2025年电路理论试题分析及答案

2025年电路理论试题分析及答案一、计算题（本题20分）图1所示电路中，已知R₁=2Ω，R₂=3Ω，R₃=6Ω，R₄=4Ω，U₁=10V，U₂=5V，I₁=2A，受控电流源Iₓ=0.5I₃（I₃为R₃支路电流，方向由a指向b）。试求：（1）节点a的电位；（2）受控电流源发出的功率。分析与解答：（1）采用节点电压法分析。选取节点d为参考节点（电位为0），设节点a、b、c的电位分别为Uₐ、Uᵦ、U꜀。根据基尔霍夫电流定律（KCL），对各独立节点列写方程：节点a：(Uₐ-U₁)/R₁+(Uₐ-Uᵦ)/R₂+I₁=0代入已知量：(Uₐ-10)/2+(Uₐ-Uᵦ)/3+2=0→3(Uₐ-10)+2(Uₐ-Uᵦ)+12=0→5Uₐ-2Uᵦ=18（式1）节点b：(Uᵦ-Uₐ)/R₂+Uᵦ/R₃+(Uᵦ-U₂)/R₄-Iₓ=0由于Iₓ=0.5I₃，而I₃=Uᵦ/R₃（R₃支路电流由a到b，故I₃=(Uₐ-Uᵦ)/R₃？需修正方向！原题中I₃方向由a指向b，因此I₃=(Uₐ-Uᵦ)/R₃，故Iₓ=0.5(Uₐ-Uᵦ)/R₃=0.5(Uₐ-Uᵦ)/6=(Uₐ-Uᵦ)/12。修正节点b的KCL方程：流出节点b的电流包括：(Uᵦ-Uₐ)/R₂（经R₂到a）、Uᵦ/R₃（经R₃到d？若R₃连接b和d，则I₃=(Uᵦ-0)/R₃=Uᵦ/6，方向由b到d，与题目中“方向由a指向b”矛盾。需明确电路连接：假设R₃连接a和b，即R₃跨接在a、b之间，则I₃=(Uₐ-Uᵦ)/R₃（方向a→b），此时R₃的电流方向与题目一致。重新整理电路连接：R₁连接U₁正极到a（U₁负极接地d），R₂连接a到b，R₃连接a到b（与R₂并联），R₄连接b到U₂正极（U₂负极接地d），I₁电流源从d流向a，受控电流源Iₓ从b流向c（假设c为另一节点）。可能原图中R₃连接a、b，R₄连接b、d，U₂连接d、b（负极d，正极b）。重新列写节点方程：节点a（独立节点）：流入电流=流出电流电流源I₁（d→a）流入a；R₁支路（U₁正极→a）电流为(U₁-Uₐ)/R₁（从U₁正极到a，若U₁负极接地d，则U₁=10V即d到U₁正极电压为10V，故a点电位Uₐ相对于d，R₁的电流为(U₁-Uₐ)/R₁=(10-Uₐ)/2（方向从U₁正极到a）；R₂和R₃并联在a、b之间，电流分别为(Uₐ-Uᵦ)/R₂和(Uₐ-Uᵦ)/R₃（方向a→b）。因此节点a的KCL：I₁+(10-Uₐ)/2=(Uₐ-Uᵦ)/2+(Uₐ-Uᵦ)/3（注：I₁从d流入a，(10-Uₐ)/2是从U₁正极流入a的电流，流出a的电流是经R₂和R₃到b的电流之和）化简：2+(10-Uₐ)/2=(Uₐ-Uᵦ)(1/2+1/3)→2+5-0.5Uₐ=(5/6)(Uₐ-Uᵦ)→7-0.5Uₐ=(5/6)Uₐ-(5/6)Uᵦ→两边乘6：42-3Uₐ=5Uₐ-5Uᵦ→8Uₐ-5Uᵦ=42（式1）节点b的KCL：流入b的电流=流出b的电流经R₂和R₃流入b的电流：(Uₐ-Uᵦ)/2+(Uₐ-Uᵦ)/3=(5/6)(Uₐ-Uᵦ)经R₄流出b的电流：(Uᵦ-U₂)/R₄（U₂=5V，负极在d，故b到d的电压为Uᵦ-0，R₄连接b和U₂正极，U₂正极电位为5V（相对于d），因此R₄的电流为(Uᵦ-5)/4（方向b→U₂正极）受控电流源Iₓ=0.5I₃=0.5(Uₐ-Uᵦ)/3（I₃=(Uₐ-Uᵦ)/3，方向a→b），若Iₓ从b流出到其他节点（如c），则流出b的电流还包括Iₓ=0.5(Uₐ-Uᵦ)/3因此节点b的KCL：(5/6)(Uₐ-Uᵦ)=(Uᵦ-5)/4+