高考数学 第十章 §10.4　随机事件与概率

§10.4随机事件与概率课标要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示.②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示.③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.2.两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA=B并事件(和事件)事件A与事件B至少有一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)事件A与事件B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)事件A与事件B不能同时发生A∩B=∅互为对立事件A与事件B有且仅有一个发生A∩B=∅，且A∪B=Ω3.古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.4.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=kn=n其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.5.概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).6.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(×)(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(√)(3)从-3，-2，-1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(√)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.(×)2.甲、乙等五人站成一排，其中为互斥事件的是()A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙站排尾”C.“甲站排头”与“乙不站排头”D.“甲不站排头”与“乙不站排头”答案A解析因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确；因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确；因为“甲站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项C不正确；因为“甲不站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项D不正确.3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8答案B解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1，故所求概率为1-0.2-0.5=0.3.4.抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件B为“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)=，P(A∩B)=.

答案23解析抛掷一枚骰子，所有可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，共6个样本点，事件A∪B包括出现的点数是1，3，5，6，共4个样本点，故P(A∪B)=23事件A∩B包括出现的点数是3，共1个样本点，故P(A∩B)=161.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).题型一随机事件的关系命题点1随机事件关系的判断例1(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”，则下列结论正确的是()A.E，F为对立事件B.G，H为互斥不对立事件C.E，G是互斥事件D.G，R是互斥事件答案AB解析“点数为奇数”与“点数为偶数”不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确；“点数大于2”与“点数小于2”不可能同时发生，且不是必有一个发生，所以G，H为互斥不对立事件，选项B正确；“点数为奇数”与“点数大于2”可能同时发生，E，G不是互斥事件，选项C不正确；“点数大于2”与“点数为3”可能同时发生，G，R不是互斥事件，选项D不正确.命题点2利用互斥、对立事件求概率例2(1)(多选)下列说法正确的有()A.若事件A⊆B，则P(A)≤P(B)B.若A，B为对立事件，则P(A)+P(B)=1C.若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)D.P(A∪B)<P(A)+P(B)答案ABC解析若事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A正确；若A，B为对立事件，则P(A)+P(B)=1，故B正确；若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，故C正确；因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，所以当A，B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D错误.(2)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为.

答案0.11解析记“射中环数不够7环”为事件D，则事件D为“射中10环或9环或8环或7环”，所以P(D)=0.21+0.23+0.25+0.2=0.89，所以P(D)=1-P(D)=1-0.89=0.11.命题点3利用频率估计概率例3(多选)下列命题正确的是()A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是9C.有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51答案AB解析随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是18100=950，故有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错误；100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则不能得出抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51，故D错误.思维升华事件关系的运算策略进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.跟踪训练1(1)从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则下列选项中事件E与事件F互斥却不对立的是()A.事件E：3个球中至少有1个红球；事件F：3个球中至少有1个白球B.事件E：3个球中恰有1个红球；事件F：3个球中恰有1个白球C.事件E：3个球中至多有2个红球；事件F：3个球中至少有2个白球D.事件E：3个球中至多有1个红球；事件F：3个球中至多有1个白球答案B解析对于A，事件E与事件F可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件E与事件F不是互斥事件，故A错误；对于B，事件E与事件F不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件E与事件F互斥却不对立，故B正确；对于C，事件E与事件F可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件E与事件F不是互斥事件，故C错误；对于D，事件E与事件F不可能同时发生，且必有一个发生，所以事件E与事件F是互斥事件也是对立事件，故D错误.(2)若事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，则P(A)=.

答案0.8解析因为事件A和B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)+0.3=0.5，解得P(A)=0.2，故P(A)=1-P(A)=0.8.题型二古典概型例4(1)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.13 C.12答案B解析从甲、乙两人中选一人站在排尾有C21种排法，丙站在中间两位有C21种排法，其余2空2人全排列有A22种，故共有C21·C21·A22(2)(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.

