三角形中位线的应用三例_第1页
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文档简介

三角形中位线的应用三例在平面几何证明题中，若题设条件出现了一条线段的中点，则可取另一条线段的中点，构造三角形的中位线，利用其性质证题．主要有三种情况，现举例说明．例1如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠BAC的平分线AE交BC于E，DF⊥AE于F，DF分别交AB、AC于G、H。分析由题设知，O是△DGB一边DB的中点，取另一边DG的中点M，连OM，则OM平行且等于BG。欲证OH=BG，只需证OH=OM.证明取DG的中点M，连OM．∵AE平分∠BAC，且DF⊥AE，∴∠OHM=∠AHF=90°－22.5°=67.5°．又∠MOH=∠BAC=45°，∴∠OMH=180°－67.5°－45°=67.5°，∴∠OMH=∠OHM，∴OH=OM，例2如图2，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，直线EF交AD的延长线于G，交BC的延长线于H．求证∠AGE=∠BHE．分析由于中点E、F不在一个三角形的边上，可连结AC，取AC的中点M，连ME、MF，在△CAD和△ABC中分别利用中位线的性质．证明连结AC，取AC的中点M，连ME、MF．∵E是AB的中点，∴∠MEF=∠BHE．∴∠MFE=∠AGE．又AD=BC，∴MF=ME，∴∠MEF=∠MFE，故∠AGE=∠BHE．例3如图3，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥ED，∠BAC=∠EAD，P是CD的中点，求证：PB=PE．分析由于PB、PE不在同一个三角形中，且PB、PE分别所在的两个三角形又不具备全等的条件，欲证PB=PE，可分别以PB、PE为一边构造两个三角形，再证它们全等．为此，分别取AC、AD的中点F、G，连结FB、FP、GE、GP．在Rt△ABC和Rt△AED中分别利用斜边上中线的性质，在△ACD中利用中位线的性质．证明分别取AC、AD的中点F、G，连结FB、FP、GE、GP．∴∠PFC=∠DAC，∠PGD=∠CAD．且PF=EG，FB=GP．又∠BFP=∠BFC+∠PFC=∠FBA+∠BAC+∠DAC=2∠BAC+∠DAC，∠EGP=∠EGD+∠PGD=∠GEA+∠DAE+∠CAD=2∠DAE+∠CAD

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