排队论及其模型

排队论运筹学1排队论排队论(queuingtheory)也称随机效劳系统理论(RandomServiceSystemTheory)，是为研究和解决具有拥挤现象的问题而开展起来的一门应用数学的分支。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的根底上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。2排队论排队论是1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K．Erlang)在研究电活系统时创立的，几十年来排队论的应用领域越来越广泛，理论也日渐完善。特别是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速开展，更为排队论的应用开拓了宽阔的前景。3排队论排队论(queuingtheory)研究内容包括三个局部：(1)排队系统的性态问题(2)排队系统的最优化问题(3)排队系统的统计推断问题性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等。最优化，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计，后者指现有排队系统的最优运营。统计推断，即判断一个给定的排队系统符合哪种模型，以便根据排队理论进行研究。解排队问题的目的，是研究排队系统运行的效率，估计效劳质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理，研究设计改进措施等。4排队论

第1节根本概念第2节到达间隔的分布和效劳时间的分布第3节单效劳台负指数分布排队系统的分析第4节多效劳台负指数分布排队系统的分析第5节一般效劳时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法5第1节基本概念1.1排队过程的一般表示1.2排队系统的组织和特征1.3排队模型的分类1.4排队问题的求解6不同的顾客与效劳组成了各式各样的效劳系统。顾客为了得到某种效劳而到达系统、假设不能立即获得效劳而又允许排队等待，那么参加队列排队等待接受效劳，然后效劳台按一定规那么从队列中选择顾客进行效劳，获得效劳的顾客立即离开系统。1.1排队过程的一般表示71.1排队过程的一般表示各个顾客由顾客源(总体)出发，到达效劳机构(效劳台、效劳员)前排队等候接受效劳，效劳完成后离开。排队结构指队列的数目和排列方式，排队规那么和效劳规那么是说明顾客在排队系统中按怎样的规那么、次序接受效劳的。排队过程的一般模型81.1排队过程的一般表示到达的顾客要求服务内容服务机构1.不能运转的机器2.修理技工3.病人4.电话呼唤5.文件稿6.提货单7.到达机场上空的飞机8.驶入港口的货船9.上游河水进入水库10.进入我方阵地的敌机修理领取修配零件诊断或动手术通话打字提取存货降落装(卸)货装(卸)放水，调整水位我方高射炮进行射击修理技工发放修配零件的管理员医生(或包括手术台)交换台打字员仓库管理员跑道货码头(泊位)水闸管理员我方高射炮形形色色的排队系统9实际的排队系统虽然千差万别，但是它们有以下的共同特征：(1)有请求效劳的人或物——顾客；(2)有为顾客效劳的人或物，即效劳员或效劳台；(3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供效劳的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。排队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长，而另外一些时候效劳员(台)又空闲无事。1.2排队系统的组成和特征101.2排队系统的组成和特征排队系统由三个根本局部组成：①输入过程②排队规那么③效劳机构111.2排队系统的组成和特征输入过程输入即指顾客到达排队系统。输入过程是指要求效劳的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流。一般可以从以下几个方面来描述—个输入过程(1)顾客的总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床那么是有限的。121.2排队系统的组成和特征输入过程(2)顾客到来的方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾客那么是成批到达的。131.2排队系统的组成和特征输入过程(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K个顾客(K=1、2、)的概率是多大。顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机型的。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等假设干种。141.2排队系统的组成和特征输入过程(4)顾客的到达可以是相互独立的。(5)输入过程可以是平稳的，或称对时间是齐次的，即描述相继到达的间隔时间分布和所含参数(如期望值、方差等)都是与时间无关的。151.2排队系统的组成和特征排队规那么这是指效劳台从队列中选取顾客进行效劳的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有效劳台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断，如要再打，就需重新拔号，这种效劳规那么即为损失制。

161.2排队系统的组成和特征排队规那么(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有效劳台都不空，顾客参加排队行列等待效劳。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。对于等待制，为顾客进行效劳的次序可以采用以下各种规那么：先到先效劳(FCFS)后到先效劳(LCFS)随机效劳(RS)有优先权的效劳171.2排队系统的组成和特征排队规那么(2)等待制。对于等待制，为顾客进行效劳的次序可以采用以下各种规那么：①先到先效劳。按顾客到达的先后顺序对顾客进行效劳，这是最普遍的情形。②后到先效劳。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。③随机效劳。即当效劳台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受效劳，如交换台接通呼叫就是一例。④优先权效劳。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于此种效劳规那么。181.2排队系统的组成和特征排队规那么(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种效劳规那么，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：①队长有限。当排队等待效劳的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求效劳，即系统的等待空间是有限的。例如最多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到达时，假设系统中的顾客数(又称为队长)小于K，那么可进入系统排队或接受效劳；否那么，便离开系统，并不再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的床位是有限的。191.2排队系统的组成和特征排队规那么(3)混合制①队长有限。②等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一定存储时间的元器件被自动认为失效。又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用餐。201.2排队系统的组成和特征排队规那么(3)混合制①队长有限。②等待时间有限。③逗留时间(等待时间与效劳时间之和)有限。例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为t时，假设在这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记s为系统中效劳台的个数，那么当K=s时，混合制即成为损失制；当K=∞时，混合制即成为等待制。211.2排队系统的组成和特征排队规那么〔续〕从允许排队的空间看队列可以排在具体的处所，也可以是抽象的。排队空间可以有限，也可以无限。从排队的队列数目看，可以是单列，也可以是多列。在多列的情形，各列间的顾客有的可以互相转移，有的不能。有的排队顾客因等候时间过长而中途退出，有的不能退出，必须坚持到被效劳为止。221.2排队系统的组成和特征效劳机构(效劳台情况)效劳台可以从以下3方面来描述：(1)效劳台数量及构成形式。效劳机构可以没有效劳员，也可以有一个或多个效劳员(效劳台、通道、窗口等)。从数量上说，效劳台有单效劳台和多效劳台之分。在有多个效劳台的情形中，可以是平行排列的，也可以是前后排列的，或混合排列的。231.2排队系统的组成和特征效劳机构(效劳台情况)效劳台可以从以下3方面来描述：(1)效劳台数量及构成形式。从构成形式上看，效劳台有：①单队——单效劳台式；如(a)图②单队——多效劳台并联式；如(c)图③多队——多效劳台并联式；如(b)图④单队——多效劳台串联式；如(d)图⑤单队——多效劳台并串联混合式；⑥多队——多效劳台并串联混合式等等。效劳台的各种排列方式24单队列——S个效劳台并联的排队系统S个队列——S个效劳台的并联排队系统1.2排队系统的组成和特征25单队——多个效劳台的串联排队系统