答案3解析从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点个数为C83＝因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5共3种，所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点有3个，所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为356思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练2(1)(2025·宜宾模拟)某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球、足球、排球、网球、羽毛球、乒乓球，甲、乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲、乙选修的体育课中至少有1门相同的概率为()A.13 B.23 C.35答案C解析由题意，甲、乙选修的体育课中没有相同科目的概率为C62C42C62C62=(2)将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为()A.35 B.45 C.25答案A解析将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有A55A22其中，2个1不相邻的排法有A33A22·C故所求概率为1830=3题型三概率与统计的综合问题例5(2024·绵阳模拟)为了验证甲、乙两种药物对治疗某种疾病的效果，某科研单位用两种药物对患有该疾病的患者进行临床药物实验.随机抽取患有该疾病的患者200人，其中100人注射甲药物，另外100人注射乙药物，实验完成后，得到如下统计表：效果明显效果不明显合计甲药物7624100乙药物8416100合计16040200(1)分别估计注射甲、乙两种药物的治疗效果明显的概率；(2)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果是否有差异；(3)从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽出5人，然后从5人中随机抽取2人做进一步药物实验，求这两人中至少有一人是注射甲药物的概率.参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)由题意可知，注射甲药物的患者共100人，治疗效果明显的有76人，故注射甲药物治疗效果明显的概率为P1=76100=19注射乙药物的患者共100人，治疗效果明显的有84人，故注射乙药物治疗效果明显的概率为P2=84100=21(2)零假设为H0：甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果没有差异，由表中的数据可知，χ2=200×(76×16-24×84)2根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，所以可以认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果没有差异.(3)因为甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者分别有24人、16人，所以从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽出5名患者，应从甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者中分别抽取3人、2人，从5人中随机抽取2人做进一步药物实验，两人中至少有一人是注射甲药物的概率为P=C31C21思维升华求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据公式准确计算.跟踪训练3某校为增强学生国防意识，组织了一次国防知识竞赛活动，为了解本次竞赛活动的成绩，随机抽取了1000名学生并统计其成绩(单位：分，满分200分)，按照[120，130)，[130，140)，[140，150)，[150，160)，[160，170)，[170，180)，[180，190)，[190，200]分成8组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值，并求这1000名学生中成绩在[120，170)的学生人数；(2)若按照按比例分配的分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[170，180)和[180，190)内的学生中随机抽取9名，再从这9名学生中随机抽取3名参加讲座，求这3名学生来自不同组的概率.解(1)依题意，(0.005+0.01+a+0.025+a+0.01+0.005+0.005)×10=1，解得a=0.02，所以成绩在[120，170)的频率为0.05+0.1+0.2+0.25+0.2=0.8，所以这1000名学生中成绩在[120，170)内的学生人数为1000×0.8=800.(2)因为0.01∶0.005=2∶1，所以按照按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩在[170，180)和[180，190)内的学生中随机抽取9名，则需从成绩在[170，180)和[180，190)内的学生中分别抽取6名和3名，设事件M为“从这9名学生中随机抽取3名参加讲座，这3名学生来自不同组”，则P(M)=C63+C33C93=2184=1所以从这9名学生中随机抽取3名参加讲座，这3名学生来自不同组的概率为34课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是()A.3个都是男生 B.至少有1个男生C.3个都是女生 D.至少有1个女生答案B解析从5个男生、2个女生中任意选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件.2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2025次，那么第2024次出现正面朝上的概率是()A.12024 B.12025 C.20242025答案D解析由概率的性质得，无论试验多少次，概率始终不变，故第2024次出现正面朝上的概率是123.若P(A∩B)=19，P(A)=23，P(B)=13，则下列结论不正确的是A.事件A与事件B不互斥B.事件A与事件B不对立C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A∪B)=2答案D解析∵P(A∩B)=19，∴A与B能同时发生，∴事件A与事件B不互斥、不对立，故A，B∵P(A)=23，∴P(A)=13，又∵P(B)=13，∴P(A)P(B)=19=P(ABP(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=13+13-19=594.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为()A.19 B.1181 C.1781答案C解析用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出9×9=81(个)两位数，其中个位和十位上的算筹个数都为1的有1×1=1(个)，个位和十位上的算筹个数都为2的两位数有2×2=4(个)，个位和十位上的算筹个数都为3的两位数有2×2=4(个)，个位和十位上的算筹个数都为4的两位数有2×2=4(个)，个位和十位上的算筹个数都为5的两位数有2×2=4(个)，共有4×4+1=17(个)，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为1781二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2025·哈尔滨模拟)一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事件A=“两次取到的球颜色相同”，事件B=“第二次取到红球”，事件C=“第一次取到红球”.下列说法正确的是()A.A⊆BB.事件B与事件C是互斥事件C.P(AB)=2D.P(B+C)=2答案CD解析由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}，事件B包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红)，(红，绿)}，则A不包含于B，选项A错误；B∩C≠∅，选项B错误；事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}，P(AB)=C42C102事件B+C包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，红)，(红，绿)}，P(B+C)=4×3+6×4×26.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据：日销售量/杯[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]天数46956以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是()A.估计平均每天销售50杯双皮奶(同一组区间以中点值为代表)B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为11C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为1D.这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯答案BCD解析平均每天双皮奶的销售量为30×4+40×6+50×A错误；日销售量不小于55杯的概率为5+630=1130，日销售量小于45杯的概率为4+630=13，1-630=0.8，因此这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯，D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个.

答案8解析因为通过大量重复的摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，设不透明的袋中有x个绿球，因为袋中还有9个红球，3个白球，所以x9+3+x=0.4，解得x8.通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四个数字a1a2a3a4(其中ai∈{0，1，2，…，9}，i=1，2，3，4)随机组成，如果验证码a1a2a3a4满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码.某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为.

答案7解析由题意设该验证码为a1a2a3a4，则a1=2，2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4从3，4，5，6，7，8，9中选，选出3个数，让其按照从小到大的顺序排列有C73=35(种又四位验证码共有10×10×10×10=10000(种)排法，∴它是首位为2的递增型验证码的概率为3510000=7四、解答题(共28分)9.(13分)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(6分)(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.(7分)解(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C故A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件C，“参赛女生有2人”为事件D，“参赛女生有3人”为事件E.则P(D)=C32C32C64=35，由互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(D)+P(E)=35+15=故所求事件的概率为4510.(15分)某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；每人每年所交纳的保费与参保年龄如表格所示(保费：元).据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.年龄[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]保费x2x3x4x5x(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x至少为多少元？(精确到整数)(6分)(2)经调查，年龄在[30，50)之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，采用按比例分配的分层随机抽样的方法从年龄在[30，40)和[40，50)的人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保费.在保费x取到(1)中求得的最小值的条件下，求被免去的保费不低于150元的概率.(9分)解(1)由10(0.007+0.016+a+0.025+0.020)=1得a+0.06