0.5(Uₐ-Uᵦ)/3化简左边=(5/6)(Uₐ-Uᵦ)，右边=(Uᵦ-5)/4+(Uₐ-Uᵦ)/6两边乘12消分母：10(Uₐ-Uᵦ)=3(Uᵦ-5)+2(Uₐ-Uᵦ)→10Uₐ-10Uᵦ=3Uᵦ-15+2Uₐ-2Uᵦ→8Uₐ-11Uᵦ=-15（式2）联立式1（8Uₐ-5Uᵦ=42）和式2（8Uₐ-11Uᵦ=-15），相减得6Uᵦ=57→Uᵦ=9.5V，代入式1得8Uₐ=42+5×9.5=42+47.5=89.5→Uₐ=89.5/8=11.1875V（2）受控电流源发出的功率P=Uₓ×Iₓ，其中Uₓ为其两端电压。假设受控电流源连接b和c，c点电位未知，需确定其电压。若c点通过其他支路接地或连接其他元件，需补充条件。假设c点通过电阻R₅接地，或题目中隐含受控源另一端接地（c=d），则Uₓ=Uᵦ-0=9.5V（若c=d）。此时Iₓ=0.5I₃=0.5(Uₐ-Uᵦ)/3=0.5(11.1875-9.5)/3=0.5×1.6875/3≈0.28125A功率P=Uᵦ×Iₓ=9.5×0.28125≈2.672W（若电流从b流出到d，则Uₓ=Uᵦ，发出功率为正）。二、综合分析题（本题25分）图2所示电路为二阶RLC串联电路，t=0时开关S由1掷向2，换路前电路已稳定。已知L=0.5H，C=2μF，R=1000Ω，U₁=20V，U₂=10V。试求：（1）电容电压u_C(t)的零输入响应、零状态响应和全响应；（2）判断电路的暂态过程性质（欠阻尼、临界阻尼或过阻尼）；（3）画出u_C(t)的波形示意图。分析与解答：（1）换路前（t<0），开关接1，电路稳定时电容相当于开路，电感相当于短路，故u_C(0⁻)=U₁=20V，i_L(0⁻)=U₁/R=20/1000=0.02A（方向由左到右）。根据换路定则，u_C(0⁺)=u_C(0⁻)=20V，i_L(0⁺)=i_L(0⁻)=0.02A。换路后（t≥0），开关接2，电路由U₂、R、L、C串联组成。二阶RLC串联电路的微分方程为：L(d²i/dt²)+R(di/dt)+(1/C)i=dU₂/dt。由于U₂为直流电源，dU₂/dt=0，方程化简为：L(d²i/dt²)+R(di/dt)+(1/C)i=0。但通常以u_C为变量更方便，因i=C(du_C/dt)，代入得：LC(d²u_C/dt²)+RC(du_C/dt)+u_C=U₂（非齐次方程，稳态值u_C(∞)=U₂=10V）。特征方程：LCs²+RCs+1=0→s²+(R/L)s+1/(LC)=0计算参数：R/L=1000/0.5=2000，1/(LC)=1/(0.5×2×10⁻⁶)=10⁶特征根：s=[-2000±√(2000²-4×1×10⁶)]/2=[-2000±√(4×10⁶-4×10⁶)]/2=-1000（重根），故为临界阻尼。零输入响应（U₂=0时的响应）：齐次方程解，初始条件u_C(0⁺)=20V，i_L(0⁺)=C(du_C/dt)|ₜ=₀⁺=0.02A→du_C/dt|ₜ=₀⁺=0.02/(2×10⁻⁶)=10⁴V/s。临界阻尼时零输入响应为u_Czi(t)=(A₁+A₂t)e^(-αt)，α=R/(2L)=1000/(2×0.5)=1000rad/s。代入初始条件：u_Czi(0)=A₁=20Vdu_Czi/dt|ₜ=₀=A₂-αA₁=10⁴→A₂=10⁴+αA₁=10⁴+1000×20=3×10⁴故u_Czi(t)=(20+3×10⁴t)e^(-1000t)V零状态响应（初始条件为0，即u_C(0⁺)=0，i_L(0⁺)=0）：非齐次方程解，稳态值u_Czs(∞)=U₂=10V，通解为u_Czs(t)=10+(B₁+B₂t)e^(-1000t)。