2025版高考数学总复习第五章平面向量第3节平面向量的数量积及其应用教案文含解析北师大版

第3节平面对量的数量积及其应用

最新考纲1.理解平面对量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面对量的数量积与向量投

影的关系；3.驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算；4.能运用数量积表

示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些

简洁的平面几何问题：6.会用向量方法解决简洁的力学问题与其他•些实际问题.

知识衍化体聆回腴教材,夯实基础

知识梳理

1.平面对量数量枳的有关概念

(1)向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a和6,如右图，作百=a,市=瓦则/力而/A

=0(0°WOW180°)叫作8与6的夹角.%

OhB

②当。=0。时，a与b共线同向.

当。=180°时，a与b共线反向.

当。=90°时，a与b相互垂直.

(2)向量的数量积

定义：已知两个向量a与6,它们的夹角为〃，则数量laZ>cos一夕叫作a与b的数量积(或

内积)，记作a•b,即a•b=a引cos」,由定义可知零向量与任一向量的数量积为0,

即0•a=0.

⑶数量积的几何意义：数量积a.b等于a的长度Ial与b在a的方向上的射影引cos。

的乘积，或6的长度引与a在b方向上射影acos。的乘积.

2.平面对量数量枳的性质及其坐标表示

设向量&=(刘，M)，6=(照，㈤，。为向量a，。的夹角.

(D数量积:a*b=\a\\b\cos«=小典+几小

⑵模：|a|=7a•一={1+乂.

(4)两非零向量8_Lb的充要条件：a•/>=()=而*2+%度=().

⑸|a•引Wa\|b\(当且仅当a〃方时等号成立)=|小田+'对《

3.平面对量数量积的运完律

⑴8•b=b*a(交换律).

(2)4a•6=4(a•b)=a•(,Ib)(结合律).

⑶(a+b)•c=a•c-\-b•c(安排律).

［微点提示］

1.两个向量a,b的夹角为锐角oa•检。且a"不共线;两个向量a"的夹角为钝角oa・从0

且a6不共线.

2.平面对量数量积运和的常用公式

(1)(a+b),(a-b)=a'—lf.

(2)(a+b)2=a+2a•b+6.

⑶(a—b)2=a—2a•b+6.

基础自测

疑误辨析

1.推断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)两个向量的夹角的范围是|"o,v-l-()

(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()

(4)若a•6=8•c(aHO),贝！!2>=c.()

解析(1)两个向量夹角的范围是［)，

⑷由a,b=a•c(a#0)得|a||b|,cos(a,hi)=|a|\c\,cos(a,c),所以向量5和c

不肯定相等.

答案⑴X⑵J⑶J(4)X

教材衍化

2.(必修4P94讲解引申改编)设a,6是非零向量."a・b=|a|引”是“a〃力”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析设a与b的夹角为。.因为8•6=|a|,\bcos0=\a\•\b\,所以cos0=l,即

8与b的夹角为0°，故8〃b.

当a〃b时，a与6的夹角为C°或180°,

所以a•5=|a|•|6|cos〃=±|a|・|b|,

所以i(a-b=\a\•\b\n是所〃b”的充分而不必要条件.

答案A

3.(必修4P97习题A6改编)在圆0中，长度为镜的弦AB不经过圆心，则花-花的值为

解析设向量法崩的夹角为〃，

则而•葩=|而||丽•cos。=|祐cos0•\'AB\=^\7B\­|S|=|x(^/2)2=1.

答案1

考题体验

4.(2024•全国II卷)已知向量a,6满意|a|=l,a•6=-1,则a•(2a—5)=()

A.4B.3C.2D.O

解析a,(2a—/>)=2|a|2—a*Z>=2Xlz—(—1)=3.

答案B

5.(2024•延安调研)平面对量a与b的夹角为45°,a=(l,1),\b\=2,则|3a+引等于

()

A.13+6^2B.2^5

C.弧[).相

解析依题意得a=2,a•b=y[2X2Xcos45°=2,|3a+b\=7(3a+A)'=

49H十6a・匕十万=，18十12+4=取.

答案D

6.(2024•全国I卷)已知向量a=(―1,2),6=(m,1).若向量a+A与a垂直，则m=

解析由题意得a+6=(m—L3),

因为a+5与a垂直，所以(a+b)・a=0,所以一(m—1)+2X3=0,解得m=7.

答案7

I考点聚焦突破I分类讲练，以例求法

考点一平面对量数量积的运算

【例】】(1)若向量〃=(2A—1,4)与向量〃=(4,】)共线，贝U必•〃=()

...£=*即40,5)，龙•^b=(-4,•(0,6)=16.

