2025 小学六年级数学上册分数除法与乘法关系课件

一、教学背景分析：为何要聚焦“关系”？演讲人CONTENTS教学背景分析：为何要聚焦“关系”？教学目标与重难点：指向关系的深度理解教学过程设计：在“关系”中建构运算意义课后延伸与作业设计：在生活中深化“关系理解”总结：关系是运算的灵魂目录2025小学六年级数学上册分数除法与乘法关系课件作为深耕小学数学教学十余年的一线教师，我始终认为，数学知识的学习不是孤立的符号游戏，而是建立在“关系网”上的思维建构。分数除法与乘法的关系，正是连接分数运算知识体系的关键纽带。今天，我将以“关系”为核心，带领六年级的同学们一起揭开分数乘除法的内在联系，让运算不再是机械的规则记忆，而是可解释、可推导的逻辑过程。01教学背景分析：为何要聚焦“关系”？1课标要求与知识定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域明确指出：“要引导学生理解运算的一致性，发展运算能力和推理意识。”分数除法与乘法的关系，正是落实这一要求的重要载体。从知识体系看，六年级上册的分数乘法（包括分数乘整数、分数乘分数）已为学生奠定了“求一个数的几分之几是多少”的运算基础；而分数除法（包括分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数）则需要学生从“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的逆向视角展开思考。二者的关系，本质上是“正向运算”与“逆向运算”的互逆关系，是理解分数四则运算一致性的核心节点。2学情基础与认知难点通过前测调研，我发现90%的学生能正确计算分数乘法（如$\frac{3}{4}×2$或$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$），但面对分数除法（如$\frac{3}{4}÷2$或$2÷\frac{1}{2}$）时，65%的学生会直接套用“除以一个数等于乘它的倒数”的规则，却无法解释“为什么可以这样算”；更有30%的学生混淆乘除法的意义，在解决“小明吃了6块蛋糕，是总数的$\frac{2}{3}$，原来有多少块？”这类问题时，错误地列式为$6×\frac{2}{3}$。这说明学生对分数乘除法的关系停留在“操作层面”，缺乏“意义层面”的关联认知。因此，本节课的核心任务是：通过具体情境与算式对比，帮助学生从“运算意义”和“算理推导”两个维度，建立分数除法与乘法的本质联系。02教学目标与重难点：指向关系的深度理解1三维目标设定知识与技能：理解分数除法是分数乘法的逆运算，掌握“除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数”的算理；能准确运用乘除法关系解决简单实际问题。01过程与方法：通过“情境抽象—算式对比—归纳关系—验证应用”的探究过程，经历从具体到抽象、从特例到一般的数学推理，发展运算能力和逻辑思维。02情感态度与价值观：在“找关系”的过程中感受数学知识的内在联系，体会“逆运算”的对称之美，增强用数学眼光观察生活的意识。032教学重难点重点：理解分数除法与乘法的互逆关系，能用乘法意义解释分数除法的算理。难点：从“分数除以分数”的运算中归纳一般性关系，并能在复杂问题中灵活运用乘除法关系解决问题。03教学过程设计：在“关系”中建构运算意义1情境导入：从生活问题中唤醒“乘除关联”（出示情境图：妈妈做了一块长方形巧克力，面积是$\frac{6}{5}$平方分米，已知它的长是$\frac{3}{2}$分米，宽是多少分米？）“同学们，我们已经学过长方形面积=长×宽，现在已知面积和长，求宽，应该用什么运算？”学生快速回答：“除法，宽=面积÷长，也就是$\frac{6}{5}÷\frac{3}{2}$。”“那如果已知长和宽，求面积呢？”“乘法，$\frac{3}{2}×宽=\frac{6}{5}$。”此时板书两个算式：$\frac{3}{2}×宽=\frac{6}{5}$（乘法）与$宽=\frac{6}{5}÷\frac{3}{2}$（除法），引导学生观察：“这两个算式有什么联系？”1情境导入：从生活问题中唤醒“乘除关联”学生不难发现：“除法算式是乘法算式的逆运算，已知积和一个因数，求另一个因数用除法。”设计意图：从学生熟悉的面积问题切入，利用“求面积”（乘法）与“求宽”（除法）的实际需求，自然引出乘除法的互逆关系，唤醒学生对“逆运算”的已有认知（如整数乘除法的关系），为后续探究分数情境下的关系奠定基础。2探究新知：在对比中揭示“关系本质”2.1第一层：分数除以整数与乘法的关系（出示问题1：把$\frac{4}{5}$升果汁平均分给2个小朋友，每人分到多少升？）学生独立列式：$\frac{4}{5}÷2$。“我们可以用不同的方法计算这个除法，再看看它和乘法有什么联系。”方法一（图示法）：画出$\frac{4}{5}$升的线段图，平均分成2份，每份是$\frac{2}{5}$升。方法二（转化整数法）：$\frac{4}{5}$升=800毫升，800÷2=400毫升=$\frac{4}{5}$升。方法三（乘法意义推导）：每人分到的是$\frac{4}{5}$升的$\frac{1}{2}$，即$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$升。