代入初始条件：u_Czs(0)=10+B₁=0→B₁=-10du_Czs/dt|ₜ=₀=B₂-1000B₁=0（因i_L(0⁺)=C(du_C/dt)|ₜ=₀=0→du_C/dt|ₜ=₀=0）故0=B₂-1000×(-10)→B₂=-10⁴因此u_Czs(t)=10+(-10-10⁴t)e^(-1000t)V全响应=零输入响应+零状态响应=(20+3×10⁴t)e^(-1000t)+10+(-10-10⁴t)e^(-1000t)=10+(10+2×10⁴t)e^(-1000t)V（2）特征根为实重根（s=-1000），故电路处于临界阻尼状态。（3）u_C(t)的波形：初始值20V，稳态值10V，响应曲线无振荡，单调趋近于稳态值。t=0时斜率为du_C/dt|ₜ=₀=10⁴V/s（由全响应求导得：du_C/dt=[2×10⁴e^(-1000t)+(10+2×10⁴t)(-1000)e^(-1000t)]，t=0时为2×10⁴-10×1000=10⁴V/s），随后斜率逐渐减小，最终趋近于0。三、正弦稳态分析题（本题25分）图3所示电路中，电源电压u(t)=220√2sin(314t+30°)V，Z₁=10+j15Ω，Z₂=20-j10Ω，Z₃=30+j20Ω，Z₄=5+j5Ω。试求：（1）各支路电流的相量表达式；（2）电路的有功功率、无功功率和功率因数；（3）若要将功率因数提高到0.95（滞后），需并联多大的电容？分析与解答：（1）电源角频率ω=314rad/s，相量电压U=220∠30°V。首先计算等效阻抗：Z₂与Z₃并联后与Z₄串联，再与Z₁并联。Z₂∥Z₃=(Z₂Z₃)/(Z₂+Z₃)=[(20-j10)(30+j20)]/(50+j10)分子：(20×30+20×20j-10×30j-10×20j²)=600+400j-300j+200=800+100j分母：50+j10=10(5+j1)，模√(5²+1)=√26，幅角arctan(1/5)≈11.31°故Z₂∥Z₃=(800+100j)/(50+j10)=(100(8+j1))/(10(5+j1))=10(8+j1)/(5+j1)=10×[(8+j1)(5-j1)]/(25+1)=10×(40-8j+5j-j²)/26=10×(41-3j)/26≈(410-30j)/26≈15.77-1.15jΩZ并联部分=Z₂∥Z₃+Z₄=15.77-1.15j+5+5j=20.77+3.85jΩ总等效阻抗Z=Z₁∥(Z并联部分)=(10+j15)(20.77+3.85j)/(10+j15+20.77+3.85j)分子：(10×20.77+10×3.85j+15×20.77j+15×3.85j²)=207.7+38.5j+311.55j-57.75=150+350.05j≈150+350jΩ分母：30.77+18.85j≈30.77+18.85j，模√(30.77²+18.85²)≈36.1Ω，幅角arctan(18.85/30.77)≈31.5°故Z≈(150+350j)/36.1∠31.5°≈(374.17∠66.8°)/36.1∠31.5°≈10.36∠35.3°≈8.47+j5.98Ω总电流相量I=U/Z=220∠30°/(8.47+j5.98)=220∠30°/(10.36∠35.3°)≈21.24∠-5.3°A分流计算：Z₁支路电流I₁=I×(Z并联部分)/(Z₁+Z并联部分)=21.24∠-5.3°×(20.77+3.85j)/(30.77+18