(2)因为|&|=|引=1,向量a与b的夹角为45〃，

所以(a+2b)•a=，+2a•b=\a2+2\a\•\Z>|cos45°=1+5/2.

答案(DA(2)1+*

考点二平面对量数量积的应用.•…a多维探究

角度1平面对量的垂直

【例2—1】⑴(2024•北京卷)设向量a=(1,0),6=(—1,/»).若a_L(磔-b),则椁

(2)(2024・宜昌二模)已知△/阿中，/力=120°,且47=3,力>4,若茄=AABA-AC,且亦

J■赤，则实数4的值为()

-22„10「°n12

A.-B.-C.6D.—

136I

解析(l)a=(l,0).6=(-1.ni).a=1.a•b——1.

由aJL(ma—6)得a•[ma—6)=0,即ma—a•b=0.

'»m~(-1)=0,/.m=—1.

⑵因为而=4茄+成；且血击

所以有力・瓦=(4而+应)・(AC~~AH)=4肪・AC-1宓+超一花・AC=(1一])前•而

-4赤+农=0,

整理可得(4—l)X3X4Xcos120°-94+16=0,

99

解得儿=”

答案(1)一1(2)A

规律方法1.当向量a，6是非坐标形式时，要把插入用已知的不共线向量作为基底来表示

且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.

2.数量积的运算a-b=0=a_L6中，是对非零向量而言的，若a=0,虽然有a・6=0,但不

能说aLb.

角度2平面对量的模

【例2—2](1)已知平面对量a,B，|a|=l,|£l=2,a_L(a—2£),则|2a+£|

的值是

⑵（2024•安阳调研）已知直角梯形力面9中，/，〃〃%,ZJZ^7=90°,AD=2,BC=LP是

腰如上的动点，则I商+3丽|的最小值为______.

解析（1）由a_L（a—2£）得a•（a-2fi）=a2—2a•fi=0,

所以a•fi=~t

所以（2a+£）2=4a:+万,+4a•^=4Xl2+22+4x1=10,

所以2a+8|

（2）建立平面直角坐标系如图所示，则力（2,0）,

设尸(0,y),C(0,b),则8(1,8.

所以苏+3丽=(2,-y)+3(l,b-y)=(5,3力一4y),

所以为+3成|=W5+（3力-4y）z（0W。），

Q

所以当y=/时，I万计3沏取得最小值5.

答案⑴虫（2）5

规律方法1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用la=而不及（a±b）2=|a2±2a-b+

\b\\把向量的模的运算转化为数量枳运算：（2）几何法，利用向量的几何意义.

2.求向量模的最值（范围）的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求

最值的方法求解：（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示

的图形求解.

角度3平而对量的夹角

【例2—3】⑴（2024•衡水中学调研）已知非零向量a,方满意|狂引=|a一引=逑|a|,

则向量8+6与a-8的夹角为________.

（2）若向量a=（h3）,b=34）,c=（2,1）,已知2a—36与c的夹角为钝角，则〃的取

值范围是.

解析（1）将a+引=I&—引两边平方，得a+b+2a•。=&'+方-2a•b,...a♦6=0.

将la+引=邛&a|两边平方，得a'+6+2a・b=^a,

JJ

12

'.b,2=~a

J

设a+b与a—6的夹角为〃，

22

.（a+b）•（a-6）________a-B______3a1

==

•.cos=\a+b\.\a-b\=2^32A/3I^2,

3|a|3|a铲

又•.•0£[O,n],.・.〃=?.

J

⑵・・・2a-3b与。的夹角为钝角,A（2a-3Z»）・KO,

即（2A-3,-6）•（2,1X0,解得AV3.

9

又若（2a—36）〃c,则2%—3=-12,即4=-5.

9

当A=—5时，2a—36=（—12,—6）=—6c,

此时2a—36与。反向，不合题意.

综上，〃的取值范围为（一8,一胃«一/3）

答案（1）3（2）（_8,一号口（一*3）

规律方法1.探讨向量的夹角应留意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是。或口；

留意向量夹角的取值范围是[C，九];若题目给出向量的坐标表示，可干脆套用公式cos0

-r,^+r,.K

-I》求解•

y应+K

2.数量积大于o说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于（）说明不共线的两向量的夹

角为直角，数量积小于（）且两向量不共线时两向量的夹角为钝免.

【训练2]（1）（2024•全国10卷）已知向量a=（—2,3）,b=（3,w），且aLb,则m=.

（2）（一题多解）（2024•全国I卷）已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,\b\=},则|a+

2b\=_______.

