2026届天津市东丽区民族中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2026届天津市东丽区民族中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列中，，，则该数列的公比为（）A. B.C. D.2．函数的单调增区间为（）A. B.C. D.3．是等差数列，，，的第（）项A.98 B.99C.100 D.1014．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A. B.7C.6 D.5．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，如果输入a=102，b=238，则输出的a的值为（）A.17 B.34C.36 D.686．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的.这七块板可拼成许多图形（1600种以上），如图所示，某同学用七巧板拼成了一个“鸽子”形状，若从“鸽子”身上任取一点，则取自“鸽子头部”（图中阴影部分）的概率是（）A. B.C. D.7．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（）A. B.C. D.8．已知向量，，若与共线，则实数值为（）A. B.C.1 D.29．函数的最小值为（）A. B.1C.2 D.e10．抛物线的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（）A. B.C. D.11．已知向量，，且，则实数等于（）A.1 B.2C. D.12．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________14．随机投掷一枚均匀的硬币两次，则两次都正面朝上的概率为______15．如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________16．已知向量，，若，则实数m的值是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，（1）证明：（2）若平面平面ACE，求二面角余弦值.18．（12分）已知等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19．（12分）已知空间内不重合的四点A，B，C，D的坐标分别为，，，，且（1）求k，t的值；（2）求点B到直线CD的距离20．（12分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.21．（12分）四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，（1）若为中点，求证平面；（2）若，求面与面的夹角的余弦值.22．（10分）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，（1）求数列和数列的通项公式；（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设等比数列的公比为，可得出，即可得解.【详解】设等比数列的公比为，可得出.故选：C.2、D【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.【详解】函数的定义域为令，解得故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.3、C【解析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项【详解】解：等差数列，，中，，令，得是这个数列的第100项故选：C4、A【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想5、B【解析】根据程序框图所示代入运行即可.【详解】初始输入：；第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；第四次运算：；结束，输出34.故选：B.6、C【解析】设正方形边长为1，求出七巧板中“4”这一块的面积，然后计算概率【详解】设正方形边长为1，由正方形中七巧板形状知“4”这一块是正方形，边长为，面积为，所以概率为故选：C7、D【解析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；故选：D8、D【解析】根据空间向量共线有，，结合向量的坐标即可求的值.【详解】由题设，有，，则，可得.故选：D9、B【解析】先化简为，然后通过换元，再研究外层函数单调性，进而求得的最小值【详解】化简可得：令，故的最小值即为的最小值，是关于的单调递增函数，易知对求导可得：当时，单调递减；当时，单调递增则有：故选：B10、D【解析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设，由题意知，直线l方程为，则，得所以，得，所以由，当三点共线时取等号，又所以最小值为故选：D11、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C12、C【解析】y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求出直线倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过，所以直线的方程为，即，故答案为：14、##【解析】列举出所有情况，利用古典概型的概率公式求解即可【详解】随机投掷一枚均匀的硬币两次，共有：正正，正反，反正，反反共4种情况，两次都是正面朝上的有：正正1种情况，所以两次都正面朝上的概率为，故答案为：15、【解析】根据条件先由正弦定理求出的长，得出,求出的长，由勾股定理可得答案.【详解】海轮向北航行后到达点，则由题意，在中，又则,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案为：16、【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；【小问1详解】证明：连接DE因为，且D为AC的中点，所以因为，且D为AC的中点，所以因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面因为，所以平面BDE，所以【小问2详解】解：由（1）可知因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设．则，，．从而，设平面BCE的法向量为，则令，得平面ABC的一个法向量为设二面角为，由图可知为锐角，则18、（1）（2）【解析】（1）根据得到，再结合为等比数列求出首项，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得数列的通项公式，进而利用公式法即可求出【小问1详解】解：（1），，当时，，即，又，为等比数列，所以，，数列的通项公式为【小问2详解】（2）由（1）知，则，数列的前项和19、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一实数，使得，列出方程组，解之即可得解；（2）设直线与所成的角为，求出，再根据点B到直线CD的距离为即可得解【小问1详解】解：，，因为，所以存在唯一实数，使得，所以，所以，解得，所以，；【小问2详解】解：，则，设直线与所成的角为，则，所以点B到直线CD的距离为.20、（1）（2）【解析】（1）根据降幂公式化简的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间；（2）由正弦定理边化角，从而可求得，根据锐角三角形可得从而可求出答案【详解】解：（1），由得所以的单调递减区间为；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵为锐角三角形，∴解得∴∴的取值范围为【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证，，再证平面即可；（2）建立空间直角坐标系，先求出面与面的法向量，再计算夹角余弦值即可.小问1详解】取中点，连接，则四边形为平行四边形，，为直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小问2详解】，为等边三角形，取中点，连接，则，以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，如图令，则，设面的法向量为，则由得取，则设面的法向量为，则由得取，则设面与面的夹角为，则所以面与面的夹角的余弦值为.22、（1），（2）答案见解析【解析】（1）由题意可直接得到等比数列的通项公式；求出等差