2025-2026学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知⊙O的半径为4cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P（）A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.在圆O上或圆O外2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D=70°，则∠B的度数为（）A.100°

B.110°

C.70°

D.109°3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=5，BC=4，则tanA的值为（）A.

B.

C.

D.4.如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高BC=10m,坡比是，则坡面AB的长度为（）A.

B.

C.20m

D.5.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形6.已知反比例函数，下列判断正确的是（）A.函数图象分布在第二、四象限 B.图象经过点（-1，3）

C.若x＞1，则y＞3 D.在各自象限内，y的值随x的增大而减小7.如图，点P是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为O，在P点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着P点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于A、B两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下判断正确的是（）

A.弦AB的长度随着装置的转动而变化 B.线段PA与PB的长度之和不变

C.图中阴影部分的面积不变 D.点P到弦AB所在直线的距离存在最大值8.如图，在“探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系数a,b,c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）.同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（）

A.ABC B.ABD C.ACD D.BCD二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.抛物线y=3x2-2的顶点坐标是______．10.如图是一架人字梯图片及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC=5，CE=3，BD=4，则DF=

.11.如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中

对相似三角形.12.如图，P是反比例函数图象上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点A，则△PAO的面积为

.

13.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5km,则这段圆曲线的长为

km.

14.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为

.

15.四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则tanα的值为

.16.如图，以N（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，点M为⊙N上一动点，连结AM，过点C作CH垂直直线AM于点H，连结NH，则弦AB的长度为

，点M在运动过程中，线段NH的长度的最大值为

.

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

计算：cos60°+sin245°-3tan30°.18.(本小题5分)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，cosA=.求BC的长和sinA的值.19.(本小题5分)

下面是某同学设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程.

已知：⊙O及A重上一点A.

求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点.作法：如图，

（1）连结OA并延长到点C；

（2）分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线AC上方）；

（3）连结DA，以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；

（4）连结CD并延长，交OD于点B，作直线AB.

直线AB就是所求作的直线.

根据该同学设计的尺规作图过程，完成下面的证明.

证明：∵分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点D.

∴①______=AD，

∴点C在⊙D上.

∵连结CD并延长，交⊙D于点B，

∴CB是⊙D的直径.

∴②______=90°.（③______）

∴AB⊥④______.

∵OA是⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线.（⑤______）20.(本小题5分)

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，，求BD的长.21.(本小题5分)

在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点P（2，3）.

（1）求该函数的表达式；

（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数的值都小于y=mx（m≠0）的值，直接写出m的取值范围.22.(本小题6分)

如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x和对应的纵坐标y.x…-1012345…y…830-10m8…（1）依据表格中的信息，则m=______；

（2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象；

（3）该二次函数的图象与直线y=n有两个交点A，B，若AB≤6，直接写出n的取值范围.23.(本小题6分)

港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最.港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度.

24.(本小题6分)

如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，EF∥AB，BE∥AC，连结FB，使得FB平分∠AFE.

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若BE=5，AD=9，sin∠CBE=，求AC的长.25.(本小题6分)

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连结AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E.

（1）求证：∠E=∠B；

（2）连结AD，若，求AD的长.26.(本小题6分)

平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2mx+m2-1与y轴的交点为P，过点P作直线l垂直于y轴.

（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；

（2）若点（m-1，y1），（m,y2），（m+3，y3）都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上，则y1，y2，y3的大小关系为______；（用“＜”连接）

（3）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点.

①当m=0时，画出图形G，并结合图形判断，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系；

②若对于x1=m-2，x2=m+2，都有y1＞y2，直接写出m的取值范围.27.(本小题7分)

如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点B关于直线AC的对称点为P，连结CP，Q为线段CP上一点（不与点P重合），且满足∠AQP=∠ABC.

（1）用等式表示线段BD，PQ的数量关系，并证明；

（2）连结BQ，取BQ的中点E，连结DE.判断DE与AC的位置关系，并证明.28.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ，直线m和图形M给出如下定义：线段PQ关于直线m的对称线段为P1Q1（P1，Q1分别是P，Q的对应点）.若PQ与P1Q1均与图形M（包括内部和边界）有公共点，则称线段PQ为图形M关于直线m的“像一关联线段”.

（1）如图1，已知⊙O的半径是3，点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标都是整数.在线段AB，CD，EF中，⊙O关于直线y=1的“像一关联线段”的是______；

（2）如图2，已知点P（0，1），，，C（0，2），若线段OP是△ABC关于直线y=kx+2的“像一关联线段”，求k的取值范围；

（3）已知⊙O的半径为r,点P（2，0），线段PQ的长度为1.若对于任意过点C（0，2）的直线m,都存在线段PQ为⊙O关于直线m的“像一关联线段”，直接写出r的取值范围.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】（0，-2）

10.【答案】

11.【答案】三

12.【答案】2

13.【答案】π

14.【答案】x1=-2，x2=1

15.【答案】

16.【答案】63+3

17.【答案】．

18.【答案】；

19.【答案】CD

∠CAB

直径所对的圆周角等于90°

OA

经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

20.【答案】解：∵在Rt△ABC中，，

∴，

∴，

∵∠DBC=∠A，

∴cos∠DBC=cosA=，

∴，

∴BD的长度为．

21.【答案】y=

m≥

22.【答案】3

该抛物线解析式为y=（x-2）2-1=x2-4x+3．

该二次函数的图象如图，

-1＜n≤8

23.【答案】80米．

24.【答案】∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵EF∥AB，

∴∠EFB=∠FBA，

∵FB平分∠AFE，

∴∠EFB=∠BFA，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴平行四边形ABEF是菱形

6+4

25.【答案】∵点C在⊙O上，EC是⊙O的切线，

∴根据弦切角定理得：∠BCE=∠BAC，

∵OD⊥BC于点D，

∴△ECD是直角三角形，

在Rt△ECD中，∠E+∠BCE=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴△ACB是直角三角形，

在Rt△ACB中，∠B+∠BAC=90°，

又∵∠BCE=∠BAC，

∴∠E=∠B

26.【答案】（m，-1）

y2＜y1＜y3

①y1＞y2；

②-2＜m＜2

27.【答案】PQ=2BD，理由如下：

连接AP，过A作AH⊥PQ于H，

由轴对称可知，PA=BA，CP=CB，∠ABC=∠APC，

∵∠AQP=∠ABC，

∴∠APC=∠AQP，

∴AP=AQ，

∴△APQ是等腰三角形，

∵AH