高三下学期数学开学摸底考试卷（根据九省联考题型命制）解析版

高三下学期数学开学摸底考试卷本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从小到大排列的一组数据：29，31，，39，42，58．若第60百分位数与平均数相等，则该组数据的中位数为A．35 B．36 C．37 D．39【分析】根据题意，由第60百分位数与平均数相等，求出的值，再由中位数的定义求解．【解答】解：根据题意，因为有6个数据，，所以第60百分位数为39．所以数据的平均数为39，，求得，所以该组数据的中位数为．故选：．【点评】本题考查数据百分位数、平均数、中位数的计算，注意求出的值，属于基础题．2．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则P（3，±2∴P到抛物线的准线的距离为：4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．故选：A．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．3．已知等差数列的前项和为．若，，则A．21 B．48 C．75 D．83【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：因为等差数列中，，，所以，所以，则．故选：．【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．4．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A． B． C． D．【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答．【解答】解：令A1＝“玩手机时间超过1h的学生”，A2＝“玩手机时间不超过1h的学生”，B＝“任意调查一人，此人近视”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P（A1）＝0.1，P（A2）＝0.9，P（B|A1）＝0.6，P（B）＝0.2，依题意，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝0.1×0.6+0.9×P（B|A2）＝0.3，解得，所以所求近视的概率为．故选：C．【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．设函数在区间上单调递增，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【分析】令，根据复合函数的单调性可知，内层函数在上为减函数，结合二次函数的单调性可得出实数的取值范围．【解答】解：令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数在上为减函数，函数在区间上为增函数，所以内层函数在上为减函数，故．故选：．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．6．已知函数，则A．在单调递减 B．在单调递增 C．在单调递减 D．在单调递增【分析】根据题意整理可得，结合余弦函数单调性逐项分析判断．【解答】解：因为，对于选项：因为，则，且在内不单调，所以在内不单调，故错误；对于选项：因为，则，且在内不单调，所以在内不单调，故错误；对于选项：因为，则，且在内单调递减，所以在内单调递减，故正确；对于选项：因为，则，且在内单调递减，所以在内单调递减，故错误．故选：．【点评】本题考查了三角恒等变换、余弦函数的性质，属于中档题．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E为正方形ABB1A1的中心，点F为棱CC1的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为（）A． B． C． D．2【分析】根据给定条件，取A1B1的中点G，结合平行公理，利用异面直线所成角的定义，借助等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取A1B1中点G，连接FG，EG，BG，由点E为正方形ABB1A1的中心，得EG∥BB1，，而BB1∥CC1，BB1＝CC1，于是EG∥CC1，，由F为棱CC1的中点，得EG∥CF，EG＝CF，则四边形CFGE是平行四边形，有FG∥CE，即∠BFG或其补角就是异面直线BF与CE所成的角，显然正三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长都相等，令棱长为2，则，，，等腰△BFG底边FG上的高，，所以异面直线BF与CE所成角的正切值为2．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为线段的中点为坐标原点），点在椭圆上且满足轴，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为A．或 B． C．或 D．【分析】根据已知条件得到△△，再结合椭圆的定义即可求解结论．【解答】解：，分别为椭圆的左、右焦点，点为线段的中点为坐标原点），点在椭圆上且满足轴，可得，点到直线的距离为，△△，，可得：，可得，结合，整理可得：，或，或，或．故选：．【点评】本题主要考查椭圆的性质以及三角形相似的性质，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z1，z2，则下列结论正确的有（）A．z12=z1C．|z1z2|＝|z1|•|z2| D．|z1+z2|＝|z1|+|z2|【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数模公式，特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，取z1＝1+i，则z12=2i，z12=（1﹣i）2＝﹣2对于B，设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），则z1•z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，z1⋅z2=（ac﹣bd）﹣（adz1⋅z2=（a﹣bi）（c﹣di）＝（ac﹣bd）﹣（bc+ad）i对于C，结合复数模的性质可知，|z1z2|＝|z1||z2|，故C正确；对于D，取z1＝1+iz2＝1﹣i，则|z1+z2|＝2，|z1|+|故选：BC．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．10.关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论，其中结论错误的是（）A．f（x）是偶函数 B．f（x）在区间(π2C．f（x）在[﹣π，π]有4个零点 D．f（x）的最大值为2【分析】利用正弦函数的图象性质结合函数的奇偶性、单调性最值、零点的概念一一求解．【解答】解：因为f（x）＝sin|x|+|sinx|的定义域为R，又f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），∴f（x）为偶函数，故A正确．当π2＜x＜π时，f（x）＝2sinx当0≤x≤π时，f（x）＝2sinx，它有两个零点：0，π；当﹣π≤x＜0时，f（x）＝sin（﹣x）﹣sinx＝﹣2sinx，它有一个零点：﹣π，故f（x）在[﹣π，π]有3个零点：﹣π，0，π，故C错误．