河北省石家庄市2026届数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

河北省石家庄市2026届数学高二上期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的公差，是与的等比中项，则（）A. B.C. D.2．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）A.2 B.4C.6 D.83．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（）A. B.C. D.4．已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.75．“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6．曲线y＝lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（）A.1 B.eC.－1 D.7．已知A，B，C是椭圆M：上三点，且A（A在第一象限，B关于原点对称，，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为，则（）A.椭圆M的离心率为 B.椭圆M的离心率为C. D.8．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（）A.数列一定是等比数列 B.数列一定是等差数列C.数列一定是等差数列 D.数列可能是常数数列9．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.10．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）A. B.C.5 D.611．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E为45°，则四面体BB1C1E的外接球的表面积为（）A.π B.12πC.9π D.10π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.14．若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是______15．已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是_________.16．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，点分别在射线，上运动，且（1）求；（2）求线段的中点M的轨迹C的方程；（3）直线与，轨迹C及自上而下依次交于D，E，F，G四点，求证：18．（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和19．（12分）已知，直线过且与交于两点，过点作直线的平行线交于点（1）求证：为定值，并求点的轨迹的方程；（2）设动直线与相切于点，且与直线交于点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由20．（12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.21．（12分）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B；（2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求CD的长22．（10分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，，，求的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由等比中项的性质及等差数列通项公式可得即可求.【详解】由，则，可得.故选：C.2、B【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：∵，，三点共线，∴是圆的直径，∴，轴，又为的中点，且点到准线的距离为2，∴，由抛物线的定义可得，故选：B.3、B【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解【详解】因为N为BC中点，所以,因为M在线段OA上，且，所以，所以，故选：B4、A【解析】根据回归直线过样本点的中心进行求解即可.【详解】由题意可得，，则，解得故选：A.5、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，故“”是“”的充分不必要条件故选：B6、D【解析】设出点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.【详解】设切点为，，故在点的切线的斜率为，所以，所以切点为，切线的斜率为.故选：D7、C【解析】设出点，,的坐标，将点，分别代入椭圆方程两式作差，构造直线和的斜率之积，得到，即可求椭圆的离心率，利用，求出，可知点在轴上，且为的中点,则.【详解】设，，，则，，，两式相减并化简得，即，则,则AB错误；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，则点在轴上，且为的中点即，则正确.故选：C.8、B【解析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差数列，来进行判定；选项B，数列，可以取，即可判断；选项C，可设，表示出再进行判断；选项D，可采用换元，令，求得的关系即可判断.【详解】数列是等差数列，设公差为，选项A，数列是等差数列，那么为常数，又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确；选项B，当时，数列不存在，故该选项错误；选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数），此时，，则为常数，故数列一定是等差数列，所以该选项正确；选项D，，则，当时，，此时数列可能是常数数列，故该选项正确.故选：B.9、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.10、D【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出【详解】等价于，而，所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，所以，故故选：D11、C【解析】取的中点，连接，易证平面，进一步得到线面角，再解三角形即可.【详解】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.故选：C12、D【解析】连接交于，可得，利用线面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而为二面角的平面角，再求出四面体的外接球半径，进而利用球的表面积计算公式得出结论【详解】连接交于，则，易知，则平面，所以，从而为二面角的平面角，则.因为，所以，所以四面体的外接球半径故四面体BB1C1E的外接球的表面积为故选：D【点睛】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：.14、【解析】求导得有两个极值点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，利用导数研究的单调性并作出的图象，根据图象即可得出k的取值范围【详解】函数的定义域为，，令，解得或，若函数有2个极值点，则函数与图象在上恰有1个横坐标不为1的交点，而，令，令或，故在和上单调递减，在上单调递增，又，如图所示，由图可得.故答案为：15、【解析】确定，，利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，，，设与的夹角为，则所以点到平面的距离为故答案为：16、##2.25##【解析】求出直线的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出，用点到直线距离公式求高，进而求出三角形面积.【详解】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代人抛物线方程，整理得.设，则，由抛物线的定义可得弦长，原点到直线的距离，所以面积.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2（2）（3）证明见详解【解析】（1）用两点间的距离公式和三角形的面积公式，结合已知直接可解；（2）根据中点坐标公式，结合（1）中结论可得；（3）要证，只需证和的中点重合，直接或利用韦达定理求出中点横坐标，证明其相等即可.【小问1详解】记直线的倾斜角为，则，易得所以因为，所以，整理得：【小问2详解】设点M的坐标为，则即，由（1）知，所以，即【小问3详解】要证，只需证和的中点重合，记D，E，F，G的横坐标分别为，易知直线的斜率（当时与渐近线平行或重合，此时与双曲线最多一个交点）则解方程组，得解方程组，得将代入，得所以因为所以所以和的中点的横坐标相等，所以和的中点重合，记其中点为N，则有，即18、（1）；（2）【解析】（1）由等差数列以及等比中项的公式代入联立求解出，再利用等差数列的通项公式即可求得答案；（2）利用分组求和法，根据求和公式分别求出等差数列与等比数列的前项和再相加即可.【详解】（1）由题意，，，即，联立解得，所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，，所以【点睛】关于数列前项和的求和方法：分组求和法：两个数列等差或者等比数列相加时利用分组求和法计算；裂项相加法：数列的通项公式为分式时可考虑裂项相消法求和；错位相减法：等差乘以等比数列的情况利用错位相减法求和.19、（1）证明见解析，（）（2）存在，【解析】(1)根据题意和椭圆的定义可知点的轨迹是以A，为焦点的椭圆，且，，进而得出椭圆标准方程；(2)设，联立动直线方程和椭圆方程并消元得出关于的一元二次方程，根据根的判别式可得点P和Q的坐标，结合，利用平面向量的坐标表示列出方程组，即可解出点M的坐标.【小问1详解】圆A：，∵，∴，又，∴∴，∴，故∴点的轨迹是以A，为焦点的椭圆，且，∴，故：（）；【小问2详解】由，得∴，故，设，则，，故，，由可得：由对，恒成立∴故存在使得以为直径的圆恒过定点20、（1）；（2）【解析】（1）根据所给条件列出方程组，求得，即可求得答案；（2）根据（1）的结果，写出，利用等比数列的前n项和公式求得答案.【小问1详解】设等差数列{an}公差为d，由，得解得所以(n∈N*)；【小问2详解】由（1）可知，故，所以21、（1）（2）【解析】（1）根据正弦