广东省广州市越秀区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（含答案）

第第页广东省广州市越秀区2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2,3,B=A．4 B．5 C．3,4,5 D．1,2,3,52．命题∀x∈RA．∃x∈R,xC．∀x∈R,x3．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来12的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π4个单位长度，得到函数A．sinx2+π4 B．sinx4．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元5．已知幂函数y=fx的图象过点2,4，则不等式fA．−∞,1 C．1,+∞ D．6．函数fxA．0,12 B．12,1 C．7．已知sinα+π6A．−3+326 B．3−328．设a=log23，A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于函数fx=sinA．fx与gx有相同的零点 B．fxC．fx与gx有相同的最小正周期 D．fx10．使不等式2kx2+kx−A．k=0 B．k=1 C．k=−1 D．−3<k<011．已知函数fx的定义域为R,fx>fx−1A．f1=1 B．f3>3 C．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知角α的终边与单位圆的交点为34,−7413．已知fx=a⋅bx+c（其中a,b,c为常数）．①f0=0；②当x>0时，0<f14．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为小时．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sinα+cosα=（1）求sin2α（2）求tanα+16．已知函数fx（1）是否存在实数a，使函数fx为奇函数？若存在，求出a（2）判断函数fx17．已知函数fx=2acosx−3（1）求常数a的值；（2）求函数fx18．已知函数fx（1）当a=0时，在同一直角坐标系中画出函数fx（2）∀x∈R，用mx表示fx,gx中的较小者，记为m（3）设Fx=fx−gx，记F19．函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．定义1：设函数fx在区间I上有定义，fx称为I上的下凸函数，当且仅当∀定义2：设函数fx在区间I上有定义，fx称为I上的下凸函数，当且仅当∀将定义1，2中的“≤”改为“≥”，则相应地称函数fx为I（1）若fx=x2+ax+b（2）已知gx=sinx为0,π上的上凸函数，若A,B,C（3）设r1,r

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为U=1,2,3,4,5，A=1,2,3，所以又B=3,5，所以∁U故答案为：C.【分析】运用集合的交、并、补等混合运算规则（如先补后交、先交后并等运算顺序），按照题目要求逐步进行集合运算，即可得到结果.2．【答案】B【解析】【解答】解：命题∀x∈R,x故答案为：B.【分析】利用全称量词命题的否定，先将∀变为∃，再将>变为≤可得出结论.3．【答案】D【解析】【解答】解：f(x)=sin故答案为：D.【分析】根据周期变换、相位变换特征得2x+4．【答案】C【解析】【解答】解：设池底的长为x，宽为y，则3xy=4800，即y=因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，建造这个水池的总造价是100xy+2(x+y)×3×80=160000+480≥160000+480×2当且仅当x=1600x，即故答案为：C.【分析】根据题意V=3xy=4800，再列出总造价关系式，化简得160000+480x+5．【答案】D【解析】【解答】解：设幂函数fx因为幂函数y=fx的图象过点2,4则2α=4，解得α=2，即因为f3x−1>f2x整理可得5x2−6x+1>0，解得x>1所以不等式f3x−1>f2x的解集为故答案为：D.【分析】设幂函数解析式代入x=2可得fx6．【答案】D【解析】【解答】解：因为y=lnx与y=3x−5在所以fx=ln又322=94所以f32=所以fx=ln故答案为：D.【分析】根据函数单调性的运算法则（增+增=增，增×正=增，复合函数"同增异减"等），确定目标函数的单调性；再利用零点存在定理可得.7．【答案】B【解析】【解答】解：已知α∈(π3,因为sin(α+π6cos(α+把cosα变形为cos由两角差公式可得：cosα=把cos(α+π6)=−63，cosα=−故答案为：B.【分析】先根据已知角的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出相关角的余弦值；再应用两角差的余弦公式，将所求的三角函数值转化为已知角的三角函数组合形式，代入计算即可得到结果.8．【答案】D【解析】【解答】因为b=lo则b−c=2lg2又因为log55<又由a=log2所以b<c<a.故答案为：D.

