【《课程内容与思政元素结合目的下二重积分的概念教学设计》3600字】

课程内容与思政元素结合目的下二重积分的概念教学设计学院数学分析课程名称二重积分的概念课程负责人授课对象数学类专业学时1学时学分6学分教材信息数学分析第四版下册/华东师范大学数学系编授课章节第二十一章第一节课程类别专业教育课程本次课学情分析上课对象是数学类专业大二的学生，学生前面已经学习过了定积分的概念，时间久远，有些可能已经忘记了概念形成的思路方法，不利于从定积分的概念过渡到本节课的学习；对于概念的学习学生存在害怕困难、害怕探索的心理，进而容易忽略掌握概念形成的步骤思路，只注重硬记、硬背概念定义；学生刚学完曲线积分，开始慢慢地理解掌握微元思想，有助于对本节课的学习.教学目标理解和掌握二重积分的概念、几何意义，知道二重积分存在的条件，并且能熟练掌握二重积分性质，学生在经历二重积分概念形成的过程中，培养创新、探索解决问题能力.教学重难点重点：二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质、几何意义.难点：通过几何体体积求二重积分.教学方法通过提问法，学生探索二重积分概念的形成，理解定义；通过PPT放映和讲授定理性质，帮助学生掌握定理.课程思政教育内容1、通过定积分概念类比导入学习二重积分概念，培养学生的类比思想，知识迁移能力，积极去探索事物间的关系.2、通过“分割、近似求和、取极限”步骤求解曲顶柱体体积，导入“以直代曲”的对立与统一的哲学思想，引出量变与质变的关系、积少成多的道理.3、二重积分的定义告诉我们人的生活由一件件小事组成，要找到那个有意义的“少”去发展成“多”；由二重积分存在的条件引出充分的物质条件支撑着事物存在，进而提出中国有效的控制了新型冠状病毒肺炎疫情，正是破坏其存在的条件.4、中值定理的证明引入曹操冲象的故事，活跃课堂，证明思路类似“铺路”思想，告诉学生大胆的联想、想象.教学过程（课程内容与思政元素结合）Ⅰ.（第0-2分钟）教学内容（一）引入首先给学生回顾定积分的概念，即一元函数在区间经过分割、近似求和、取极限得到的某种结构和的极限，即.通过曲边梯形面积的求解和定积分概念类比学习二重积分的概念[2]，引导学生明白积分的定义是根据“分割、近似求和、求极限”这三个步骤得到的，培养学生的类比思想，让学生明白数学知识理论之间是有联系的，教导学生积极去探求事物间的关系，进而去寻找到解决问题的方法.（第2-3分钟）切入思政元素：人是一个个体，但是与社会上的人事物都存在着一定的联系，所以为人要有责任心，善待他人，善待自己.（第3-10分钟）教学内容如下是例子引入引例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是面上的有界闭区域，侧面是以的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，顶是二元非负连续函数所表示的曲面，这个立体称为以为底的曲顶柱体，求解该立体的体积.分析：学生知道平顶柱体的体积公式是，但该题不是平顶柱体，所以要换另一种做法.设计思路：将柱体底面分成份微元面积，再将微元面积所对应的高作微小平顶柱体计算体积，然后将所有微小柱体的体积叠加起来，即为整个柱体的体积.具体步骤如下：（1）分割将区域任意划分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域的面积.在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，从而我们得到了个小曲顶柱体.（2）近似求和在每一个小闭区域上任取一点，以为高，为底面积的平顶柱体体积近似替代第个小曲顶柱体的体积.即把这个小平顶柱体的体积累加起来等于整个曲顶柱体的体积近似值，即此处用“地球是圆的，但我们站在地球上时，也会存在平坦的地方”的道理形象地让学生理解可以近似替代的原因.（3）取极限将区域无限的细分，当每个小区域趋向于一个点时，逼近于曲顶柱体的体积，即，表示区域的直径中最大的值径.（第10-12分钟）切入思政点：“分割、近似求和、取极限”这三个步骤，体现出了对立与统一的哲学思想[4]，直和曲是相互对立的，但是它们可以转换来解决实际的数学问题.分割思想把“大化小”，告诫我们，在生活中碰到大问题时要善于把大问题分解成小问题，运用我们的智慧寻找规律理性地去解决问题.同时教育学生，成大事者，重于细节，中国之大器，在于中国人有工匠精神，培养学生的爱国情怀，提高学生的时代责任感.