盐城市、南京市2024－2025学年度第一学期期末调研考试数学试卷含答案

盐城市、南京市2024－2025学年度第一学期期末调研考试高三数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第＝1\*ROMANI卷(选择题共58分)1．已知集合S＝(－1，1)，集合T＝{y|y＝sinx}，则S∪T＝ A． B．S C．T D．R2．已知向量a＝(1，m)，b＝(2，－1)．若a⊥b，则实数m的值是 A．－2 B．2 C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)3．设a为实数，则“a＜1”是“(a－1)(a－2)＞0”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在(1＋eq\r(3,3)x)8的展开式中，系数为整数的项数是 A．9 B．4 C．3 D．25．若函数f(x)＝x2－2xsinα＋1有零点，则cos2α的取值集合为 A．{－1，1} B．{0} C．{1} D．{－1}6．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))，若f(x)的图象经过点(0，1)，且f(x)在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是 A．[eq\f(5,3)，＋∞) B．[eq\f(11,6)，eq\f(17,6)) C．[eq\f(5,3)，eq\f(8,3)) D．[eq\f(11,6)，＋∞)7．第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为 A．eq\f(5,6) B．eq\f(3,4) C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)8．已知点F1，F2是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为Q．若5eq\o(QF1,\s\up6(→))＋3eq\o(QF2,\s\up6(→))＋3eq\o(QP,\s\up6(→))＝0，则椭圆Ω的离心率为 A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,5) C．eq\f(3,7) D．eq\f(3,8)9．某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X(单位：克)．若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，则 A．P(X＜600)＝eq\f(1,2)B．P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606) C．P(X＜595)＝P(X＞605) D．σ越小，P(X＜598)越大10．设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有 A．|z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B．eq\o(z1,\s\up6(－))＋eq\o(z2,\s\up6(－))＝eq\o(z1＋z2,\s\up6(—)) C．若|z1|＝|z2|，则zeq\o(\s\up1(2),1)＝zeq\o(\s\up1(2),2) D．若zeq\o(\s\up1(2),1)＜0，则z1为纯虚数11．已知曲线C：x3＋y3＝1，则 A．曲线C关于直线y＝x对称 B．曲线C关于原点对称 C．曲线C在直线x＋y＝0的上方 D．曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于eq\f(π,4)第＝2\*ROMANII卷(非选择题共92分)12．函数f(x)＝x2＋lnx的图象在点(1，1)处的切线的斜率为▲．13．已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E满足eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PD,\s\up6(→))．设三棱锥P－ACE和四棱锥P－ABCD的体积分别为V1和V2，则eq\f(V1,V2)的值为▲．14．已知等差数列{an}的公差不为0．若在{an}的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为▲．(用最简分数作答)四、解答题：本大题共小题，计分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．(本小题满分13分)在△ABC中，AB＝6，BC＝5．（1）若C＝2A，求sinA的值；（2）若△ABC为锐角三角形，cosA＝eq\f(9,16)，求ΔABC的面积．16．(本小题满分15分)如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC－A1B1C1中，点E是棱AA1的中点，AB1⊥CE．（1）求证：平面A1ABB1⊥平面ABC；（2）若∠A1AB＝eq\f(π,3)，点P满足eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))，求直线CP与平面A1ABB1所成角的正弦值．((第16题图)17．(本小题满分15分)已知点F1，F2分别为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点F1到双曲线E的渐近线的距离为2eq\r(,2)，点A为双曲线E的右顶点，且AF1＝2AF2．（1）求双曲线E的标准方程；（2）若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线BD过定点．18．(本小题满分17分)设函数f(x)＝ax＋ka－x(k∈R，a＞0，a≠1)．（1）当k＝4时，求f(x)的最小值；（2）讨论函数f(x)的图象是否有对称中心．若有，请求出；若无，请说明理由；（3）当k＝0时，x∈(－∞，eq\f(1,2))都有f(x)≤eq\f(1,1－2x)，求实数a的取值集合．19．(本小题满分17分)若数列{an}满足：对任意n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称{an}是融积数列．（1）断数列{e2n}是否为融积数列，并说明理由；（2）若等差数列{an}是融积数列，求{an}的通项公式；（3）若融积数列{an}单调递增，a1＝2，a2＝8，求使an＝2123成立的n的最值．

