《时间序列分析》课件 第3章 平稳 ARMA模型

时间序列分析

张成思第三章

平稳

ARMA模型3.1

移动平均过程3.2

自回归移动平均过程3.3

部分自相关函数、样本自相关

函数与样本部分自相关函数3.4ARMA模型的建立与估计23.1

移动平均过程3.1.1

MA(1)模型3.

1.1.1MA(1)模型的基本定义与性质移动平均过程(MAproces)

有时候也被称为滑动平

均过程，是指将时间序列过程yt写成一系列不相

关的随机变量的线性组合，为避免混淆，本书使用

移动平均过程的名称。MA

过

程

最

简

单

的

形

式

是

一

阶移

动

平

均

过

程M

A(1)

,

模

型

形

式

为yt=c十ε+θ₁

εt-1▶利用滞后算子来定义

MA(1)

过程，则式

y₁=c+(1+θ₁L)ε,MA过程对应的序列表现是怎样的呢yt=e+0.5e;-1图3

-

1模拟生成的

MA(1)

序

列100两侧取期望，就可以获得

MA(1)过程的均值μ=E(y)=E(c

十e,+θ₁εz-1)=c3.1.1.2MA(1)过程的方差与自协方差根据方差的基本定义，序列y

的方差定义为Yo=E[(y,—E(y))²]=E[(e,+θ₁εz-1)²]=(1+0²)o²为获得MA(1)

过程的自协方差，首先注意到E[(y一μ)(yz-;一μ)]=E[(e,+θ₁∈z-1)(ez-;+θ₁∈₁-;-1)]=E(e₁e₁-;+θ₁ε₁-1Ez-;+θ₁e,e₁-;-1+0²ε₂-1Ez-;-1)再根据白噪声的基本性质(彼此独立),观察式(3.5)可以得到下面的结果：3.1.1.3

MA(1)过程的自相关函数MA(1)

过程的自相关函数图32

M

A(1)过程的理论自相关函数图θ₁=0.5(a)0.40.20.0-0.2-0.468101214161820θ₁=-0.2(c)θ₁=2(b)0.40.20.0-0.2-0.42468101214161820θ₁=-5(d)3.1.1.4

MA(1)过程的可逆性过滞后算子的一个有用性质，就是如果|

α

|<1(1—aL)-¹=1+aL+a²L²+a³L³+

…所以，令α=—

θ₁,只要满足|

θ₁

|<1,就可以得到下列关系：无穷阶AR

过程，或写成AR(∞)yt=(c—θ₁c+θ²c—θ³c+…)+θ₁yt-1—θ²yi-2+

…十et现在，将式(3.2)重新写成以下形式

(1+θ₁L)⁻¹(y,—c)=ε,从而可以获得下列关系式3.1.2

MA(2)模型3.1.2.1

MA(2)模型的基本定义二阶移动平均过程，简记为

MA(2)yt=c十ε+θ₁εz-1+θ₂

ε;-2利用滞后算子，可以将式重写y,=c+(1+θ₁L+θ₂L²)ε,图3-3M

A(2)过程模拟生成的序列：yt=εt+0.5εt-1+0.3εt-21003.1.2.2MA(2)

过程的均值、自协方差与自

相关函数MA(2)

过程的均值表达式μ=E(y,)=c进而可以得到MA(2)过程的方差表达式，即Yo=E[(y,-μ)²]=E[(e,+θ₁ε₁-1+θ₂ε1-2)²]=(1+θ²+02)o²根据自协方差的定义，可以求得MA(2)过程自协方差的公式如下：这样，就可以直接求得MA(2)

过程的理论自相关函数表达式，即图3-4

MA(2

)过程的理论自相关函数图3.1.3

MA(q)模型MA(1)模型和

MA(2)

模

型的

更

一

般化的拓展形式，其基本定义yt=c十e+θ₁εz-1+θ₂

εz-2+…+θ₄

εt-q其中，ε:仍然表示白噪声过程，而θ;(i=1,2,…,q)

代表系数。与

MA(1)过程和MA(2)过程类似，MA(q)过程的均值为μ=E(c

十ε,+θ₁ei-1+θ₂

ez-2+…+θ₄

εz-q)=c根据白噪声的特性，

MA(q)

过程的方差求解也相对比较简单，即▶j>0,那么自协方差是Y;=E[(y,

一μ)(y-一μ)]=E[(e+θ₁Ez-1+θ₂εz-2+…+θ₄εz-q)(e₁_;+θ₁E₁-;-1+0₂ε₁-;-2+…+θ₄εz;-q)]=E(θ;e²-;+θ;+1θ₁e²-;-1+θ;+2θ₂e²-;-2+…+θ₄θq-;e²-q)▶综合起来，MA(q)过程的自协方差公式可以j>q下面，依据式(3.25)就可以得到MA(q)

过程的自相关函数表达式，即写成3

.2自回归移动平均过程3.2.1

ARMA(p,q)过程的基本定义一

般的

A

R

MA

(p,q)y₁=c+a₁yi-1+α2yz-2+…十apyi-p

十e₁+θ₁

εz-1+θ₂

ε₁-2+…+θ₄

ε1-q利用滞后算子将式写成以下形式：(1—a₁L—a₂L²-…—apLD)y,=c+(1+θ₁L+θ₂L²+…+θ₄L⁹)e,或者更为简约的形式，即a(L)y,=c+θ(L)e其中，滞后算子多项式满足a(L)=1—a₁L—a₂L²—…—a,L和θ(L)=1+θ₁L+θ₂L²+

…+θ₄L⁹3.2.2

ARMA(p,q)过程的平稳性与可逆性ARMA过程，其平稳性要求是1—a₁z—a₂z²—…-apz=0ARMA(p,q)