“近似和，求极限”，体现着量变引起质变的规律，告诉学生学习重在积累，厚积才能薄发，在平时的学习生活中，要有不畏艰难的精神，学习上要坚持不懈的努力学习新知识.（第12-16分钟）教学内容引例2平面薄片的质量设有一平面薄片占有平面上的闭区域，它的密度为上的连续函数，试求该薄片的质量.此例和前一例的解决思路方法一样，引导学生探究独立思考，能让学生趁热打铁，进一步巩固运用“分割、近似求和、取极限”这一方法，有助于学生对概念的掌握.Ⅱ.（第16-20分钟）教学内容（二）二重积分的概念我们抛开以上例子的几何背景和物理背景，单纯从数学的角度分析抽象得到的就是二重积分的定义.定义[6]设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数.是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作我们通常考虑用与坐标轴平行的直线网分割，相当于是切割区域所得到微元矩形面积，因此它可以表示成，从而这需要学生回顾极限的定义，即理解为什么定义中需要写入这个式子，明白在积分中极限的关键意义所在，有助于学生更好地理解和掌握二重积分的概念.（第20-21分钟）切入思政点：由二重积分的概念提出，人的学习亦与其概念相似，学如逆水行舟，不进则退，积少成多的道理蕴含在其概念当中，贪图太多也没有用，我们要找到那个有意义的“少”去发展成“多”.习总书记提到，每个人的生活都是一件件小事组成的，养小德才能成大德，勿以善小而不为，勿以善小而不为，我们要做一个有道德、高素质的人.（第21-30分钟）教学内容（1）二重积分的几何意义当，函数在上的二重积分表示以为底面，为曲顶的柱体的体积；当，函数在上的二重积分表示以为底面，曲顶在面下方的柱体体积的相反数；当在闭区域上有正有负，则二重积分表示在面下方、上方的曲顶柱体的体积代数和.（2）二重积分的存在性若在有界闭区域上连续，则二重积分一定存在.与前面定积分存在性进行比较，通过类别，引导学生思考二重积分存在性.（第30-31分钟）切入思政点：世间万物的发生与存在，都是有某种条件去支撑它们，找到这些条件是十分重要，因为条件决定着它们能否发生与存在.只有了解事物的本质，才能有效对问题的解决对症下药.正如来势汹汹的新型冠状病毒肺炎疫情，我们国家的科研人员们去探究发现它们生存的条件，然后破坏它们能生存的条件，进而疫情逐步得到有效控制.Ⅲ.（第31-42分钟）教学内容（三）二重积分性质的讨论二重积分和定积分有相类似的性质，因此把两种的性质进行比较，把学生刚接触到的“陌生”知识转化为“熟悉”的知识.性质1[6]（线性性）若在区域上可积，为常数，则在也在可积，且.性质2[6]（线性性）若、在区域上都可积，则在也可积，且.二重积分的线性性，向学生提问，然后说明函数的线性关系是高等代数里面的内容，让学生明白数学虽然有几个分支研究方向，但是它们之间也是有联系，数学知识之间是相互贯通的.性质3[6]（可加性）若在区域上都可积，且无公共内点，则在上也可积，且.性质4[6]（保序性）若、在区域上都可积，且，则.性质5[6]（绝对可积性）若在区域上可积，则函数在上也可积，且.性质6[6]（有界性）若在区域上可积，且，则，这里，是积分区域的面积.通过二重积分的几何意义，学生独立思考，教学生会用数形结合思想解决问题.这6个性质都是十分的重要，它是往后计算求解二重积分的重要工具，需要学生理解并记住.下面向学生引出二重积分的压轴性质，即性质7[6]（中值定理）若在有界闭区域上连续，则存在，使得这里是积分区域的面积.引导学生通过二重积分的定义和性质6进行证明，用一系列问题窜提问学生，让学生知道知识从何而来.学生需要预备的知识是函数在闭区间上连续的最值定理、介值定理以及二重积分的性质6，通过一系列问题提问学生，引导学生找到这几个知识点间的联系，得到证明该定理的思路.证：因为在有界闭区域上连续，所以在中存在最大值和最小值，所以对于任意的都有由性质6知即再由介值定理知，，使得，得证.该定理讲解时，引入曹冲称象[7]的故事，活跃课堂氛围，提高学生课堂兴趣.用简单易懂的语言解析定理的意思，即我们可以想象把曲顶凸的部分填充到凹的地方，直到曲顶变成平顶，平顶柱体的体积就是曲顶柱体的体积.（第42-43分钟）切入思政点：类似于“铺路”，把凸的部分填铺到凹的地方，显然该定理的思想方法源于实际生活中，可以启发学生善于思考，大胆想象，让学生明白数学与实