数字信号处理（MATLAB版）课件 第4章 离散序列的傅里叶变换

数字信号处理（MATLAB版）第4章

离散信号的频域分析第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.1连续信号的频谱分析与傅立叶变换1.连续周期信号与CFS

时域上任意连续的周期信号，都可以分解为无限多个正弦信号或复指数型信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点，这就是连续周期信号的傅立叶级数展开（CFS：Continuous-TimeFourierSeries）。（4.1.1）式（4.1.1）是连续周期信号的傅立叶变换对，其特点是信号在时域是“连续、周期”的，在频域是“非周期、离散”的。第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.1连续信号的频谱分析与傅立叶变换2.连续非周期信号与CTFT对持续时间有限的连续非周期信号，使用如式（4.1.2）所示的连续傅里叶变换（CTFT：Continuous-TimeFourierTransform，或简称FT）。（4.1.2）第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.2离散信号的频谱分析与傅里叶变换1.离散非周期信号与DTFT离散信号也分为离散周期信号和离散非周期信号，其频谱分析分别使用离散傅立叶级数和离散傅里叶变换。

离散信号（序列）的傅氏变换（DTFT：Discrete-TimeFourierTransform），定义如式（4.1.3）所示：（4.1.3）第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.2离散信号的频谱分析与傅里叶变换1.离散非周期信号与DTFT数字序列的傅氏逆变换（IDTFT）定义如式（4.1.4）所示：（4.1.4）第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.2离散信号的频谱分析与傅里叶变换1.离散非周期信号与DTFT离散非周期信号DTFT：，连续非周期信号CTFT：，第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.2离散信号的频谱分析与傅里叶变换1.离散非周期信号与DTFT时间变量DTFT：n取整数，求和运算；CTFT：t取连续变量，积分运算。频域变量DTFT：ω是数字频率的连续变量，以2π为周期；CTFT：Ω是模拟频率的连续变量，无周期性。

可见二者的实质是一样的，都是完成时间域和频域之间的互相转换。离散时间序列傅立叶变换（DTFT）具有连续时间傅立叶变换（CTFT）的一些主要性质如线性、时移和频移等等。而不同之处在以下几点：第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.2离散信号的频谱分析与傅里叶变换2.离散周期信号与DFS

求连续周期信号的频谱使用连续傅里叶级数（CFS），求周期序列信号的频谱使用离散傅里叶级数（DFS）。即DFS是对离散周期信号进行傅里叶级数展开。将周期序列

展开为如下的离散傅立级数（DFS）：N为常数

（4.1.9）第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.2离散信号的频谱分析与傅里叶变换2.离散周期信号与DFS由于：所以

也是一个以N为周期的周期序列，时域离散周期序列的离散傅立叶级数的系数仍然是离散周序列。“周期、离散”时间信号的频谱函数也是“离散、周期”的。第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.3各种傅立叶变换的分析

由于信号有连续和离散、周期和非周期之分，因此有以下4种傅立叶变换：1.非周期连续时间信号的傅立叶变换CTFT对持续时间有限的连续非周期信号，使用连续傅里叶变换（CTFT：Continuous-TimeFourierTransform，或简称FT）进行分析。由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域“连续、非周期”的信号对应频域频谱函数X(W)也是“非周期、连续”的特点：时域连续函数造成频域是非周期的谱。时域的非周期性造成频域是连续的谱。第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.3各种傅立叶变换的分析2.周期连续时间信号的傅立叶级数CFS

时域上任意连续的周期信号，都可以分解为无限多个正弦信号或复指数型信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点，这就是连续周期信号的傅立叶级数展开（CFS：ContinuousFourierSeries，或简称FS）。

其特点是时域“连续、周期”，频域“非周期、离散”。即周期、连续时间信号

的频谱函数X(nW0)是离散的：时域连续函数造成频域是非周期的谱。时域的周期性造成频域是离散的谱。第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.3各种傅立叶变换的分析3.非周期、离散时间信号的傅立叶变换DTFTDTFT用于离散非周期序列分析，根据连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅立叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱也是连续的，即有时域“离散、非周期”对应频域“周期、连续”的特点： 时域函数的离散化造成频域的周期延拓。 时域的非周期性造成频谱的连续。第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.3各种傅立叶变换的分析4.周期、离散时间信号的傅立叶级数DFS

“周期、离散”时间信号

的频谱函数X(nW0)也是“离散、周期”：一个域的离散造成另一个域的周期延拓。离散傅立叶级数的时域和频域都是离散的、周期的。第4章

离散信号的频域分析4.1各种傅立叶变换4.1.4计算机进行信号处理的问题

对于DTFT来说，在计算机上应用存在两个问题：

（1）DTFT的定义对无限长信号是有效的，而计算机只能计算有限长度的信号。因此不可能在计算机上计算无限长信号的DTFT。

（2）计算机只能计算离散信号，即幅度和时间都是离散的数字信号。而DTFT中频谱是连续变量ω的函数。

因此，为了解决上述问题得到一个可进行数值计算的变换目标，解决的思路是：必须截断序列，得到有限个点的序列，实现有限长度的问题。提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题。对于离散周期信号，取其一个周期，DFS即可以处理离散周期信号。第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.1旋转因子（4.2.2）式（4.2.2）称为离散傅立叶级数（DFS）对。称为“旋转因子”。第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.2复指数序列的性质、旋转因子的特点