⑶（2024•山东卷）已知鼠，包是相互垂直的单位向量，若小8一a与e+4a的夹角为60°,

则实数1的值是.

解析（1）由aJ_6,得&•/>=（）,

又a=（—2,3）,6=（3,加）,

/.-64-3/77=0,贝I];»=2.

⑵法一Ia+2引=yj(a+26)2=y/a-+4a•b+4&

=A/22+4X2XIXCOS600+4X12=^12=2/.

法二(数形结合法)

由la=[2引=2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形如四如图，则|a+2引=|应'

I.

乂NAOB=60°所以|a+26=2小.

⑶由题意知8|=隆|=1，8•叁=0,

I-a|=7(小e—a)J/5—=「3-0+1=2.

同理a+4包|=71+/I

-傥）♦（8十人助）

所以cos60。

\y[3ei-e：a+e：\

_。-1)8，，-/1/_y/^一,_

2寸1+•-2[1+,厂亍

解得/I邛.

答案(1)2(2)2^3

考点三平面对量与三角函数

【例3】（2024•抚州摸底）在△月阿中，角阿B,。的对边分别为&b,c,向量片（cosj

3

一曲，sin（7l-而），n=（cosB,—sinB）,且0•〃=­£.

⑴求sinA的值;

⑵若a=4，L。=5,求角6的大小及向量南在反方向上的投影.

Q

解（1）由卬・〃=一三，

5

3

得cos（/1—而cossin（J—.5）sinB=一二,

3

3

所以cos4=—§.因为。〈水n,

所以sinA=yj\—cos'A=

⑵由正弦定理,得肃广sinB'

/.in/54或

贝Usm6===砺告

因为a>)所以08,且8是△力成'一内角，贝Ij6=：.

解得c=l，c=-7舍去，

故向量说在反方向上的投影为由cos8=ccos/，=1乂乎=坐

乙乙

规律方.法平面对量与三角函数的综合问题的解题思路:

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等,

得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思

路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求学值域等.

【训练3】(2024•石家庄模以)已知力，B,。分别为庞'的三边a,b,c所对的角，向量

m=(sinA,sin粉，n=(cosB,cosA),且〃・〃=sin2c.

(1)求角。的大小；

⑵若sinA,sinC,sin0或等差数列，且。•(44—〃)=18,求边。的长.

解(1)由已知得卬•〃=sinAcosB+cosJsinB=sin(A+协,

因为1+6+0=又，

所以sina+而=sin(Ji—。=sin3

所以o・〃=sinC,又0・A=sin2C,

所以sin261=sinC,所以ccsC=^.

又0<6Kn,所以

<5

⑵由已知及正弦定理得2c=a^b.

因为万•(AB-AC)=CA・而=18,

所以a/)cosC=18,所以a6=36.

由余弦定理得c=才+8—2abeosC=(a+犷-3ab,

所以C2=4?-3X36,

所以c'=36,所以c=6.

您反思与感悟

［思维升华］

1.计算向量数量积的三种方法

定义、坐标运算、数量积的几何意义，要敏捷运用，与图形有关的不要忽视数量积几何意义

的应用.

2.求向量模的常用方法

利用公式la2=片，将•模的运算转化为向量的数量积的运算.

3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.

［易错防范］

数量积运算律要精确理解、应用.例如,a-6=a-c（a#O）不能得由b=c,两功不能约夫

一个向量.数量积运算不满意结合律，（a-b）・c不肯定等于a・（5-c）.

I核心素养提升I自主阅读，提升素养

数学运算、数学建模一一平面对量与三角形的“四心”

1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面对

量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算实力，形成规范化思索问题的品质，养

成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

2.数学建模要求在熟识的情境中，发觉问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经验

数学建模的过程,理解数学建模的意义.本系列通过学习平面对量:与三角形的“四心”模型，

能够培育学生用模型的思想解决相关问题.

设。为△/1及7所在平面上一点，内角力，B,。所对的边分别为a,b,c,则

（1）。为A/ia•的外心=|冽=\OB\=\OC\=,）「

ZsinA

⑵。为回的重心0而+而+应J0.

⑶。为△?!阿的垂心O5-而=龙•狂应'•应.

⑷0为△月比的内心而+应&+c充=0.