当x∈[2kπ，2kπ+π]（k∈N*）时，f（x）＝2sinx；当x∈[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈N*）时，f（x）＝sinx﹣sinx＝0，又f（x）为偶函数，∴f（x）的最大值为2，故D正确．故选：BC．【点评】本题考查三角函数性质，属于中档题．11.已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有A．（2） B．（4） C． D．【分析】根据题意，分析可得为奇函数，由此分析可得，函数是周期为4的周期函数；由此分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，若为偶函数，则其导数为奇函数，又由，变形可得，则有，又由，必有，函数是周期为4的周期函数；依次分析选项：对于，，变形可得，又由，两式相加可得，即的图象关于点对称，必有（2），正确；对于，在，令可得：，又由函数是周期为4的周期函数，则（4），在，令可得：（4），两式相加可得：（4），正确；对于，由的结论，的图象关于点对称且函数是周期为4的周期函数，则的图象关于点对称，必有，正确；对于，函数是周期为4的周期函数，则也是周期为4的周期函数，故（1），不一定有，错误；故选：．【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和对称性，属于难题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，，中的最大元素为2，则实数1．【分析】依题意可得，解得，再检验即可．【解答】解：因为，所以，所以，解得或，显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．故答案为：1．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．13．在正三棱锥P﹣ABC中，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°．若AB＝1，则三棱锥E﹣ABC的外接球的表面积为32π【分析】根据题意推出EF⊥平面PAC，即PB⊥平面PAC，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC正棱锥，∴PB⊥AC（对棱互相垂直），∴EF⊥AC，又∵EF⊥CE，而CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，即PB⊥平面PAC，∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，设这个正方体的棱长为x，外接球半径为R，∵AB＝1，∴2x＝1，解得x=2∴2R=3x=62∴该三棱锥的外接球表面积：S＝4πR2＝4π•（64）2=3故答案为：32π【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意割补法的合理运用．14．已知A为圆C：x2+(y-1)2=14上的动点，B为圆E：(x-3)2+y2=14上的动点，P【分析】根据题意求出圆E关于直线y=12x对称的圆E′，由平面几何知识，可知直线CE′与直线y=12x的交点为点P时，该直线在两圆上截得的弦长最大．由此作出示意图形，得到（|PB|﹣|PA|）min【解答】解：根据题意，圆C：x2+(y-1)2=14的圆心为C圆E：(x-3)2+y2=14设E关于直线y=12x的对称点为E'（m，n），则nm-3⋅圆E关于直线y=12x对称的圆E若B'为B关于直线y=12x的对称点，则P、A、B'三点共线，且该直线过C、E'时，|PB|﹣|因此，|PB|﹣|PA|的最大值为|AB'【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、轴对称的性质、两圆的位置关系等知识，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥中，平面，，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，计算即可．【解答】解：（1）证明：因为平面，且平面，所以，因为，，，所以，则，又因为，平面，平面，所以平面．（2）以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，，2，，，1，，所以，，，设平面的法向量为，则，解得，令，得，所以，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明和直线与平面所成角，属于中档题．16．一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为．（1）已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；（2）记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望．【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则由题意可知事件包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出（A），，再利用条件概率公式可求得结果；（2）由题意知可能的取值为，，0，2，4，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望．【解答】解：（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则，，故所求的概率为．（2）由题意知可能的取值为，，0，2，4，则，，，则的分布列为：024．【点评】本题考查条件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．17．已知双曲线过点，离心率为，斜率为的直线交双曲线于，两点，且直线，的斜率之和为0．（1）求双曲线的方程；（2）是否存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而即可求解；（2）设出直线和，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率之和为0求出的值，假设存在直线满足条件，设出的中点坐标，再列出等式进行求解即可．【解答】解：（1）因为双曲线过点，离心率为，所以，解得，，则双曲线的方程为；（2）不妨设直线方程为，，，，，联立，消去并整理得，此时△，由韦达定理得，，因为直线，的斜率之和为0，所以，即，整理得，因为，，所以，整理得，因为直线不过点，所以，则，所以直线的方程为，，假设存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形，不妨设的中点，，此时，，即，因为，所以，解得，当时，不满足△．故不存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．18．已知函数，．（1）设是的极值点，求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，在上恒成立，【分析】（1）对求导，由题意可知（1），求出的值，再利用导数的正负求单调区间；（2）把不等式证明问题转化为函数的最值处理，设，对分类讨论，利用导数判断函数的单调性，从而可得，即可得证．【解答】解：（1）函数的定义域为，，由题设可知（1），即，可得，经检验满足已知条件，从而函数，，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：设，，则，当时