第08讲 分段函数求法（讲义）（解析版）

第08讲分段函数求法1．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．考点一分段函数求自变量考点二分段函数求函数值考点三分段函数求参数值或参数范围考点一：分段函数求自变量例1．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知函数，则方程的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分段函数，对分类讨论即可.【详解】当时，，解得或（舍去），当x<0时，，解得（舍去），故解集为．故选：A．例2．已知函数则方程的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考虑和两种情况，代入解方程得到答案.【详解】当时，，故，解得或（舍去）；当时，，故，解得或（舍去）.综上所述：或.故选：B考点二：分段函数求函数值例3．对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（

）A．12 B．3 C．14 D．15【答案】D【分析】将表示为分段函数的形式，由此求得的元素，进而求得正确答案.【详解】当，，；当，，；当，，；当，，；当时，，，所以，所以中所有元素的和为.故选：D例4．已知函数，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．e【答案】C【分析】根据指数幂运算性质，结合代入法进行求解即可.【详解】，故选：C例5．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，则______.【答案】【分析】根据分段函数的解析式计算可得；【详解】，．故答案为：．考点三：分段函数求参数值或参数范围例6．已知，若，则（

）A．5 B． C．2 D．2或【答案】B【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出的值，再代入求解即可.【详解】解：根据题意，当时函数在上单调递增，当时函数在上单调递增，若，，则必有，即，则，即，则，解得或（舍去），，故选：B.例7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意解得，所以实数的取值范围是，故选：C.例8．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知是偶函数，当时，，若，则（

）A． B． C．或3 D．或【答案】B【分析】根据偶函数的定义求解.【详解】当时，由，得，解得（舍去）或；根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当时，由，得(舍)或，综上，故选:B.一、单选题1．德国数学家狄里克雷（JohannPeterGustayDejeuneDirichlet，1805—1859）在1837年时提出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数.若，则x₀可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，可知.检验或化简各项，即可得到答案.【详解】根据函数的定义，知若，则.，是个有理数.而其它选项都是无理数.故选：C．2．已知函数，若，则（

）A． B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】由题意分类讨论，求解a，再根据分段函数求函数值.【详解】当时，则，解得：或（舍去）当时，则，解得：（舍去）综上所述：∴，则故选：D.3．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数且，则（

）A．-16 B．16 C．26 D．27【答案】C【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.【详解】当时，，当时，，所以，故选：C4．设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数则称函数为的“界函数”.若给定函数，则下列结论不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得，然后逐个分析判断即可。【详解】因为，所以，所以对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：B5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得；易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增；若满足函数在上单调递增，则分段端点处的函数值需满足，如下图所示：所以，解得；综上可得.故选：A6．函数（），则﹐则a=（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】由题意先求出，再求，解方程即可得出答案.【详解】因为时，，所以，则，解得：.故选：A.二、多选题7．德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：，以下关于狄利克雷函数的性质正确的有（

）A． B．的值域为C．定义域为 D．【答案】ACD【分析】根据函数解析式逐项判断即可.【详解】由函数，可知函数定义域为，值域为，故C正确、B不正确；当为有理数时，，；当为无理数时，，；所以当，，故A正确；当为有理数时，为有理数，当为无理数时，为无理数，即，故D正确；故选：ACD.8．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】分段函数求解，在已知未知数取值的时候，代入验证即可；复合函数，先求内层函数值，再代入求解.【详解】A.，，满足；B.，，满足；C.，，不满足；D.，，满足.故选：ABD.9．已知函数，若，则实数a的值为（

）A． B． C．2 D．8【答案】AC【分析】利用给定的分段函数，分段计算作答.【详解】函数，而，当时，，解得，满足条件，即有，当时，，解得，显然不满足条件，则有，所以实数a的值为或2.故选：AC三、填空题10．（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）设函数，若，则实数a＝_____．【答案】或【分析】由分段函数解析式可得在定义域内恒成立，由题意可得，分和两种情况，运算求解.【详解】当时，则；当时，则；综上所述：在定义域内恒成立，令，则，解得，即，当时，则，解得；当时，则，解得或（舍去）；综上所述：或.故答案为：或.11．设函数，若，则__________．【答案】【分析】对的取值范围进行分类讨论，分别代入计算即可得出符合题意的取值.【详解】由题意可得，当时，，此时方程无解；当时，，解得或（舍）故答案为：12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角形，则________．【答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．【详解】，或1，存在三个点、、，使得为等边三角形，不同时为0或1，不妨设，分析得的位置有两种情况，第一种情况：当为有理数时，即，如图，过点作，垂足为，得，，，可知，为无理数，为无理数，即，，与图形不一致，舍去；第二种情况：当为无理数时，即，如图，过点作，垂足为，得，，，可知，，，存在，使得，且为无理数，即，与图形一致，符合题意，此时，，故答案为：1．13．已知函数，，其中表示不超过的最大整数，例，．则函数的值域是___________．【答案】【分析】根据题意，分别求出，，时的，作出图象，直接可得到的值域.【详解】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，综上;图象如图所示:函数的值域是.故答案为：.14．函数，则______．【答案】【分析】判断的范围，代入分段函数相应的解析式中，结合指数以及对数的运算法则，即可求得答案.【详解】因为，故，故答案为：15．已知函数的值域是，则实数m的取值范围是______．【答案】．【分析】分别求出和时的取值范围，然后由值域可得集合的关系，从而得参数范围．【详解】时，且，即，因此时，的取值范围应包含，又时，，所以．故答案为：．16．已知函数，若存在最小值，则实数a的取