.85j)Z并联部分=20.77+3.85j≈21.13∠10.4°，分母=30.77+18.85j≈36.1∠31.5°故I₁≈21.24∠-5.3°×21.13∠10.4°/36.1∠31.5°≈21.24×21.13/36.1∠(-5.3+10.4-31.5)≈12.4∠-26.4°AZ并联部分电流I₂=I-I₁=21.24∠-5.3°-12.4∠-26.4°≈21.24×(cos(-5.3°)+jsin(-5.3°))-12.4×(cos(-26.4°)+jsin(-26.4°))≈21.15-j1.96-11.1-j5.53≈10.05-j7.49≈12.53∠-36.6°AZ₂支路电流I₂₁=I₂×Z₃/(Z₂+Z₃)=12.53∠-36.6°×(30+j20)/(50+j10)=12.53∠-36.6°×(36.06∠33.7°)/(50.99∠11.3°)≈12.53×36.06/50.99∠(-36.6+33.7-11.3)≈8.85∠-14.2°AZ₃支路电流I₂₂=I₂×Z₂/(Z₂+Z₃)=12.53∠-36.6°×(20-j10)/(50+j10)=12.53∠-36.6°×(22.36∠-26.6°)/(50.99∠11.3°)≈12.53×22.36/50.99∠(-36.6-26.6-11.3)≈5.5∠-74.5°A（2）有功功率P=UIcosφ=220×21.24×cos(30°-(-5.3°))=220×21.24×cos35.3°≈220×21.24×0.816≈3830W无功功率Q=UIsinφ=220×21.24×sin35.3°≈220×21.24×0.578≈2700var功率因数cosφ=cos(35.3°)≈0.816（滞后）（3）原功率因数cosφ₁=0.816，φ₁=35.3°；目标cosφ₂=0.95，φ₂=18.2°。需补偿的无功功率Qc=P(tanφ₁-tanφ₂)=3830×(tan35.3°-tan18.2°)=3830×(0.71-0.33)=3830×0.38≈1455var并联电容的容抗Xc=U²/Qc=220²/1455≈33.2Ω，电容C=1/(ωXc)=1/(314×33.2)≈96.5μF四、互感电路分析题（本题20分）图4所示电路中，两耦合电感L₁=0.2H，L₂=0.1H，互感M=0.05H，电阻R₁=5Ω，R₂=3Ω，电源u(t)=100√2sin(1000t)V。试求：（1）开关S断开时，ab端的开路电压；（2）开关S闭合时，各支路电流的有效值。分析与解答：（1）开关S断开时，副边开路，i₂=0。原边电流i₁=u(t)/(R₁+jωL₁)，相量U=100∠0°V，ω=1000rad/s，Z₁=5+j1000×0.2=5+j200Ωi₁=U/Z₁=100∠0°/(5+j200)=100/(200.06∠88.6°)≈0.5∠-88.6°Aab端开路电压由互感电压和L₂的自感电压组成（因i₂=0，L₂的自感电压为0），故u_ab=jωMi₁=j1000×0.05×0.5∠-88.6°=j50×0.5∠-88.6°=25∠(90°-88.6°)=25∠1.4°V，有效值25V。（2）开关S闭合时，副边接R₂，原边和副边的电压方程为：原边：U=(R₁+jωL₁)I₁+jωMI₂副边：0=jωMI₁+(R₂+jωL₂)I₂代入数值：100∠0°=(5+j200)I₁+j50I₂（式1）0=j50I₁+(3+j100)I₂（式2）由式2得I₂=-j50I₁/(3+j100)=-j50I₁/(100.0