模拟卷07（新高考Ⅱ卷专用）-（参考答案）

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷）黄金卷07（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678BBDCDCAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDACDAD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．1113．14．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．(本小题满分13分）【解】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，则，………2分解得.………3分列联表完成如下.爱好音乐不爱好音乐总计男163450女242650总计4060100………6分（2）由（1）可知，………10分因为，………12分故没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.………13分16．(本小题满分15分）【解】（1）取中点，连接，则有，，………2分如图：

在等腰梯形中，，所以，，则四边形为平行四边形，所以，………4分又平面，平面，所以直线平面．………5分（2）过点作于，在等腰梯形中，，所以梯形的高，所以等腰梯形面积为，所以四棱锥的体积，解得，在中，由射影定理得或，………7分当时，以为坐标原点，以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

则有，………9分故，，设平面的法向量，故，令，得，………11分设直线与平面夹角的大小为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为；………13分当时，以为坐标原点，以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

则有，故，，设平面的法向量，故，令，得，设直线与平面夹角的大小为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为，综上所述，直线与平面夹角的正弦值为或．………15分17．(本小题满分15分）【解】（1），.………1分当时，恒成立，在上单调递减；………3分当时，由，解得，即在上单调递增，由，解得，即在上单调递减.………6分（2）当时，由（1）知，………8分，恒成立，在上单调递增，所以，………10分由题意知，即.………11分设，则，所以为增函数，……13分又，所以，即的取值范围是.………15分18．(本小题满分17分）【解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，………3分解得，………5分故椭圆的标准方程为.………6分（2）

由（1）知，由题意可知直线的斜率不为0，否则位于轴同侧，，不符合题意；………7分设的方程为，代入，得，由，设，则，………9分所以，，………10分直线的方程为，令，得，故，同理可得，

………12分所以，………13分由，得，即，所以，………15分所以，解得或（舍去），所以直线的方程为，故直线过定点.………17分19．(本小题满分17分）【解】（1）易得，不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，………1分不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，………2分不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，所以，.………4分（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，因此.………6分由p，q是两个不同的素数，得，，………7分在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，于是，所以.………10分（3）根据（2）得，………11分所以，