过程的可逆条件是方程1+θ₁z+θ₂z²+…+θ₄z⁹=03.2.3

ARMA(p,q)过程的均值、方差与

自协方差ARMA

基本公式两侧取期望可以得到

ARMA过程

的均值表达式常数项c表示均值μ和自回归系数的函数，

然后代入ARMA模型y₁-

μ=α1(yi-1一

μ)+α₂(yi-2

一μ)+…十ap(yz-p一

μ

)十

(e,+θ₁ei-1+θ₂εt-2+…+θ₄ε1-q)两侧都乘以(yt-j-

μ)，

并取期望γ_j=E[(y_t-μ)(y_{t-j}-μ)]=E[α1(yt−1−μ)(yt−j−μ)+α2(yt−2−μ)(yt−j−μ)+

…]十ap(y₂-p一μ)(yi-;一

μ

)

+(e,+θ₁E₂-1+0₂εz-2+…+θ₄Ez-q)(y₁-;一μ)]

=a₁Y;-1+a₂Y;-2+…十apYj一p+E[(e,+θ₁

ε:-1+θ₂

ε₁-2+…+θ₄

εz-q)(y-

;一μ)]=α1Y;-1+a₂Y;-2+…+αpY;

一p+E(εtyt−j)+θ1E(εt−1yt−j)+θ2E(εt−2yt−j)+…+θqE(εt−qyt−j)3.2.4

ARMA(p,q)过程的自相关函数最后一行各项都变为0Y;=α1Y;-1+a₂Y;-2+…

十

apY;一p,j=q+1,q+2,…这样，当j>q时

，ARMA(p,q)过程的自相关函数就是P;=α1P;-1+α₂P;-2+…

十

apP;

一p,j=q+1,q+2,…这样，就可以得到而对于j>1

时的情况有Yo=α₁Y₁+σ²+θ₁(α₁+θ₁)o²Y₁=α₁Yo+θ₁σ²Y₂=α1Y₁推导结P;=α1Pj-1图3-5

ARMA(1,1)的理论自相关函数图3.2.5

AR模型与MA

模型的互相转化从ARMA模型开始考察α(L)y=c+θ(L)ε,如果将式(3.32)两侧都乘以a(L)-¹,则可以得到下面的等式，即两侧都乘以θ(L)-1θ(L)⁻¹α(L)y₁=θ(L)⁻¹c+et▶利用滞后算子的特性更为直观的形式0(L)yt=c**+ε3.3

部分自相关函数样本自相关函数

与样本部分自相关函数3.3.1

部分自相关函数AR(1)

过程中，yt通过yt-1

与yt-2相关，尽管yt-

2并没有直接出现在AR(1)模型中，yt

与yt-2的相关程度由p2=ρ21给出，即y₁=ayz-1+e₁=a(ay₂-2+e:-1)+e,=a²yz-2+aez-1+e,图3-

6

AR(1)模型的理论部分自相关函数▶给定时间序列变量yt,假设其均值为μ,第k

期的部分自相关函数定义为下面等式中的

系数φky₁

一μ=中k₁(y-1一μ

)

+k₂(y₁-2—μ)+

…十

(yt-kμ)+er注意，式(3.46)等价于yt=c十中k1yt-1+

中k2y-2+…

十中kyt-k+e,两侧同乘以(yt-j-μ)并且取期望，可以获得Y;=

中k₁

Y;-1+

中k₂

Y;-2+…

十中

Y;—k▶矩阵知识，就可以得到或者可以进一步写成图3-7AR

模型与

MA模型的部分自相关函数比较演示3.3.2

样本自相关函数T表示给定序列yt

的样本大小，那么样本均值

等统计量可以通过以下公式获得▶从而，可以求出样本自相关函数循环计算以获得样本部分自相关函数在其他

各滞后期的值3.3.3样本部分自相关函数样本数据和样本自相关函数的公式3.3.4

应用演示(点)6000500040003000-20001000-0+199219962000200420082012201620202024图3-8上海证券综合指数：1992年1月—2024年4月I10.9760.976372.410.000I20.951-0.032726.900.000I30.921-0.1211060.10.000I40.8930.0381374.40.000I50.865-0.0191669.70.000I60.833-0.0931944.50.000I70.8030.0182200.40.000I80.768-0.0952435.30.00090.735-0.0012650.90.000I100.701-0.0192847.40.000110.6710.0803028.40.000120.6440.0173195.30.000图3-9上海综合指数的样本自相关函数、样本部分自相关函数以及Q

统计量Autocorrelation

Partial

Correlation

AC

PAC

Q-Stat

Prob3-10

上海证券综合指数收益率及其样本自相关函数、样本

部分自相关函数以及Q

统计量200T-40+199219962000200420082012201620202024160-120-80-40-0-上海证券综合指数收益率(%)IIII|II1-0.029

-0.029

20.002

0.001

3-0.011

-0.011

4-0.079

-0.080

5-0.072

-0.0770.3230

0.3244

0.3716

2.82644.88540.570

0.850

0.946

0.5870.430l

1IIII6

0.0190.014

7

0.0760.077

8

0.0290.027

9

0.126

0.118

10-0.085

-0.080110.115

0.129

12-0.057

-0.0365.0211

7.3284

7.6700

13.977

16.837

22.17723.4820.541

0.396

0.466

0.123

0.078

0.0230.0243-10

上海证券综合指数收益率及其样本自相关函数、样本

部分自相关函数以及Q

统计量AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb3.4A

RMA模

型的

建

立

与

估

计3.4.1

ARMA模型的滞后期设立使用

ARMA

模型分析实际问题，首先需要处理的问题就是模

型中的滞后期数。如何