27.2.2相似三角形的性质（教学设计）数学人教版九年级下册

27.2.2相似三角形的性质教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版九年级下册数学第二十七章《相似》中的27.2.2相似三角形的性质，包括相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系，相似三角形及相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，以及这些性质的应用.2.内容解析本节课是在相似三角形判定基础上，对相似三角形本质属性的深化，揭示相似三角形的对应线段、周长、面积与相似比的内在关联，是相似图形知识体系的核心组成部分，为后续几何计算与实际应用奠定基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比及周长比与相似比的关系，以及相似三角形及相似多边形面积比与相似比的关系.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系；（2）理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系；（3）能运用相似三角形的性质解决与对应线段、周长、面积相关的实际问题与计算问题.2.目标解析对于目标（1），通过推理证明与归纳概括、结合相似三角形的定义与判定，学生能掌握相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系.对于目标（2），通过推理证明与归纳概括，学生能理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系.对于目标（3），通过实例分析与规范解题训练，学生能运用相似三角形的性质解决与对应线段、周长、面积相关的实际问题与计算问题.三、教学问题诊断分析学情方面，九年级学生已掌握相似三角形的判定及全等三角形的性质，具备一定推理能力，但对“对应关系”的严谨把握不足，且面积比与相似比的平方关系需抽象推理，易与线段比、周长比混淆.教学中需关注对应元素的识别训练，以及面积比推导过程中“转化为底高比”的思维引导，避免学生因直观感知忽略逻辑证明.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：相似三角形面积比与相似比平方关系的推导逻辑理解，以及运用性质时准确识别对应线段、规避周长比与面积比的关系混淆.四、教学过程设计（一）新知引入三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．【思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系．【设计意图】以三角形已学几何量为切入点，通过“思考”引发认知冲突，衔接相似三角形定义中对应角、对应边的性质，自然过渡到对相似三角形其他几何量关系的探究，既唤醒学生已有知识储备，又明确本节课新知探究的方向，培养学生从定义出发类比迁移、探索几何量关联的思维能力.（二）新知讲解知识点一相似三角形对应高、中线、角平分线的比与相似比的关系【探究一】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高的比是多少？【解答】如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′．又△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，∴△ABD∽△A'B'D'．∴ADA’D’=【归纳】相似三角形对应高的比等于相似比．【探究二】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应中线的比是多少？【解答】如图，分别作△ABC和△A'B'C'的中线AE和A'E'，则BEB’E’=12BC12B’C∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′．∴△ABE∽△A'B'E'，∴AEA’E’=【归纳】相似三角形对应中线的比等于相似比．【探究三】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，对应角平分线的比是多少？【解答】如图，分别作△ABC和△A'B'C'的角平分线AF和A'F'，则∠FAB＝12∠CAB，∠F′A′B′＝12∠C′A′∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'，∠CAB＝∠C′A′B′，∴∠FAB＝∠F′A′B′，∴△ABF∽△A'B'F'．∴AFA’F’=AB【归纳】相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【小结】相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．数学思想：从特殊到一般知识点二相似三角形周长、面积的比与相似比的关系【思考】相似三角形的周长有什么关系？【探究四】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们周长的比是多少？【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，∴ABA’B’=∴AB＝kA'B'，AC＝kA'C'，BC＝kB'C'，∴C△ABCC△A‘B【归纳】相似三角形周长的比等于相似比．【思考】相似三角形面积的比与相似比有什么关系？【探究五】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们面积的比是多少？【解答】如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，∴BCB’C’=∴S△ABCS△A【归纳】相似三角形面积的比等于相似比的平方．【设计意图】通过“探究—解答—归纳”的步骤，依次探究相似三角形对应高、中线、角平分线及周长、面积与相似比的关系，从特殊线段到一般对应线段，从线段长度到周长、面积，层层递进渗透“从特殊到一般”的数学思想，让学生在推理中理解性质的形成过程，掌握相似三角形几何量之间的关联规律，提升逻辑推理和知识迁移能力.（三）典型例题例1已知△FHB∽△EAD，且对应角平分线的比为2.(1)它们的相似比为_____2_____；(2)若FH＝6，则EA＝_____3_____；(3)对应高的比为_____2_____，对应中线的比为_____2_____；(4)若△FHB的周长为30，则△EAD的周长为_____15_____.【针对练习】1.已知△ABC∽△DEF，且相似比为34，则下列说法错误的是(CA．∠ABC＝∠DEF，ABDE＝34

BC．对应高的比为916

D．周长的比为2.顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是_____123.已知两个三角形相似，其中一个三角形三边的长分别是4，6，8，另一个三角形的某一边的长是2，则该三角形的周长是(D)A．4.5B．6C．9D．以上答案都有可能【小结】在相似三角形中，如果没有指定对应边，需要进行分类讨论.例2若△ABC∽△DEF，ABDE＝4，则△ABC与△DEF的面积之比为(DA．2

B．4

C．1/4

D．16【针对练习】1.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则ABDE＝_____22.若两个相似三角形的相似比为35，且它们的面积和为102cm2，则较大三角形的面积为____75____cm2例3如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为125，求△DEF的边EF上的高和面积．解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴DEAB=DFAC=12，又∠D∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为12∵△DEF的边EF上的高为6，面积为125，∴△DEF的边EF上的高为12×6=3，面积为1【针对练习】1.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，求△EOD与△BOC的面积比．解：∵BE、CD是△ABC的中线，∴DE=12BC，DE∥BC∴DEBC=12，△DOE∽△∴ODOC=DEBC=∴S△DOE：S△COE=1：4．2.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AD＝2DB，AE＝2EC.求S△解：∵AD＝2DB，AE＝2EC，∴ADAB＝23，AEAC∴ADAB＝AE又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴S△ADES△ABC＝(ADAB)2＝(【思考】若题干条件不变，则S四边形DBCES【小结】这类题的解题步骤：先根据题目条件判定三角形相似，利用“相似三角形的周长比等于相似比”，求解未知周长；利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，求解未知面积.【设计意图】通过典型例题和针对性练习，从基础的相似比、对应线段比、周长比计算，到需分类讨论的边长问题，再到面积比及综合图形的应用，层层递进巩固新知.结合小结提炼解题步骤与分类讨论思想，让学生在实践中掌握相似三角形性质的运用方法，提升知识应用能力和逻辑思维的严谨性.（四）当堂巩固1．两个相似三角形的相似比为49，那么它们对应边上的高之比是(CA．23

B．32

C．49

2．若△ABC∽△DEF，且相似比为2，△ABC的面积为16，则△DEF的面积为(C)A．32

B．8

C．4

D．163．若某直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则该直角三角形(D)A．每个角扩大4倍

B．周长扩大2倍C．周长扩大4倍

D．面积扩大8倍4．如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为(B)A．4cm2

B．6cm2

C．8cm2

D．10cm25.如图，在▱ABCD中，点P是CD的中点，AC与PB交于点Q.若△CPQ的周长为6、面积为4，求△ABQ的周长和面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴△ABQ∽△CPQ.∵点P是CD的中点，∴CD＝2CP＝AB.∴ABCP∵△ABQ∽△CPQ，∴C