【分析】利用对数的换底公式，得到b=2lg2lg3，c=3lg9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、令f(x)=sin2x=0，得2x=kπ,k∈Z令gx=cos2x−π4=0显然f(x),g(x)零点不同，该选项错误，不合题意；B、易得f(x)C、根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2πD、对于fx=sin2x，令对于gx=cos2x−π所以fx的对称轴为x=kπ2+显然f(x),g(x)图象的对称轴不同，该选项错误，不合题意.故答案为：BC.【分析】分别令两个函数f(x)，g(x)为零，解方程可判断A；分别求出f(x)，g(x)的最值，可判断B；分别根据周期公式T=2πω求出f(x)，g(x)的T，可判断C；分别令2x=k10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：当k=0时，此时不等式变为−38<当k≠0时，不等式2kx2+kx−38<0是一个二次不等式，要使其对一切实数x都成立，则二次函数y=2kx2+kx−38的图象需开口向下，且与综合两种情况不等式2kx2+kx−38<0分析各个选项：A、k=0满足−3<k≤0，所以B、k=1不满足−3<k≤0，所以C、k=−1满足−3<k≤0，所以D、−3<k<0满足故答案为：ACD.【分析】先讨论k是否为0，解不等式2kx11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因为当x<3时，fx=x，所以f1B、又因为fx>fx−1D、f4>f3f6>f5f8>f7f10>f9f12>f11f14>f13C、没有足够条件判断C的正误，该选项错误，不合题意.故答案为：ABD.【分析】对A选项，将特殊值f1=1、f212．【答案】7【解析】【解答】解：因为角α的终边与单位圆的交点为34,−7所以sinπ故答案为：74【分析】利用正弦函数的定义求得sinα13．【答案】fx=−12x【解析】【解答】解：①、因为f0=a+c=0，即c=−a，可得②、当x>0时，0<fx<1，显然若a>0，可得0<bx−1<当x>0时，bx>1恒成立，可得b>1，此时若a<0，可得1a<b则0<b<11+1a综上所述：0<b<1−1≤a<0，例如a=−1,b=12故答案为：fx=−12x【分析】代入x=0可得c=−a，代入可得fx=abx−1，可判断①；由指数函数的性质，讨论a的范围：若a>0可得1<bx<1a+1，当x>0时，bx>114．【答案】10【解析】【解答】前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝50.9＝0.915，∴P＝P0e－kt＝P0(0.915)t【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题由指数的运算性质代入数值求出结果即可。15．【答案】（1）解：因为sinα+得2sinαcos（2）解：因为α∈0,π且2sinsinα−cosα所以sinα−得sinα+cosα=15所以tanα=所以tan(α+【解析】【分析】（1）代入二倍角正弦公式，结合平方关系即可求值；（2）由（1）将sinα−cosα平方，得sinα−cos（1）因为sinα+得2sinαcos（2）因为α∈0,π且2sinsinα−cosα所以sinα−得sinα+cosα=15所以tanα=所以tan(α+16．【答案】（1）解：存在，a=1，理由如下：因为fx=2若函数fx为奇函数，则f即23x+1-a+2所以f(x)=2（2）证明：因为fx=23x+1-a(a∈对任意x1，x2∈则fx因为x1<x2，则3x可得f(x1)−f(所以fx在定义域为R【解析】【分析】（1）利用奇函数定义代入f−x（2）通过作差法f(x（1）存在，a=1，理由如下：因为fx=2若函数fx为奇函数，则f即23x+1-a+2所以f(x)=2（2）因为fx=23x+1-a(a∈对任意x1，x2∈则fx因为x1<x2，则3x可得f(x1)−f(所以fx在定义域为R17．【答案】（1）解：f=a=a=a+2a=a+2acosfx的最大值为2，所以2a若a>0，则3a=2,a=2若a<0，则−a=2,a=−2.综上所述，a的值为23或−2（2）解：若a=23，则由2kπ解得kπ即fx的单调递增区间为k若a=−2，则fx由2kπ解得kπ即fx的单调递增区间为k【解析】【分析】（1）结合二倍角公式，辅助角公式将fx化简为a+2acos2x+π3（2）由（1）得fx=43cos（1）fx=a=a+2a=a+2acosfx的最大值为2，所以2a若a>0，则3a=2,a=2若a<0，则−a=2,a=−2.综上所述，a的值为23或−2（2）若a=23，则由2kπ解得kπ即fx的单调递增区间为k若a=−2，则fx由2kπ解得kπ即fx的单调递增区间为k18．【答案】（1）解：解：当a=0时，gx当x≥0时，gx当x<0时，gx又fx=3x​​​​​​​（2）解：因为mx=min结合（1）中图象，可知当−1≤x≤1时，fx当x≤−1或x≥1时，gx所以mx=f（3）解：因为fx所以Fx当x≥a时，F(x)=x则F(x)的图象开口向上，对称轴为x=−1若a>−12，则F(x)在x=a处取得最小值若a≤−12，则F(x)在x=−1当x<a时，F(x)=x则F(x)的图象开口向上，对称轴为x=1若a<12，则F(x)在x=a处取得最小值若a≥12，则F(x)在x=1综上，当a≥12时，又a2−2−a−此时φ(a)在a=12时取得最小值当−12<a<12时，φ(a)=a2当a≤−12时，又a2−2−−a−此时φ(a)在a=−12时取得最小值综上，φ(a)的最小值为−2.【解析】【分析】（1）利用一元二次函数性质，分别做出二次函数的图象即可；（2）利用（1）中的图象，根据函数新定义，找出两者中最小的范围即可得解；（3）由（1）、（2）问得Fx的解析式，分两种情况x≥a与x<a，去绝对值，表示出最小值为φa结再分类讨论（1）当a=0时，gx当x≥0时，gx当x<0时，gx又fx=3x（2）因为mx=min结合（1）中图象，可知当−1≤x≤1时，fx当x≤−1或x≥1时，gx所以mx=f（3）因为fx所以Fx当x≥a时，F(x)=x则F(x)的图象开口向上，对称轴为x=−1若a>−12，则F(x)在x=a处取得最小值若a≤−12，则F(x)在x=−1当x<a时，F(x)=x则F(x)的图象开口向上，对称轴为x=1若a<12，则F(x)在x=a处取得最小值若a≥12，则F(x)在x=1综上，当a≥12时，又a2−2−a−此时φ(a)在a=12时取得最小值当−12<a<12时，φ(a)=a2当a≤−12时，又a2−2−−a−此时φ(a)在a=−12时取得最小值综上，φ(a)的最小值为−2.19．【答案】（1）证明：因为fx=x任取x1则f=x即fx1+x2（2）解：因为gx=sinx为0,π则sinA+sinB+例如A=B=C=π3时，所以sinA+sinB+（