盐城市、南京市2024－2025学年度第一学期期末调研考试高三数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C2．B 3．A4．C5．D 6．B 7．A 8．D二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．9．AC 10．BD 11．ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12.3 13．eq\f(1,6) 14．eq\f(1,2425)四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)解：（1）因为C＝2A，所以sinC＝sin2A＝2sinAcosA，所以cosA＝eq\f(sinC,2sinA)．在△ABC中，由正弦定理得eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(AB,BC)，而AB＝6，BC＝5，所以cosA＝eq\f(sinC,2sinA)＝eq\f(3,5)．因为A∈(0，π)，所以sinA＝eq\r(,1－cos2A)＝eq\r(,1－(\f(3,5))2)＝eq\f(4,5)．（2）在△ABC中，因为cosA＝eq\f(9,16)，所以sinA＝eq\r(,1－cos2A)＝eq\r(,1－(\f(9,16))2)＝eq\f(5,16)eq\r(,7)．由正弦定理得eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(AB,BC)，所以sinC＝eq\f(AB,BC)sinA＝eq\f(6,5)×eq\f(5,16)eq\r(,7)＝eq\f(3,8)eq\r(,7)．因为△ABC为锐角三角形，所以cosC＝eq\r(,1－sin2C)＝eq\r(,1－(\f(3,8)\r(,7))2)＝eq\f(1,8)，所以sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,16)eq\r(,7)×eq\f(1,8)＋eq\f(9,16)×eq\f(3,8)eq\r(,7)＝eq\f(\r(,7),4)．所以△ABC的面积SΔABC＝eq\f(1,2)×AB×BC×sinB＝eq\f(1,2)×6×5×eq\f(\r(,7),4)＝eq\f(15,4)eq\r(,7)．16．(本小题满分15分)（1）证明：取AB的中点O，连接EO，A1B，OC．因为E为AA1中点，O为AB中点，所以EO//A1B．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则四边形ABB1A1是菱形，得AB1⊥A1B，则AB1⊥EO，又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE平面EOC，所以AB1⊥平面EOC．又因为OC平面EOC，所以OC⊥AB1．因为ΔABC是等边三角形，O为AB中点，所以OC⊥AB．又因为OC⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1平面A1ABB1，所以OC⊥平面A1ABB1．又因为OC面ABC，所以平面A1ABB1⊥平面ABC．（2）解：连接A1O．因为∠A1AB＝eq\f(π,3)，AB＝AA1，所以△A1AB是等边三角形，所以A1O⊥AB．又因为平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，所以A1O⊥平面ABC．如图，以O为原点，OC、OB、OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz．则O(0，0，0)，C(eq\r(3)，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，eq\r(3))，B1(0，2，eq\r(,3))．设C1(x，y，z)，又eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))，解得C1(eq\r(,3)，1，eq\r(,3))，则eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－eq\f(2\r(,3),3)，eq\f(1,3)，eq\r(,3))．平面A1ABB1的一个法向量n＝(1，0，0)，所以cos＜eq\o(CP,\s\up6(→))，n＞＝eq\f(\o(CP,\s\up6(→))·n,|\o(CP,\s\up6(→))|·|n|)＝－eq\f(\r(,30),10)．设直线CP与平面A1ABB1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜eq\o(CP,\s\up6(→))，n＞|＝eq\f(\r(,30),10)．17．(本小题满分15分)解：（1）设焦距为2c，则F1(－c，0)，故点F1到双曲线E的渐近线bx±ay＝0的距离为eq\f(|bc|,\r(,b2＋a2))＝b＝2eq\r(,2)．由AF1＝2AF2，知c＋a＝2(c－a)，得c＝3a．又因为c2＝a2＋b2，所以(3a)2＝a2＋8，解得a2＝1．所以双曲线E的标准方程为x2－eq\f(y2,8)＝1．（2）证明：①当直线BD的斜率不存在时，由AB⊥AD可得直线BD的方程为x＝－eq\f(9,7)．