多队——多效劳台混联、网络系统1.2排队系统的组成和特征261.2排队系统的组成和特征效劳机构(效劳台情况)(2)效劳方式。这是指在某一时刻接受效劳的顾客数，它有单个效劳和成批效劳两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批效劳。(3)效劳时间的分布。效劳时间可分为确定型和随机型。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的效劳时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的效劳时间都是独立同分布的)等等。效劳时间的分布通常假定是平稳的。271.3排队模型的分类排队模型分类方法，1953构成排队模型的三个主要特征指标(1)相继顾客到达间隔时间的分布；(2)效劳时间的分布；(3)效劳台的个数。根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall记号：X/Y/ZX：表示相继到达间隔时间的分布；Y：表示效劳时间的分布；Z：并列的效劳台的数目。281.3排队模型的分类表示相继到达间隔时间和效劳时间的各种分布符号M——负指数分布(M是Markov的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov性)D——确定型(deterministic)Ek——k阶爱尔朗(erlang)分布GI——一般相互独立(generalindependent)的时间间隔的分布G——一般(general)效劳时间的分布291.3排队模型的分类Kendall符号的扩充X/Y/Z/A/B/C其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：A：系统容量限制N，或称等待空间容量。如系统有N个等待位子，那么0<N<∞。当N=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。N=∞时为等待制系统，此时∞般省略不写。N为有限整数时，表示为混合制系统。B：顾客源数目m。分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。C：效劳规那么，如先到先效劳(FCFS)，后到后效劳(LCFS)，优先权效劳(PR)等。301.3排队模型的分类Kendall符号的扩充X/Y/Z/A/B/C某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的前3个、4个、5个符号。如不特别说明那么均理解为系统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先效劳，单个效劳的等待制系统。约定：如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS／，那么表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；效劳时间为负指数分布；有s(s＞1)个效劳台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先效劳规那么。311.4排队问题的求解首先需要确定属于哪种排队模型，其中顾客到达的间隔时间分布和效劳时间的分布需要实测的数据来确定确定用以判断系统运行优劣的根本数量指标，求出这些数量指标的概率分布或特征数321.4排队问题的求解用于描述排队系统运行状况的根本数量指标(1)队长：系统中的顾客数，是排队等待的顾客数与正在接受效劳的顾客数之和，期望值记作Ls；排队长〔队列长〕：系统中排队等待效劳的顾客数，期望值记作Lq；

队长和排队长一般都是随机变量。我们希望能确定它们的分布，或至少能确定它们的平均值(即平均队长和平均排队长)及有关的矩(如方差等)。队长的分布是顾客和效劳员都关心的，特别是对系统设计人员来说，如果能知道队长的分布，就能确定队长超过某个数的概率，从而确定合理的等待空间。331.4排队问题的求解用于描述排队系统运行状况的根本数量指标(2)逗留时间：顾客在系统中的停留时间，从顾客到达时刻起到他接受效劳完成止这段时间，期望值记作Ws；是随机变量，也是顾客最关心的指标之一。等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，从顾客到达时刻起到他开始接受效劳止这段时间，期望值记作Wq，是随机变量，也是顾客最关心的指标，因为顾客通常希望等待时间越短越好。［逗留时间］＝［等待时间］＋［效劳时间］对这两个指标的研究当然是希望能确定它们的分布，或至少能知道顾客的平均等待时间和平均逗留时间。341.4排队问题的求解用于描述排队系统运行状况的根本数量指标(3)忙期：指从顾客到达空闲效劳机构起，到效劳机构再次为空闲止的时间长度，即效劳机构连续忙的时间。这是个随机变量，是效劳员最为关心的指标，因为它关系到效劳员的效劳强度。闲期：即效劳机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。其他一些指标，如在损失制或系统容量有限的情况下，由于顾客被拒绝，而使效劳系统受到损失的顾客损失率及效劳强度等351.4排队问题的求解系统状态的概率分布系统的状态即指系统中的顾客数，它的可能取值是：(1)队长没有限制时，n=0，1，2，…(2)队长有限制、最大数为N时，n=0，1，2，…，N(3)即时制且效劳台个数为c时，n=0，1，2，…，c系统处于这些状态的概率一般是随时间t变化的，所以在时刻t、系统状态为n的概率可以用Pn(t)表示。361.4排队问题的求解求状态概率Pn(t)的方法：

建立含Pn(t)的关系式，该关系式一般是包含Pn(t)的微分差分方程(关于t的微分方程，关于n的差分方程)。该方程的解称为瞬态(或称过渡状态)(transientstate)解。它的极限称为稳态(steadystate)解，或称统计平衡状态(statisticalequilibriumstate)解。371.4排队问题的求解稳态解的物理意义当系统运行了无限长时间后，初始(t=0)状态的概率分布(Pn(0)，n≥0)的影响将消失，系统状态的概率分布不再随时间而变化。在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以后。求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限，而只需令导数P’n(t)=0即可。381.4排队问题的求解上面给出的这些数量指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量，求这些随机变量的瞬时分布一般是很困难的。为了分析上的简便，并注意到相当一局部排队系统在运行了一定时间后，都会趋于一个平衡状态(或称平稳状态)。在平衡状态下，队长的分布、等待时间的分布和忙期的分布都和系统所处的时刻无关，而且系统的初始状态的影响也会消失。因此，本章中将主要讨论与系统所处时刻无关的性质，即统计平衡性质。39排队论

第1节根本概念第2节到达间隔的分布和效劳时间的分布第3节单效劳台负指数分布排队系统的分析第4节多效劳台负指数分布排队系统的分析第5节一般效劳时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法402.1到达间隔的分布2.1.1经验分布〔定长输入〕2.1.2普阿松流〔泊松流〕2.1.3爱尔朗分布2.2效劳时间的分布2.2.1经验分布〔定长分布〕2.2.2负指数分布2.2.3爱尔朗分布第2节到达间隔的分布和效劳时间的分布412.1.1经验分布例1

大连港大港区1979年载货500吨以上船舶到达(不包括定期到达的船舶)逐日记录见书上表12-2。将表12-2整理成船舶到达数的分布表。可以计算出：平均到达率=到达总数/总天数=1271/365=3.48(艘/天)船舶到达数n频数频率(%)0120.0331430.1182640.1753740.2034710.1955490.1346260.0717190.052840.011920.00510以上10.003合计3651.000422.1.1经验分布以τi表示第i号顾客到达的时刻，以si表示对它的效劳时间，这样可算出相继到达的间隔时间ti(ti=τi+1-τi)和排队等待时间wi，它们的关系如下：实际中测定相继到达时间间隔的方法相继到达时间间隔等待时间432.1.1经验分布例2某效劳机构是单效劳台，先到先效劳，对41个顾客记录到达时刻τ和效劳时间s(单位为分钟)如表12-4。在表中以第1号顾客到达时刻为0，对所有顾客的全部效劳时间为127分钟。将原始记录整理成下表。到达间隔/分钟次数162103846536272819110以上1合计40服务时间/分钟次数1102103745546271819以上1合计41442.1.1经验分布例2平均间隔时间=142/40=3.55(分钟/人)平均到达率=41/142=0.28(人/分钟)平均效劳时间=127/41=3.12(分钟/人)平均效劳率=41/127=0.32(人/分钟)45普阿松流，又称为泊松流、Poisson过程、最简单流，是排队论中一种常用来描述顾客到达规律的特殊的随机过程。2.1.2普阿松流〔泊松流〕462.1.2普阿松流〔泊松流〕设表示在时间区间内到达的顾客数令表示在时间区间内有个顾客到达的概率，即当满足以下三个条件时，我们说顾客的到达形成泊松流。(1)在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的，即无后效性。通俗地说就是以前到达的顾客情况，对以后顾客的到来没有影响。否那么就是关联的。(2)平稳性。又称作输入过程是平稳的，对充分小的，在时间区间内有1个顾客到达的概率与t无关，而与区间长度成正比，即

其中，当时，是关于的高阶无穷小。

进一步地，在长度为t的时段内恰好到达k个顾客的概率仅与时段长度有关，而与时段起点无关。即对任意∈(0,∞)，在(,+t]或(0,t)内恰好到达k个顾客的概率相等：(3)单个性又称普通性。对于充分小的，在时间区间内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即

47当顾客到达为泊松流时，研究顾客到达数n的概率分布。由条件(2)，总可以取时间由0算起，并简记由条件(2)和(3)，容易推得在区间内没有顾客到达的概率

将区间分成两个互不重叠的区间和。那么到达总数n分别出现在这两个区间和上，有以下(A)(B)(C)三种情况：概率个数概率个数概率个数区间情况2.1.2普阿松流〔泊松流〕482.1.2普阿松流〔泊松流〕在内到达n个顾客应是表中(A)(B)(C)三种互不相容的情况之一，所以概率应是表中三个概率之和(各合为一项)令，得以下方程，并注意到初始条件，那么有当n=0时，没有(B)，(C)两种情况，所以得49解(12-5)式和(12-6)式，得表示长为t的时间区间内到达n个顾客〔即N(t)=n〕的概率，由(12-7)式得随机变量服从泊松分布。结论：当顾客到达为泊松流时，在长度为t的时间内到达n个顾客的概率Pn(t)服从泊松分布!!它的数学期望和方差分别是2.1.2普阿松流〔泊松流〕相等！特别地，t=1时，E[N(1)]=λ

，因此λ表示单位时间平均到达的顾客数50是指相继顾客到达时间间隔T相互独立，其分布密度为

其中，k为非负整数。

2.1.3爱尔朗分布爱尔朗分布512.1.3爱尔朗分布设是k个相互独立的随机变量，服从相同参数的负指数分布，那么的概率密度是称T服从k阶爱尔朗分布，其均值和方差分别为可以证明如下结论。522.1.3爱尔朗分布爱尔朗分布的意义当k=1时，爱尔朗分布化为负指数分布，可看成是一种完全随机的分布；当k增大时，爱尔朗分布的图形逐渐变为对称的；当k≥30时爱尔朗分布近似于正态分布；k→∞时，Var［T］→0，这时爱尔朗分布化为确定型分布。一般k阶爱尔朗分布可看成完全随机与完全确定的中间型，能对现实世界提供更为广泛的适应性。532.1.3爱尔朗分布可以证明，在参数为的泊松输人中，对任意的j与k,设第j与第j+k个顾客之间的到达间隔为。那么随机变量Tk的分布必遵从参数为的爱尔朗分布，其分布密度为：例如：某排队系统有并联的k个效劳台，顾客流为泊松流，规定第i,K+i,2K+i…个顾客排入第i号台(i=1,2,…,K)，那么第K台所获得的顾客流，即为爱尔朗输入流，其他各台，从它的第一个顾客到达以后开始所获得的流也为爱尔朗输入流。542.1到达间隔的分布2.1.1经验分布〔定长输入〕2.1.2普阿松流〔泊松流〕2.1.3爱尔朗分布2.2效劳时间的分布2.2.1经验分布〔定长分布〕2.2.2负指数分布2.2.3爱尔朗分布第2节到达间隔的分布和效劳时间的分布552.2效劳时间的分布

2.2.1效劳时间的定长分布。每一个顾客的效劳时间都是常数，此时效劳时间t的分布函数为：

562.2.2效劳时间的负指数分布如果随机变量T的概率密度是那么称T服从负指数分布。它的分布函数是数学期望为方差为标准差为负指数分布的定义57效劳时间v的分布对顾客的效劳时间，也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从负指数分布。设它的分布函数和密度分别是其中表示单位时间能被效劳完成的顾客数，称为平均效劳率，表示对顾客的平均效劳时间。2.2.2效劳时间的负指数分布58负指数分布的性质(1)由条件概率公式容易证明该性质称为无记忆性或马尔柯夫性。假设T表示排队系统中顾客相继到达的间隔时间，该性质说明：一个顾客到来所需的时间与过去一个顾客到来所需时间s无关，也就是说该顾客是随机地到达。(2)当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的间隔时间T〔注意T是随机变量〕必然服从负指数分布。这是因为对于泊松流，在区间内至少有1个顾客到达的概率是又可表示为

根据〔12.10〕即得顾客相继到达的间隔时间T必然服从负指数分布。2.2.2效劳时间的负指数分布59(2)当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的间隔时间T〔注意T是随机变量〕必然服从负指数分布。这是因为对于泊松流，在区间内至少有1个顾客到达的概率是又可表示为

根据〔12.10〕即得顾客相继到达的间隔时间T必然服从负指数分布。上述内容还可以用如下表达！对于泊松流，其相继顾客到达时间间隔

i，i=1,2,…是相互独立同分布的，其分布函数为负指数分布：

2.2.2效劳时间的负指数分布60顾客相继到达的间隔时间独立且为同负指数分布(密度函数为)，与输入过程为泊松流(参数为λ)是等价的。对于泊松流，λ表示单位时间平均到达的顾客数，1/λ表示相继顾客到达平均间隔时间。相继到达时间间隔为负指数分布与到达为泊松流的等价性2.2.2效劳时间的负指数分布61爱尔朗分布。即每个顾客的效劳时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。其密度函数为

其中>0为一常数，此种的平均效劳时间为：

K=1时爱尔朗分布化归为负指数分布当K→∞时，得到长度为1/的定长效劳。例子：串列的k个效劳台，每台效劳时间相互独立，服从相同的负指数分布(参数kμ)，那么一顾客走完这k个效劳台总共所需要效劳时间就服从k阶爱尔朗分布。2.2.3效劳时间的爱尔朗分布62第1节根本概念第2节到达间隔的分布和效劳时间的分布第3节单效劳台负指数分布排队系统的分析第4节多效劳台负指数分布排队系统的分析第5节一般效劳时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法排队论

63排队论

排队论研究的首要问题是排队系统主要数量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相关的还包括排队系统的统计推断问题。(1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的根本特征。(2)统计推断问题，建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰到如下问题：检验系统是否到达平稳状态；检验顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定效劳时间的分布及有关参数等。64(3)系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问题，其根本目的是使系统处于最优或最合理的状态。系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其内容很多，有最少费用问题、效劳率的控制问题、效劳台的开关策略、顾客(或效劳)根据优先权的最优排序等方面的问题。对于一般的排队系统运行情况的分析，通常是在给定输入与效劳条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn(t)，再进行计算其主要的运行指标：排队论

65①系统中顾客数(队长)的期望值L或Ls；②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq；③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W或Ws；④顾客排队等待时间的期望值Wq。

排队系统中，由于顾客到达分布和效劳时间分布是多种多样的，加之效劳台数。顾客源有限无限，排队容量有限无限等的不同组合，就会有不胜枚举的不同排队模型，假设对所有排队模型都进行分析与计算，不但十分繁杂而且也没有必要。下面拟分析几种常见排队系统模型。排队论

663.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)3.2系统容量有限的情况(M/M/1/N/∞)3.3顾客源有限的情形(M/M/1/∞/m)第3节单效劳台负指数分布排队系统的分析本节讨论输入过程服从普阿松分布过程、效劳时间服从负指数分布单效劳台的排队系统。67标准的M/M/1模型(1)输入过程——顾客源是无限的，顾客单个到来，相互独立，一定时间内的到达数服从泊松分布，到达过程是平稳的。(2)排队规那么——单队，且对队长没有限制，先到先效劳。(3)效劳机构——单效劳台，各顾客的效劳时间相互独立，服从相同的负指数分布。此外，还假定到达间隔时间和效劳时间是相互独立的。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)即条件：λ：顾客进入系统的平均速度，即单位时间到达的顾客数。μ：顾客离开系统的平均速度，即单位时间能被效劳完成的顾客数。68首先要求出：系统在任意时刻t的状态为n(即系统中有n个顾客)的概率，它决定了系统运行的特征。因到达规律服从参数为的泊松过程，效劳时间服从参数为的负指数分布，所以在时间区间内分为：(1)有1个顾客到达的概率为没有顾客到达的概率就是(2)当有顾客在接受效劳时，1个顾客被效劳完了(离去)的概率是，没有离去的概率就是。(3)多于一个顾客的到达或离去的概率是，可以忽略。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)693.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)在时刻，系统中有n个顾客(n＞0)存在以下四种情况(到达或离去是2个以上的没列入)：○表示发生(1个)；×表示没有发生。n○○n(D)n×○n-1(C)n○×n+1(B)n××n(A)离去到达在时刻顾客数在区间在时刻t顾客数情况7071这四种情况是互不相容的，所以应是这四项之和，即即令，得关于的微分差分方程3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)所有的高阶无穷小和并72当，那么只有上表中(A)(B)情况，且方式(A)中无离去的概率为1，即同理求得它们的概率分别是情况(A)情况(B)情况(C)情况(D)n○○n(D)n×○n-1(C)n○×n+1(B)n××n(A)离去到达在时刻顾客数在区间在时刻t顾客数情况3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)73研究稳态的情况。这时与时间t无关，可写成，它的导数为0。由(12-15)式和(12-16)式可得这是关于的差分方程，它说明了各状态间的转移关系：状态0转移到状态1的转移率为，状态1转移到状态0的转移率为。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)这种系统状态(n)随时间变化的过程就是生灭过程〔BirthandDeathProcess〕。方程(12-15)、(12-16)解是瞬态解，无法应用。743.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)对状态0必须满足以下平衡方程同样对任何的状态，可得如(12-18)所示的平衡方程。由(12-17)式可得将它代入(12-18)式，令，得到同理依次推得今设(否那么队列将排至无限远)，又由概率的性质知将的关系代入，得到75对ρ的实际意义的解释ρ＝λ/μ，是平均到达率与平均效劳率之比，即在相同时区内顾客到达的平均数与被效劳的平均数之比。假设将ρ表示为ρ＝(1/μ)/(1/λ)，它是一个顾客的效劳时间与到达间隔时间之比，称ρ为效劳强度(trafficintensity)，或话务强度。由(12-19)式可知，ρ=1-P0，它刻画了效劳机构的繁忙程度，所以ρ又称为效劳机构的利用率。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)系统处于空闲状态的概率：系统处于繁忙状态的概率：76根据平稳分布，求排队系统的有关运行指标(1)系统中的平均顾客数〔平均队长〕

或 (2)在队列中等待的平均顾客数

3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)期望77顾客在系统中的逗留时间W(为一个随机变量)在M/M/1情形下，服从参数为

的负指数分布①，即

分布函数概率密度

于是，得到(3)在系统中顾客逗留时间的期望值

(4)在队列中顾客等待时间的期望值

3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)平均逗留时间减去平均效劳时间。78将以上结果归纳如下：

它们的相互关系如下：

上式称为Little公式。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)793.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)Ls,Lq,λ

,Ws,Wq之间的关系：几何解释：稳态时，一个顾客，进入系统后，每单位时间，平均到达λ顾客。

λλλλλ进入时刻离开时刻总时间Ws

队长Ls由时间段内个λ组成的Ls=λWs同理：Lq=λWqWs=Wq+〔1/μ〕-------Ws与Wq只相差一段平均效劳时间1/μ

80例1：考虑一个铁路列车编组站。设待编列车到达时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达2列；效劳台是编组站，编组时间服从负指数分布，平均每20分钟可编一组。编组站上共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外或前方站。求在平衡状态下系统中列车的平均数；每一列车的平均逗留时间；等待编组的列车平均数。如果列车因站中2股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车每小时费用为a元，求每天由于列车在站外等待而造成的损失。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)81解：本例可看成一个M/M/1/排队问题，其中=2，=3，=/=2/3<1系统中列车的平均数L=/(1-)=(2/3)/(1-2/3)=2〔列〕列车在系统中的平均停留时间W=L/=2/2=1〔小时〕系统中等待编组的列车平均数Lq=L-=2-2/3=4/3〔列〕列车在系统中的平均等待编组时间Wq=Lq/=(4/3)/(1/2)=2/3〔小时〕3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)82记列车平均延误〔由于站内2股道均被占用而不能进站〕时间为W0那么W0=WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}=W{1-(l-)-(l-)1-(l-)2}=1*3=3=(2/3)3=0.296〔小时〕故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)83例2：某修理店只有一位修理工，来修理的顾客到达过程为Poisson流，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求：修理店空闲的概率；店内恰有3位顾客的概率；店内至少有一位顾客的概率；在店内平均顾客数；每位在店内平均逗留时间；等待效劳的平均顾客数；每位顾客平均等待效劳时间；顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)84解：本例可看成一个M/M/1/排队问题，其中=4，=1/0.1=10(人/小时〕，=/=2/5<1修理店内空闲的概率P0=1-=(1-2/5)=0.6店内恰有3个顾客的概率P3=3(1-)=(2/5)3(1-2/5)=0.0383.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)85店内至少有1位顾客的概率P{N1}=1-P0=1-(1-)==2/5=0.4在店内平均顾客数L=/(1-)=(2/5)/(1-2/5)=0.67(人〕每位顾客在店内平均逗留时间W=L/=0.67/4=10分钟3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)86等待效劳的平均顾客数Lq=L-=0.67-2/5=0.27(人)每个顾客平均等待效劳时间Wq=Lq/=0.27/4=0.0675小时=4分钟3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)87顾客在店内等待时间超过10分钟的概率P{T>10}=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677P{T>t}=e-(

-

)tt=10分钟,

=10人/小时=10/60=1/6=4人/小时=4/60=1/153.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)88例3某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录，任意抽查了100个工作小时，每小时来就诊的病人数n的出现次数如下表所示；又任意抽查了100个完成手术的病历，所用时间v(单位：小时)出现的次数如下表所示。到达的病人数n出现人数0101282316410566以上1合计100为病人完成手术时间v(小时)出现人数0.0~0.2380.2~0.4250.4~0.6170.6~0.890.8~1.061.0~1.251.2以上0合计1003.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)89(1)每小时病人平均到达率(人/小时)每次手术平均时间(小时/人)每小时完成手术人数(平均效劳率)(人/小时)(2)取，，可以通过统计检验的方法，认为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数为2.5的负指数分布。(3)说明效劳机构(手术室)有84%的时间是繁忙的，有16%的时间是空闲的。(4)依次代入(12-21)式，算出各指标：在病房中病人数(期望值) (人)排队等待病人数(期望值) (人)病人在病房中逗留时间(期望值) (小时)病人排队等待时间(期望值) (小时)3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)90如果系统的最大容量为N，对于单效劳台的情形，排队等待的顾客最多为N-1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。当N=1时为即时制的情形；当N→∞时为容量无限制的情形。3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)91泊松输入—负指数分布效劳的排队系统的一般决策过程：①根据条件绘制状态转移速度图；②依据状态转移速度图写出各稳态概率之间的关系；③求出P0及Pn；④计算各项数量运行指标；⑤用系统运行指标构造目标函数，对系统进行优化。3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)923.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)稳态情形下各状态间概率强度的转换关系图状态概率的稳态方程

∴933.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)稳态情形下各状态间概率强度的转换关系图状态概率的稳态方程其中(12-23a)也可写成，那么有943.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)

由

N∑(λ/μ)nP0=1n=0

NP0=1/[∑(λ/μ)n]=

n=0(1-λ/μ)/

[(1-(λ/μ)N+1]λ

μ

1/(N+1)λ=μ

Pn=1/(N+1)λ=μ

(1-λ/μ)(λ/μ)n/[(1-(λ/μ)N+1]λ

μ

95M/M/1/N/∞排队系统的各项指标：(1)队长(期望值)(2)队列长(期望值)(3)顾客逗留时间(期望值)(4)顾客等待时间(期望值)(5)有效到达率3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)令，得到96(ρ≠1,n≤N)∴(1)平均队长Ls：(ρ≠1)试证ρ=1时,Ls=N/23.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)97

???M/M/1/N/∞排队系统的各项指标：(1)队长(期望值)(2)队列长(期望值)(3)顾客逗留时间(期望值)(4)顾客等待时间(期望值)(5)有效到达率3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)令，得到返回P9898(2)有效到达率λe系统容量有限，当满员〔n=N〕时，顾客将被拒绝，实际的顾客到达率与λ不一样，还可验证：∴此种情况的公式与前类似,只有Ls不同,λe与λ不同。求λe必须先求得P0或PN才行。有效到达率为λe

可以证明：Ls3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)99M/M/1/N/∞排队系统各项指标的归纳(当时)：3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)100例2．某单人理发馆共有六把椅子接待顾客排队，无座时将离去，顾客平均到达率为3人/h，理发时间平均为15分钟，求：(1)求某一顾客到达就能理发的概率;(2)求需要等待的顾客数的期望值;(3)求有效到达率;(4)求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值;(5)在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)101(1)求某一顾客到达就能理发的概率:(2)求需要等待的顾客数的期望值:(3)求有效到达率:(4)求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值:3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)102P0=0.27780P1=0.20836P2=0.15627P3=0.11720=0.9629=96.29%1-0.9629=3.71%

P4=0.08790P5=0.06593P6=0.04944(5)在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？顾客为何不等待就离去？因为系统已经满员3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)故拒绝的概率为3.71%103例4某单人理发馆为等待的顾客准备了6把椅子，当6把椅子都坐满时，再来的顾客将不进店而离开。顾客的平均到达率为3人/小时，理发平均需要15分钟。那么系统的容量为N=6+1=7，人/小时，人/小时。(1)某顾客一到达就能理发的概率(2)需要等待的顾客数的期望值 (3)有效到达率(人/小时)(4)一顾客在理发馆内逗留的期望时间(小时)(分钟)3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)104(5)在可能到来的顾客中不等待就离开的概率这也是理发馆的损失率。人/小时人/小时有限队长2.111.390.730.480.2783.7无限队长32.251.00.750.250以本例为例，比较队长为有限和无限的情形：3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)105背景设有m台机器(顾客总体)，机器因故障停机表示“到达”，待修的机器形成队列，修理工人是效劳员，本节讨论单效劳员的情形。顾客总体虽只有m个，但每个顾客到来并经过效劳后，仍回到原来总体，所以仍然可以再到来。如在机器故障问题中，同一台机器出了故障(到来)并经修好(效劳完了)仍可再出故障，形成循环。模型符号中的∞表示对系统的容量没有限制，但实际上它不会超过m，所以可写成(M/M/1/m/m)。3.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)106设每个顾客的到达率相同，均为λ(这里λ的含义是单台机器在单位时间里发生故障的概率或平均次数)；设系统内顾客数为Ls，那么系统外的顾客平均数为mLs，所以系统的有效到达率为λe=λ(mLs)(12-26)考虑稳态情况下状态间的转移率由状态0转移到状态1：每台设备由正常状态转移为故障状态的转移率为λP0，m台设备由无故障状态转移为有一台设备(不管哪一台)发生故障的转移率为mλP0。由状态1转移到状态0：其状态转移率为μP1。所以，状态0时有平衡方程为：mλP0=μP13.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)107各状态间的转移差分方程解得(注意到因而不要求〕系统的各项指标为3.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)108例5某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。求：(1)修理工空闲的概率；(2)五台机器都出故障的概率；(3)出故障的平均台数；(4)等待修理的平均台数；(5)平均停工时间；(6)平均等待修理时间；(7)评价这些结果。3.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)109解：(1)(2)五台机器都出现故障的概率(3)出故障的平均台数(台)(4)等待修理的平均台数(台)(5)平均停工时间(分钟)(6)平均等待修理时间(分钟)(7)机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间，应当提高效劳率减少修理时间或增加修理工人。3.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)110第1节根本概念第2节到达间隔的分布和效劳时间的分布第3节单效劳台负指数分布排队系统的分析第4节多效劳台负指数分布排队系统的分析第5节一般效劳时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法排队论

111本节讨论单队、并列的多效劳台〔效劳台数为c〕的情形。4.1标准的M/M/c模型4.2M/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较4.3系统容量有限的情形〔M/M/c/N/〕4.4顾客源有限的情形〔M/M/c//m〕第4节多效劳台负指数分布排队系统的分析1124.1标准的M/M/c模型标准的M/M/c模型各种特征的规定与标准的M/M/1模型的规定相同。各效劳台工作是相互独立的(不搞协作)，且平均效劳率相同。整个效劳机构的平均效劳率为(当)；为(当)。令，只有当时才不会排成无限的队列称为系统的效劳强度或效劳机构的平均利用率。1134.1标准的M/M/c模型M/M/c排队系统的状态概率分布状态1转移到状态0：即系统中有一名顾客被效劳完了(离去)的转移率为。状态2转移到状态1：两个效劳台上被效劳的顾客中有一个被效劳完成而离去。因为不限哪一个，于是状态的转移率为。状态n转移到n-1：当时，状态转移率为；当时，因为只有c个效劳台，最多有c个顾客在被效劳，个顾客在等候，因此这时状态转移率应为。1144.1标准的M/M/c模型由图12-13可得这里，且用递推法解上述差分方程，可求得状态概率。1154.1标准的M/M/c模型系统的运行指标为：平均队长平均等待时间和逗留时间可由Little公式求得，1164.1标准的M/M/c模型例6某售票处有三个窗口，顾客的到达服从泊松过程，平均到达率每分钟(人)，效劳(售票)时间服从负指数分布，平均效劳率每分钟人。现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票如图12-14(a)，这就是一个M/M/c型的系统，其中，，符合要求的条件，代入公式得：0312λλλλμ3μ2μ3μ4λ3μ1174.1标准的M/M/c模型(1)整个售票处空闲概率(2)平均队长(3)平均等待时间和逗留时间 (分钟) (分钟)顾客到达后必须等待(即系统中顾客数已有3人即各效劳台都没有空闲)的概率 118例6.某火车站售票处有三个窗口，同时售各车次的车票。顾客到达服从泊松分布，平均每分钟到达λ=0.9〔人〕，效劳时间服从负指数分布，平均效劳率μ=24〔人/h〕，分两种情况：1.顾客排成一队，依次购票；(M/M/3/∞/∞)2.顾客在每个窗口排一队，不准串队。(M/M/1/∞/∞三个系统并联)求:〔1〕售票处空闲的概率。〔2〕平均等待时间和逗留时间。〔3〕队长和队列长。4.2M/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较1194.2M/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较现就例6说明，如果原题除排队方式外其他条件不变，但顾客到达后在每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，这就形成3个队列，见图12-14(b)而每个队列平均到达率为 (每分钟)这样，原来的系统就变成3个M/M/1型的子系统。μ=0.4,ρ=λ/μ=0.75,P0=1-ρ=0.251204.2M/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较现就例6说明，如果原题除排队方式外其他条件不变，但顾客到达后在每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，这就形成3个队列，见图12-14(b)而每个队列平均到达率为(每分钟)这样，原来的系统就变成3个M/M/1型的子系统。现按M/M/1型解决这个问题，并与上面结果比较如下：模型指标(1)M/M/3型(2)M/M/1型服务台空闲的概率P00.07480.25(每个子系统)顾客必须等待的概率P(n≥3)=0.570.75平均队列长Lq

