4线段的垂直平分线课件北师大版八年级数学下册()

第一章

三角形的证明4线段的垂直平分线第1课时

线段的垂直平分线的性质与判定

【探究1】线段垂直平分线的性质探究与应用【尝试证明】

我们曾经探索过线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论,并与同伴进行交流.你能根据性质画出图形,写出已知、求证吗?

【探究1】线段垂直平分线的性质探究与应用

已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.

求证:PA=PB.证明:∵MN⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS),∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).如果点P与点C重合,那么结论也成立

【探究1】线段垂直平分线的性质探究与应用【概括新知】

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

符号语言:∵MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上的一点,∴PA=PB

【探究2】线段垂直平分线的判定探究与应用【尝试·思考】

你能写出线段垂直平分线性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?请证明自己结论的正确性.怎样证明这一结论呢？逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题.

【探究2】线段垂直平分线的判定探究与应用已知:如图,线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,垂足为C.∵PA=PB,PC=PC,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL),∴AC=BC,即点P在AB的垂直平分线上.C

【探究2】线段垂直平分线的判定探究与应用【概括新知】

到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

符号语言:∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上

【探究2】线段垂直平分线的判定探究与应用【应用】

例如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.

求证:直线AO垂直平分线段BC.证明:∵AB=AC,∴点A为线段BC垂直平分线上的一点(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).同理，点O为线段BC垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).【拓展提升】

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的延长线上一点,EH是BD的垂直平分线,且交AB于点E,交BD于点H,DE交AC于点F.求证:点E在AF的垂直平分线上.

探究与应用证明：∵EH垂直平分BD，∴BE=DE，∴∠BEH=∠DEH，∵∠ACB=90°，∴EH∥AC，∴∠BEH=∠BAC，∠DEH=∠AFE，∴∠EAF=∠AFE，∴AE=EF，∴点E在AF的垂直平分线上．

达标测评1.如图1,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 (

)A.AB=AD

B.CA平分∠BCDC.AB=BD

D.△BEC≌△DEC2.如图2,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在

的垂直平分线上.

图1图2C线段AC课堂小结与检测

达标测评3.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是线段AB的中垂线,垂足为D,交BC于点E,BE=5,则AE=

,∠AEC=

,AC=

.

4.如图2,在△ABC中,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,则∠B=∠BAE,∠C=∠GAF.若∠BAC=126°,则∠EAG=

.

图1图2课堂小结与检测5

第一章

三角形的证明4线段的垂直平分线第2课时垂直平分线的应用

回答下列问题:

问题1:线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么?

知识关联性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.问题2:你能利用垂直平分线的性质尺规作等腰三角形吗?判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

【探究1】利用垂直平分线的性质尺规作图探究与应用【尝试·交流】(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗?

先作已知线段BC=a;然后再作BC边上的高h,由于垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC所在直线上的任意一点D,过此点作BC边的垂线,最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D),使AD(或A1D)=h,连接AB,AC(或A1B,A1C),所得△ABC(或△A1BC)都满足条件,所以这样的三角形有无数多个.解:(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出三角形,并且能作出无数多个,

【探究1】利用垂直平分线的性质尺规作图探究与应用【尝试·交流】(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个?与同伴进行交流.

如图,已知线段a,h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h.作法:1.作线段BC,使BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D.在l上作线段DA,使DA=h.4.连接AB,AC.△ABC就是所要作的等腰三角形.

【探究1】利用垂直平分线的性质尺规作图探究与应用【思考·交流】

还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗?这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.如果点P在直线l外呢?此时,还能运用这种转化的方法吗?请你试一试,并与同伴进行交流.如图,已知直线l和l外一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P.

作法:1.任取一点Q,使点Q与点P在直线l两旁.2.以点P为圆心,以PQ的长为半径作弧,交直线l于点A和点B.3.作线段AB的垂直平分线m.如图,直线m就是所要作的直线.

【探究1】利用垂直平分线的性质尺规作图探究与应用【应用】

如图,已知△ABC,完成下列尺规作图:(1)作AC边上的高;(2)作BC边上的高.解:(1)如图线段BH即为所求.(2)如图线段AD即为所求.

【探究2】

三角形三条边垂直平分线的性质的证明探究与应用例(教材例2)已知:如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P.求证:边AC的垂直平分线经过点P.分析:要证明点P在边AC的垂直平分线上,需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P,由此你能得到哪些相关的结论?

证明:如图,连接PA,PB,PC.∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB.同理,PB=PC.∴PA=PB=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上，即边AC的垂直平分线经过点P.

【探究2】

三角形三条边垂直平分线的性质的证明探究与应用【概括新知】

三角形三条边的垂直平分线相交于一点,

并且这一点到三个顶点的距离相等.

【探究2】

三角形三条边垂直平分线的性质的证明探究与应用变式训练如图△ABC,现要求找一点P,使其到三个顶点的距离相等.(1)该点P是△ABC三条

的交点;(选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”)

(2)请用无刻度的直尺和圆规作出点P的位置(保留作图痕迹,不写作法).

解：(2)如图所示,分别作出AB,BC的中垂线,

交点为点P,点P为所求作的点.垂直平分线

小杰认为:“三角形三条边的垂直平分线的交点一定在三角形的内部.”小明说:“小杰的说法不正确,如果这个三角形是钝角三角形,结论就不一样了.”(1)你认为谁的说法正确?请用尺规作图法作出锐角三角形三条边的垂直平分线的交点,并回答这个交点在三角形的什么位置.(2)锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的

(填“内部”“外部”或“边上”)

钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的

(填“内部”“外部”或“边上”)

.

【拓展提升】

探究与应用外部

(3)直角三角形三条边的垂直平分线的交点在直角三角形的什么位置?内部在直角三角形的斜边中点处

达标测评1.P为△ABC内一点,且PA=PB=PC,则点P是 (

)A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三个角的平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点2.如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是 (

)A.直角三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形3.下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA