的定义域为，且，由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点，其横坐标为，，比1大还是小对的图象没有影响，可令，而当时，递减，当时，递增，于是，对于A，由，得，即，A正确；对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确；对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确，故选C．【题后反思】对数函数问题巧妙运用数形结合的方法，通过基本不等式求最值要注意取得最值的条件是否成立，通过对勾函数求最值或取值范围需要注意自变量的范围.【变化角度】分段函数+复合函数根的问题【示例】已知函数，函数有4个不同的零点，，，且，则的取值可能为（）A．

B．7

C．

D．【思路分析】令得，问题转化为有4个不同的根，即函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案，【详解】，令得，函数有4个不同的零点，即有4个不同的根，根据题意，作出的图像如图所示，由二次函数的对称性可知，由对数函数的性质，，即，则有，得，所以，由，解得，则，对勾函数在上单调递增，有，得，所以.故选：AB【举一反三】1．定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案.【详解】关于的方程可化简为，即有7个不同的根，画出的图象，

观察可以看出当有4个不同的根，故只需有3个不同的根即可，所以.故选：A.【变换角度】分段函数+三个零点的问题【示例】已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（）A．

B．

C．

D．【思路分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答.本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可.【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，由，得：，即，而，，则，于是得，记，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又函数在定义域上单调递减，所以.故选：A【举一反三】2．设常数，函数；若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（

）A．a的取值范围为 B．的取值范围为C． D．的取值范围为【答案】D【分析】根据给定条件，分析函数的性质，确定所在区间，再逐项推理判断作答.【详解】当时，函数是减函数，函数值集合为，当时，函数是增函数，函数值集合为，当时，函数是减函数，函数值集合为，如图，因方程有三个不相等的实数根，则，，A不正确；，且满足，于是得，因此的取值范围为，B不正确；，且有，因此，，即，解得，C不正确；，所以的取值范围为，D正确.故选：D【变换角度】分段函数+四个零点的问题【示例】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（）A．

B．C．

D．【思路分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.【详解】函数的图象如图所示，设，则，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确；对于B：由图象可知，且，∴，即，所以，故B正确；对于C，当时，，由图象可知，则，故C错误；对于D，由图象可知，所以，故D错误.故选：AB.【举一反三】3．已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.【详解】因为函数有四个不同的零点，所以有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示：又时，，由图象可得，故B不正确，由，得或，所以由图象可得，故A正确；由图象可得，所以，即，即，所以，故C错误；又，关于对称，故，故D错误，故选：A.关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数与有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题.4．已知函数，若存在实数.满足，且，则的取值范围是【答案】【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，将转化为关于的二次函数求范围即可.【详解】作出函数的图象，如图，因为，，，所以由图可知，，，所以，在上单调递增，所以，即的取值范围是.故答案为：.5．为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】C【分析】根据给定条件，由函数零点的意义可得直线与函数的图象有两个公共点，结合函数的性质可得，再借助对勾函数性质及基本不等式逐项分析得解.【详解】函数的定义域为，由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点，其横坐标为，而当时，递减，当时，递增，于是，对于A，由，得，即，A正确；对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确；对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：C6．函数.若该函数的两个零点为，则（

）A． B． C． D．无法判定【答案】C【分析】转化为两函数的交点问题，结合图像，利用对数的运算求解.【详解】由得，令，在同一坐标系内作出函数的图像，令函数与直线的交点的横坐标为，则，即，所以，因此．故A，B，D错误.故选：C．7．已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误.【详解】作出函数的图象，如图：令，得或或，由存在实数满足，得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确；由与关于对称，得，B正确；由，得，即，则，整理得，C正确；，由图象得，于是，即，因此，A错误.故选：BCD【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等.8．已知函数，若方程存在三个不同的实数解，且满足，设，则的最大值为．【答案】【分析】画出的图象，根据对数函数、指数函数、基本不等式等知识求得正确答案.【详解】画出、的图象如下图所示，由于方程存在三个不同的实数解，所以，由图知，，且，所以，，则，所以，所以的最大值为.故答案为：9．已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由函数零点的意义可得或，求出根的个数，再结合函数性质，借助数形结合法求出的范围