1.702.25(每个子系统)平均队长Ls3.959.00(整个系统)平均逗留时间Ws(分钟)4.3910平均等待时间Wq(分钟)1.897.5从表中各指标的比照可以看出：单队比三队有显著优越性。作业！！！1214.3系统的容量有限制的情形〔M/M/c/N/〕设系统的容量最大限制为，当系统中顾客数n已到达N(即队列中顾客数已达N-c)时，再来的顾客即被拒绝，其他条件与标准的M/M/c型相同。这时系统的状态概率和运行指标如下： 其中，但现在已不必对加以限制。0N-112N-2λλλλμcμ2μcμNCC-1λλcμcμC+13μλ(c-1)μλcμcμλλ1224.3系统的容量有限制的情形〔M/M/c/N/〕特别当(即时制)时当即关于的公式被称为爱尔朗损失公式。例如，停车场就不允许排队等待空位的情形！1234.3系统的容量有限制的情形〔M/M/c/N/〕这时的运行指标如下：

1244.3系统的容量有限制的情形〔M/M/c/N/〕例7

在某风景区准备建造旅馆，顾客到达为泊松流，每天平均到(=)6人，顾客平均逗留时间()为2天，试就该旅馆在具有(c)1，2，3，…，8个房间的条件下，分别计算每天客房平均占用数及满员概率。这是即时式，因为在客房满员条件下，旅客显然不能排队等待。计算过程通过表12-12进行()。125(2)(3)n!(7)(5)4.3系统的容量有限制的情形〔M/M/c/N/〕6.930.580.422.52×1051.07×1044.03×1044.30×10886.140.510.491.45×1047.11×1035.04×1033.58×10775.330.440.567.46×1034.15×1037202.99×10664.480.370.633.31×1032.07×1031202.49×10553.620.300.701.24×103864242.07×10442.740.230.7737328861.73×10331.830.150.85857221.44×10220.920.080.92131211.2×101——111110(8)Ls(答)(4)(1)n第(4)栏＝(2)/(3)第(5)栏：第(4)栏各数累加(4)/(5)得满员概率用第(5)栏同行去除上一行结果(7)×12得，为每天客房平均占用数(6)Pc

(答)1264.4顾客源为有限的情形〔M/M/c//m〕设顾客总体(顾客源)为有限数m，且m＞c，顾客到达率λ是按每个顾客来考虑的。在机器管理问题中，就是共有m台机器，有c个修理工人，顾客到达就是机器出了故障每个顾客的到达率λ是指每台机器每单位运转时间出故障的期望次数系统中顾客数n就是出故障的机器台数当n≤c时，所有的故障机器都在被修理，有(c-n)个修理工人在空闲当c＜n≤m时，有(n-c)台机器在停机等待修理，而修理工人都在繁忙状态假定这c个工人修理技术相同，修理(效劳)时间都服从参数为μ的负指数分布，并假定故障的修复时间和正在生产的机器是否发生故障是相互独立的。1274.4顾客源为有限的情形〔M/M/c//m〕(1)其中 (2)平均顾客数(即平均故障台数)1284.4顾客源为有限的情形〔M/M/c//m〕有效的到达率应等于每个顾客的到达率乘以在系统外(即正常生产的)机器的期望数： 在机器故障问题中，它是每单位时间m台机器平均出现故障的次数。(3)可以证明

1294.4顾客源为有限的情形〔M/M/c//m〕例8设有两个修理工人，负责5台机器的正常运行，每台机器平均损坏率为每运转小时1次，两工人能以相同的平均修复率4(次/小时)修好机器。求：①等待修理的机器平均数；②需要修理的机器平均数；③有效损坏率；④等待修理时间；⑤停工时间。解：(次/小时)，(台/小时)，1304.4顾客源为有限的情形〔M/M/c//m〕①②

③④(小时)⑤(小时)131排队论

第1节根本概念第2节到达间隔的分布和时间的分布第3节单效劳台负指数分布排队系统的分析第4节多效劳台负指数分布排队系统的分析第5节一般效劳时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法132第5节一般效劳时间M/G/1模型对任何情形，下面关系都是正确的：E［系统中顾客数］=E［队列中顾客数］+E［效劳机构中顾客数］E［在系统中逗留时间］=E［排队等候时间］+E［效劳时间］其中表示求期望值，用符号表示就是：其中T表示效劳时间(随机变量)，当T服从负指数分布时，。而(12-22)式中的关系式： 也是常被利用的。所以上面的7个数中只要知道3个就可求出其余，不过在有限源和队长有限制情况下，要换成有效到达率。1335.1Pollaczek-Khintchine(P-K)公式5.2定长效劳时间M/D/1模型5.3爱尔朗效劳时间M/Ek/1模型第5节一般效劳时间M/G/1模型134对于M/G/1模型，效劳时间T服从一般分布，(但要求期望值和方差存在)，其他条件和M/M/1型相同。为到达稳态，还是必要的，其中。在上述条件下，有

这就是波拉切克-欣钦Pollaczek-Khintchine(P-K)公式。只要知道，和，不管T是什么分布，就可求出，然后通过(12-37)式和(12-22)式可求出