辽宁省鞍山市台安县高级中学2026届高二数学第一学期期末监测试题含解析

辽宁省鞍山市台安县高级中学2026届高二数学第一学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（）A B.C. D.2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.B.C.D.3．已知两个向量，，且，则的值为（）A.1 B.2C.4 D.84．已知为圆：上任意一点，则的最小值为（）A. B.C. D.5．下列抛物线中，以点为焦点的是（）A. B.C. D.6．已知向量与向量垂直，则实数x的值为（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.67．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（）A. B.C. D.8．已知椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（）A.1 B.2C. D.9．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．函数在上的最小值为（）A. B.C.-1 D.11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为10，则的值为（）A. B.C. D.12．下列四个命题中为真命题的是（）A.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的最小值是4D.与的图象关于直线y＝x对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立①数列是等差数列：②数列是等差数列；③注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分14．不等式的解集是___________.15．2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为______16．已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，且，E为PD的中点（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18．（12分）已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.19．（12分）如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点E是棱的中点（1）证明：∥平面（2）若平面平面，且，求平面与平面夹角余弦值（3）在（2）条件下，求点D到平面的距离20．（12分）已知函数（m≥0）.（1）当m=0时，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数的最小值为，求实数m的值.21．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求.22．（10分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据空间向量的线性运算求解【详解】由已知，故选：D2、D【解析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案【详解】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线A：，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误B：，将0代入，此时导数为，不为，故B错误；C：，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错误；D：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；故选：D.3、C【解析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.4、C【解析】设，则的几何意义为圆上的点和定点连线的斜率，利用直线和圆相切，即可求出的最小值；【详解】圆，它圆心是，半径为1，设，则，即，当直线和圆相切时，有，可得，，的最小值为：，故选：5、A【解析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.【详解】∵抛物线为，∴可设抛物线方程为，∴即，∴抛物线方程为，故选：A.6、B【解析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值【详解】解：向量，与向量垂直，则，由数量积的坐标公式可得：，解得，故选：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题7、A【解析】利用空间向量加法法则直接求解【详解】连接BD，如图，则故选：A8、B【解析】根据椭圆中之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，则焦距为，故选：B.9、D【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可【详解】解：由题意可得，整理得，当时，不等式化简为恒成立，所以，当时，不等式化简为恒成立，所以，综上，，所以实数的取值范围是，故选：D10、D【解析】求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.故选：D.11、A【解析】由同角公式求出，根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出.【详解】因为，所以，因为，的面积为10，所以，故，从而，解得，由正弦定理得：.故选：A.【点睛】本题考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.12、D【解析】根据推出关系和集合的包含关系判断A，根据全称命题的否定形式可判断B，根据对钩函数性质即三角函数的性质可判断C，根据反函数的图像性质可判断D.【详解】解：对于选项A：是的真子集，所以命题p是q的充分不必要条件，故A错误；对于选项B：命题“”的否定是“”，故B错误；对于选项C：函数，当时，，函数单调递减，当时取最小值，故C错误；对于选项D：与互为反函数，故图象关于直线y＝x对称，故D正确.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、证明过程见解析【解析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立则有，解得．所以选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.[方法二]【最优解】：因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.14、##【解析】将分式不等式等价转化为不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于，解得,故答案为：.15、128【解析】先求均值，再由方差公式计算【详解】由已知，所以，故答案为：16、－【解析】由双曲线的方程可得，的坐标，设的坐标，代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的方程，令，分别求出，的纵坐标，求出的表达式，整理可得为定值【详解】由双曲线的方程可得，，设，则，可得，直线的方程为：，令，则，可得，直线的方程为，令，可得，即，∴，，，故答案为：－另解：双曲线方程化为，只是将的替换为－，故答案也是只需将中的替换为－即可.故答案为：－.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角；（3）设出F点坐标，用空间向量的点到平面距离公式进行求解.【小问1详解】证明：连接BD，设BD与AC交于点O，连接PO．因为，所以四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，则又，所以平面PBD，因为平面PBD，所以【小问2详解】因为，所以，所以由（1）知平面ABCD，以O为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面AEC的法向量，则，即，令，则平面ACD的法向量，，所以二面角为；【小问3详解】存在点F到平面AEC的距离为，理由如下：由（2）得，，设，则，所以点F到平面AEC的距离，解得，，所以18、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可【小问1详解】的定义域为当时，，在上单调递增；当时，令，解得；令，解得；综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】，，即证：，即证：当时，，，当时，令，则在上单调递增在上单调递增综上所述：，即19、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）连接、，平行四边形的性质、线面平行的判定可得平面、平面，再根据面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性质可证结论；（2）取的中点为，连接，证明出平面，，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.（3）利用等体积法，求D到平面的距离【小问1详解】连接、，由、分别是棱、的中点，则，平面，平面，则平面又，且，∴且，四边形是平行四边形，则，平面，平面，则平面又，可得平面平面．又平面∴平面【小问2详解】由知：，又平面平面，平面平面，平面，∴平面取的中点为，连接、，由且，故四边形为平行四边形，故，则△为等边三角形，故，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系易知，，所以、、、、，，，，设平面的法向量为，则，令，得设平面的法向量为，则，令，得设平面与平面所成的锐二面角为．则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为【小问3详解】由（2）知：平面，则是三棱锥的高且，四边形为平行四边形，又，即为菱形，∴，而，则，且，∴，故.又，由上易知：△为等腰三角形且，∴，则D到平面的距离.20、（1）（2）【解析】（1）求导，利用导函数的几何意义求解切线方程的斜率，进而求出切线方程；（2）对导函数再次求导，判断其单调性，结合隐零点求出其最小值，列出方程，求出实数m的值.【小问1详解】当时，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即.【小问2详解】因为，令，因为，所以在上单调递增，当实数时，，；当实数时，，；当实数时，，所以总存在一个，使得，且当时，；当时，，所以，令，因为，所以单调递减，又，所以时，所以，即.21、（1）；（2）.【解析】（1）首先将圆的参数方程华为普通方程，再转化为极坐标方程即可.（2）首先联立得到，再求的长度即可.【详解】（1）将曲线C的参数方程，（为参数）化为普通方程，得，极坐标方程为.（2）联立方程组，消去得，设点A，B对应的极径分别为，，则，，所以.22、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为人；（2）根据频率分布直方图求分数