②当直线BD的斜率存在时，设直线BD的方程为y＝kx＋m，B(x1，y1)，D(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\ac\co1\hs2\vs2(x2－\f(y2,8)＝1，,y＝kx＋m，))得(8－k2)x2－2kmx－m2－8＝0．当eq\b\lc\{(\a\ac(8－k2≠0，,Δ＞0))时，x1＋x2＝eq\f(2km,8－k2)，x1x2＝－eq\f(m2＋8,8－k2)．因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，所以－eq\f((k2＋1)(m2＋8),8－k2)＋eq\f(2km(km－1),8－k2)＋eq\f((8－k2)(m2＋1),8－k2)＝0，所以7m2－2km－9k2＝0，所以(m＋k)(7m－9k)＝0，所以m＝－k或m＝eq\f(9,7)k．当m＝－k时，直线BD的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过定点A(1，0)，不合题意，舍去．当m＝eq\f(9,7)k时，直线BD的方程为y＝kx＋eq\f(9,7)k＝k(x＋eq\f(9,7))，恒过定点(－eq\f(9,7)，0)．综上①②，直线BD恒过定点(－eq\f(9,7)，0)．18．(本小题满分17分)解：（1）当k＝4时，f(x)＝ax＋4a－x≥2eq\r(,ax·4a－x)＝4(当且仅当ax＝4a－x，即x＝loga2时取等号)，所以，当x＝loga2时，f(x)取最小值4．（2）设点P(m，n)为函数f(x)的对称中心，则f(x)＋f(2m－x)＝2n，所以ax＋ka－x＋a2m－x＋ka－2m＋x＝2n，即ax(1＋ka－2m)＋a－x(k＋a2m)＝2n，所以a2x(1＋ka－2m)－2nax＋(k＋a2m)＝0，于是1＋ka－2m＝0，且k＋a2m＝0，且2n＝0，即a2m＝－k，n＝0所以当k≥0时，m无解，此时函数f(x)的图象没有对称中心；当k＜0时，m＝eq\f(1,2)loga(－k)，此时函数f(x)图象的对称中心为P(eq\f(1,2)loga(－k)，0)．（3）当k＝0时，f(x)＝ax，所以ax≤eq\f(1,1－2x)在(－∞，eq\f(1,2))上恒成立，即xlna＋ln(1－2x)≤0．令φ(x)＝xlna＋ln(1－2x)，则φ(0)＝0，所以φ'(x)＝lna－eq\f(2,1－2x)，φ''(x)＝－eq\f(4,(1－2x)2)＜0，所以φ'(x)在(－∞，eq\f(1,2))上单调递减，①当0＜a＜1时，φ'(x)＜0，则φ(x)在(－∞，eq\f(1,2))上单调递减，此时当x＜0时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去；②当a＞1时，由φ'(x)＝lna－eq\f(2,1－2x)＝0，解得x＝eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)＜eq\f(1,2)．1°当a＝e2时，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)＝0，所以x∈(－∞，0)时，φ'(x)＞0，则φ(x)单调递增；x∈(0，eq\f(1,2))时，φ'(x)＜0，则φ(x)单调递减；所以x＝0时，φ(x)取极大值，则φ(x)≤φ(0)＝0，所以a＝e2满足；2°当1＜a＜e2时，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)＜0，因为x∈(eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)，eq\f(1,2))时，φ'(x)＜0，则φ(x)单调递减，所以x∈(eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)，0)时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去；3°当a＞e2时，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)＞0，因为x∈(－∞，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna))时，φ'(x)＞0，则φ(x)单调递增，所以x∈(0，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna))时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去；综上，实数a的取值集合为{e2}．19．(本小题满分17分)解：（1）{e2n}是融积数列，下证明．设bn＝e2n，当n≥3时，取i＝1＜j＝n－1＜n，则bibj＝e2ie2j＝e2e2n－2＝e2n＝bn，即存在i，j∈N*，i≠j，i＜n，j＜n，使得bn＝bibj，则{e2n}是融积数列．（2）设等差数列{an}的公差为d．又{an}是融积数列，所以对任意的n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，则a3＝a1a2．考察a4，有下列三情况：①若eq\b\lc\{(\a\ac(a3＝a1a2，,a4＝a1a2，))则eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝0，,d＝0，))或eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝1，,d＝0))；②若eq\b\lc\{(\a\ac(a3＝a1a2，,a4＝a1a3，))则eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝0，,d＝0，))或eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝1，,d＝0))；③若eq\b\lc\{(\a\ac(a3＝a1a2，,a4＝a2a3，))则eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝0，,