在DFT（FFT）中，复指数序列（即旋转因子

）具有周期性、对称性、正交性、可约性等特点。第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.3DFS的性质DFS具有下列主要性质：1．线性2．周期序列时移特性3．周期序列频移特性（调制特性）4．周期卷积5．频率成份6.共轭对称性第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.4离散周期信号的频谱及MATLAB实现【例4-2-1】计算离散周期信号的频谱。已知矩形周期序列如图4-2-1所示，求序列的傅立叶级数系数的幅度特性和相位特性。图4-2-1周期序列第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.4离散周期信号的频谱及MATLAB实现【例4-2-1】计算离散周期信号的频谱。解：（1）由图可知，周期N=10，取其主周期0～9，求序列傅立叶级数系数的幅度特性和相位特性。该系列可以看作是矩形窗函数R5(n)以N=10为周期延拓的结果。第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.4离散周期信号的频谱及MATLAB实现【例4-2-1】计算离散周期信号的频谱。（2）编写MATLAB程序，根据此结果绘制出频谱函数X(k)序列图形。第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.5使用MATLAB计算DFS1.利用WN矩阵的矢量乘法第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.5使用MATLAB计算DFS2.自定义DFS、IDFS函数MATLAB没有提供计算有限长信号的DFS、IDFS函数，可自定义一个函数，生成WN方阵，计算信号的DFS、IDFS。function[Xk]=dfs(xn,N)n=[0:1:N-1];%rowvectorfornk=[0:1:N-1];%rowvecorforkWN=exp(-j*2*pi/N);%Wnfactornk=n'*k;%createsaNbyNmatrixofnkvaluesWNnk=WN.^nk;%DFSmatrixXk=xn*WNnk;%rowvectorforDFScoefficients代码如下：（1）DFS第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.5使用MATLAB计算DFS2.自定义DFS、IDFS函数function[xn]=idfs(Xk,N)n=[0:1:N-1];%rowvectorfornk=[0:1:N-1];%rowvecorforkWN=exp(-j*2*pi/N);%Wnfactornk=n'*k;%createsaNbyNmatrixofnkvaluesWNnk=WN.^(-nk);%IDFSmatrixxn=(Xk*WNnk)/N;%rowvectorforIDFSvalues（2）IDFS第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.6周期卷积及MATLAB实现1.

图解法求周期卷积

与线性离散卷积过程类似，周期卷积的过程是：

序列反褶

线性移位

在一个周期范围内相乘

在一个周期范围内取和。第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.6周期卷积及MATLAB实现2.用傅立叶变换求周期卷积【例4-2-4】用dfs求周期卷积用【例4-2-2】自定义的傅立叶变换MATLAB函数dfs.m、idfs.m求上述周期卷积。解：根据式（4.2.10），可以从先用傅立叶变换求出频谱函数，然后对两个频谱函数的乘积进行傅立叶反变换，求出周期卷积。程序如下：x1=[111100];x2=[123450];N=6;n=0:N-1;X1=dfs(x1,N);X2=dfs(x2,N);Y=X1.*X2;y=idfs(Y,N);ysubplot(311);stem(n,x1);title('x1=[111100]');axis([-1,6,0,1.2]);subplot(312);stem(n,x2);title('x2=[123450]');axis([-1,6,0,5]);subplot(313);stem(n,y);title('y(n)=IDFS(X1.*X2)');axis([-1,6,0,15]);第4章

离散信号的频域分析4.2离散傅里叶级数DFS与周期卷积4.2.6周期卷积及MATLAB实现2.用傅立叶变换求周期卷积y=10.0000+0.0000i8.0000-0.0000i6.0000-0.0000i10.0000-0.0000i14.0000+0.0000i12.0000+0.0000i运行结果如下：第4章

离散信号的频域分析4.3离散傅立叶变换DFT4.3.1DFT和DFS1.DFT的思路2.DFT是离散傅里叶变换，将DFS取主值3.DFT用于任意的非周期连续信号第4章

离散信号的频域分析4.3离散傅立叶变换DFT4.3.2周期序列的主值序列、DFT的定义1.时域周期序列的主值序列2.频域周期序列的主值序列3.离散傅立叶变换DFT的定义第4章

离散信号的频域分析4.3离散傅立叶变换DFT4.3.3DFT的特点1.隐含周期性2.主值周期的周期延拓3.DFT具有与DFS类似的性质4.应用方面的特点第4章

离散信号的频域分析4.3离散傅立叶变换DFT4.3.4DFT的MATLAB实现1.dftmtx()函数2.使用DFS计算DFT3.使用FFT计算DFT【例4-3-2】计算DFT

若

是一个N=20的有限长序列，利用MATLAB计算它的DFT，并画出形。第4章

离散信号的频域分析4.3离散傅立叶变换DFT4.3.4DFT的MATLAB实现n=0:19;xn=8*((0.5).^n);w=dftmtx(20);Xk=xn*w;subplot(2,1,1);stem(n,xn);title('x(n)')

subplot(2,1,2);stem(abs(Xk));title('X(k)');解：程序如下：程序运算结果第4章

离散信号的频域分析4.3离散傅立叶变换DFT4.3.5DFT的性质1.线性2.时移、频移特性（调制特性）3.离散圆周卷积定理4.对偶性5.帕斯瓦尔定理6.离散谱的性质第4章

离散信号的频域分析4.3离散傅立叶变换DFT4.3.6DFT的物理意义、DFT与其他变换之间的关系1.DFT的物理意义、Z变换和DFT的关系2.用表示3.用表示第4章

离散信号的频域分析4.4循环移位与循环卷积4.4.1循环移位循环卷积使用循环移位（也叫圆周移位），序列的循环移位的定义如下：（4.4.1）第4章

离散信号的频域分析4.4循环移位与循环卷积4.4