垂径定理及其推论提高试题_第1页
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文档简介

垂径定理及其推论提高试题已知⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB垂直平分CD于E，求证：AB是⊙O的直径。证明：连接OC、OD，因AB垂直平分CD于E，故CE=DE，∠AEC=∠AED=90°。若CD为⊙O的直径，则其中点E为圆心，此时AB过圆心E，故AB为直径；若CD非直径，由垂径定理推论，垂直平分非直径弦的直线必过圆心，而AB为⊙O的弦，过圆心的弦是直径，因此AB是⊙O的直径。综上，AB为⊙O的直径。已知⊙O的弦AB长为8，弦CD长为6，且AB与CD垂直相交于圆内点P，圆心O到P的距离为√5，求⊙O的半径r。解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC。由垂径定理，AM=MB=4，CN=ND=3。设O到AB的距离为d₁，到CD的距离为d₂，则OA²=d₁²+4²=r²，OC²=d₂²+3²=r²，故d₁²=r²16，d₂²=r²9。因AB⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CD，故OM与ON垂直，四边形OMPN为矩形，OP为矩形对角线，由勾股定理得OP²=d₁²+d₂²=5。代入得(r²16)+(r²9)=5，解得2r²=30，r=√15。⊙O中，直径AB与弦CD相交于E，AE:EB=1:3，CD⊥AB于E，求∠COD的度数。解：设⊙O半径为r，则AB=2r，AE:EB=1:3，故AE=r/2，EB=3r/2，OE=OAAE=rr/2=r/2。CD⊥AB于E，由垂径定理，CE=ED。在Rt△OEC中，OC=r，OE=r/2，cos∠COE=OE/O

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