类型1平面对量与三角形的“重心”

[例1]已知4日。是平而上不共线的三点，0为坐标原点，动点尸满意苏=女(1一人)永

+(1—1)市+(1+24)•雨，，l£R,则点〃的凯迹肯定经过()

A.△?!回的内心B.△/18C的垂心

C.△力回的重心D."边的中点

解析取/厉的中点〃则2而=而十而,

vS^|[(l-A)OA+(l-/)宓+(1+24)市，

<5

苏=；[2(1-1)办F(1+24)应]=2积';

JJJ

而2(11))+且*=],:.p,c,〃三点共线，

o*5

，点尸的轨迹肯定经过△月故的肃心.

答案C

类型2平面对量与三角形的“内心”问题

【例2】在△/1回中，AB=5,AC=6,cos。是△力比的内心，若加=凝+成:,其

□

中*,ye[o,1],则动点〃的轨迹所覆盖图形的面积为()

丸呼B.邛C.力D.6位

解析依据向量加法的平行四边形法则可知，动点〃的轨迹是以如，%为邻边的平行四边

形及其内部，其面积为面积的2倍.

在中，设内角儿B,。所对的边分别为a,b,c,

由余弦定理3=9+/—26CCGSA,得a=7.

设的内切圆的半径为人则

16csin4=:(a+8+c)，，解得

…112A/67A/6

所以S^-=-X<aXr=-X7X-^-=—^―.

乙乙JJ

故动点户的轨迹所覆盖图形的面积为28跄=粤金

答案B

类型3平面对量与三角形的“垂心”问题

【例3】已知。是平面上的一个定点，A,H,C是平面上不共线的三个点，动点〃满意⑷=

为+4（七丝一+七江一）,1£（0,+8）,则动点〃的轨迹肯定通过△力回的（）

IABcosBAC\cosC

A.重心B.垂心C.外心D.内心

解析因为"面+4（七”一+七江一）,

\ABcosBAC\cosC

4

所以Q=小一殖=A（_""—

IAB\COSB\AC\COSC

所以比•不』及＞"士"一+—）=』（一|及1+1加|）=0,

IAB\COSB|/16lcosC

所以反工德所以点尸在外的高线上，即动点P的轨迹肯定通过△4%?的垂心.

答案B

类型4平面对量与三角形的‘'外心”问题

【例4】已知在,中，AH=1,风=邓,然=2,点〃为△?1加的外心，若而=疝什康；

则有序实数对（箝。为（）

解析取融的中点〃和〃'的中点此连接丽ON,则说此瓶0N1.AC,

弓一，帝一疝＞

由方/_L砺，得/&=（）,①

2

由原CL不；得七一步近—嬴•葩=0,②

又因为交=（AC-~AB）2=Ad-2AC-葩+帝,

D而+而一反？1公

所以力「,力/?=-----=一

5乙---------4乙，③

1—2x+y=0,4Q

把③代入①、②得J解得y=-

4+x—8尸0,

故实数对J,y)为右，j)

答案A

分层限时训练分层训练，提升能力

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.已知向量a=(m—l,1),b=5,-2),则'"=2"是“a_Lb”的()

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析当m=2时，a=(1,1),b=(2,—2),

所以a・b=(l,1)•(2,-21=2-2=0,

所以a_L6,充分性成立：

当&_1_6时，a•b—{m—1,1)•(m,-2)=勿(加一1)—2=0,

解得勿=2或卬=-1,必要性不成立.

所以'"=2"是“a_L6”的充分不必要条件.

答案A

2.(2024•永州二模)已知非零向量&b的夹角为6州，且|引=1,12n=1,则|川=

()

A.1B.1C.y/2D.2

1Io|

解析由题意得a・6=|川乂1乂5=.，

又|2a一引=1,

六|2a——4a,b+t>=4|a|2—2|a|4-1=1,

即41al2—2|a=0,又|a|K3

解得a|=1.

答案A

3.(2024•西安二模)若两个非零向量a,b满意|a+引=Ia—8=21引，则向量a+6与a

的夹角为（）

JT2人n

A•彳AD-v

解析设|力=1,则|a+A|=|a-6|=2.

由|a+5|=|a—b|,得a・b=O,

故以a、6为邻边的平行四边形是矩形，且=小,

设向量a+b与a的夹角为0,

（a+b）a：+a・b___a__\A/3

则cos

\a\•|a+6|\a•\a-\-bIa+b2

又—所以。弋.

答案D

4.如图，在等腰梯形4中，/仍=4,BC=CD=2,若E,"分别是边及7,,仍上的点，且满

意缘毒，I，则当赤•麻=。时，八的值所在的区间是（）

A.

C.

解析在等腰梯形力发力中，册=4,BC=CD=2,

可得〈茄，由-60°,

所以〈葩，砺=60°,〈欣庆）=120°,

所以布・丽=4X2X）=4,

/&•S?=4X2X=一4,讪.浙=2X2X3=2,

BEAF

又瓦、=%=/I,所以应'=4的7F=入诵,

则超=而十~BE=赤+4BC.

苏=万—砺=X~AH~~Al）,

所以恁•原三（崩+ABC）•（儿诵一曲

=/葩一砺・必+42必・BC-AAD>瓦=0,

即242—74+2=0,解得人=省画（舍去）或4=7—倔(\_3'

4G-

答案B

5.（2024•浙江卷）如图，己知平面四边形/仿⑦，ABLBC,AB=BC=AD=2,折3,AC与BD

交于点〃记，=希•应l2=0B»0C,△=&?・％,则（）

D

A./iVAVhB.L<h<h

C./3V/iV人D./V27iVA

解析如图所示，四边形/例》是正方形，尸为正方形的对角线的交点，易得八伏/F,而///火

=90°,・•・//«"与NC如为触角，/和〃与/”优为锐角，依据题窟，人一/2=办・宓一宓・0C

=市・（0A~~0C）=市・CA=

|宓|而|・cosN月瞅0,

：.1«»同理出人，作力。_1_初于口

又A4AD,：.（政BG=GIK（）D,而。!<"'=/•次优'，

:.\OA\\OB\<\OC\\ob\>

而cos/力但cos/C瞅0，，而・0H>0C>7)1),

D

答案C

二、填空题

6.（2024•淮北二横）在△/%中,三个顶点的坐标分别为4（3,0,B0-1）,

。（-3,-1）,若△/应'是以A为直角顶点的直角三角形，则1=.

解析由已知，得BA・8C=0,

则(3—t+l),(—3—t,C)=0,

(3-f)(-3-t)=0,解得t=3或f=—3,

当亡=一3时，点夕与点C重合，舍去.故t=3.

答案3

7.若非零向量a方满意|a|=3|引=|a+2引，则a,6夹角〃的余弦值为.

解析|a|=|a+2b|,两边平方得，

Ia|2=Ia|2+41b2+4a,b=Ia|2+4b「+4|a|b\•cos

又|a=3|/>|,

所以0=4|6"+12|8「cos0,得cos0=­J.

J

me1

答案一不

J

8.(2024•上饶二模)在RtZU/中，NS=90°,BC=2,4QI,〃为的中点，后在斜边

力。上，若龙=2或则应>・&=_______.

解析如图，以外为坐标原点，/出所在直线为*轴，ZT所在直线为y轴，建立平面直角坐

标系,则6(0,0),4(1,0),。(0,2),所以应=(-1,2).

因为。为纪的中点，所以〃(0,1),

因为能'=2击所以《;，g,

所以庞=&,3),

所以雄・"&(-1,2)=-|+|=i

答案|

三、解答题

9.在平面直角坐标系宜加中，点力(-1,-2),4(2,3),。(一2,-1).

⑴求以线段/仍，月。为邻边的平行四边形两条对角线的长：

(2)设实数/满意(办-E应)・Ho,求£的值.

解(1)由题设知葩=(3,5),AC=(-l,1),

则防+荷=(2,6),而一位'=(4,4).

所以花+宓=2亚，\~AB-AC\=4^/2.

故所求的两条对角线的长分别为2M

(2)由题设知：OC=(-2,-1),~AB-tOC=(3+2r,5+>

由(市一1而・OC=0,得

(3+265+Z)•(-2,-1)=0,

从而5£=-11,所以，=一口.

□

10.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知向量8=(—1,2),又点力(8,0),B5,t),

<7(Asin0,£)(0W〃这5).

⑴若而_La,且|筋|=4Oi|,求向量威

(2)若向量不二与向量a共线，当44,且tsin。取最大值4时，求应•应：

解(1)由题设知砺=(〃-8,。，

,•・8—〃+2f=0.

又•.,#国|=|旃，

.,.5X64=(/?—8)2+f=5f2>得t=±8.

当1=8时，〃=24；当「=—8时，〃=—8,

・•.宓=(24,8)或宓=(-8,-8).

⑵由题设知位=(々sin〃一&t),

共线，/.t=-2^sin"+16,

tsin。=(—2代in0+16)sin0

=-2Ar(sin=一［尸+半。

4

VA>4,.\0<7<1,

k

439

，当sin0=］时，Esin。取得最大值丁.

KK

32

由7=4,得4=8,

K

此时。=《，0C=（4,8）,

.•.而・加=（8,0）・（4,8）=32.

实力提升题组

（建议用时：20分钟）

11.（2024•唐山二模）在△/1应1中，Zr=90°,/仿=6,点〃满意。