2探究新知：在对比中揭示“关系本质”2.1第一层：分数除以整数与乘法的关系“观察方法三，$\frac{4}{5}÷2$的结果和$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$的结果相同，这说明什么？”学生总结：“除以2等于乘2的倒数$\frac{1}{2}$。”2探究新知：在对比中揭示“关系本质”2.2第二层：整数除以分数与乘法的关系（出示问题2：小明$\frac{1}{2}$小时走了2千米，他1小时走多少千米？）学生列式：$2÷\frac{1}{2}$。“1小时是$\frac{1}{2}$小时的2倍，所以路程也是2千米的2倍，即2×2=4千米。”“这里的2×2和原来的除法算式有什么联系？”引导学生思考：$\frac{1}{2}$小时走2千米，1小时走的路程是2千米除以$\frac{1}{2}$，相当于2千米乘$\frac{1}{2}$的倒数2，即$2÷\frac{1}{2}=2×2=4$。2探究新知：在对比中揭示“关系本质”2.3第三层：分数除以分数与乘法的关系（出示问题3：一根绳子长$\frac{3}{4}$米，每$\frac{1}{8}$米剪一段，可以剪多少段？）学生列式：$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$。“我们可以用乘法来验证：如果剪了x段，那么$\frac{1}{8}×x=\frac{3}{4}$，求x就是$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$。”“计算时，$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}=\frac{3}{4}×8=6$，这里的8是$\frac{1}{8}$的倒数。”关键提问：“观察以上三个例子，无论是分数除以整数、整数除以分数还是分数除以分数，计算时都用到了什么共同的方法？”学生通过对比归纳：“除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。”2探究新知：在对比中揭示“关系本质”2.3第三层：分数除以分数与乘法的关系“那为什么可以这样算呢？”进一步追问，引导学生从乘法意义解释：分数除以整数（如$\frac{4}{5}÷2$）：求$\frac{4}{5}$的$\frac{1}{2}$是多少，即$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$。整数除以分数（如$2÷\frac{1}{2}$）：求2里面有几个$\frac{1}{2}$，相当于2是$\frac{1}{2}$的几倍，即2×2（因为$\frac{1}{2}×2=1$，2里面有4个$\frac{1}{2}$，但更本质的是“求一个数是另一个数的几倍”用乘法逆运算）。2探究新知：在对比中揭示“关系本质”2.3第三层：分数除以分数与乘法的关系分数除以分数（如$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$）：求$\frac{3}{4}$是$\frac{1}{8}$的几倍，即$\frac{3}{4}×8$（因为$\frac{1}{8}×8=1$，$\frac{3}{4}×8$表示$\frac{3}{4}$包含多少个$\frac{1}{8}$）。设计意图：通过三个层次的问题（分数÷整数、整数÷分数、分数÷分数），引导学生从具体运算中观察规律，再通过“为什么可以这样算”的追问，将操作规则（除以一个数等于乘它的倒数）与乘法意义（求一个数的几分之几、求倍数关系）建立联系，实现“知其然更知其所以然”的深度理解。3巩固练习：在应用中强化“关系运用”3.1基础练习：算式互译给出乘法算式$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$，写出对应的除法算式（$\frac{1}{2}÷\frac{2}{3}=\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}÷\frac{3}{4}=\frac{2}{3}$）。给出除法算式$6÷\frac{3}{5}=10$，写出对应的乘法算式（$\frac{3}{5}×10=6$）。设计意图：通过“算式互译”强化乘除法的互逆关系，让学生明确“积=因数×因数”“因数=积÷另一个因数”的本质联系。3巩固练习：在应用中强化“关系运用”3.2对比练习：意义辨析问题A：一根绳子长12米，用去$\frac{1}{3}$，用去多少米？（$12×\frac{1}{3}=4$米）问题B：一根绳子用去$\frac{1}{3}$，正好用去4米，这根绳子长多少米？（$4÷\frac{1}{3}=12$米）“对比两个问题，它们的已知条件和所求有什么不同？列式时为什么一个用乘法，一个用除法？”学生讨论后总结：“问题A是已知整体求部分（求12米的$\frac{1}{3}$），用乘法；问题B是已知部分求整体（4米是整体的$\frac{1}{3}$），用除法。乘除法的关系本质上是‘整体与部分’的正向与逆向求解。”设计意图：通过实际问题对比，帮助学生从“运算意义”层面区分乘除法的适用场景，避免“见分号就乘、见除号就除”的机械思维。3巩固练习：在应用中强化“关系运用”3.3拓展练习：推理应用已知$a×\frac{2}{3}=b÷\frac{3}{4}=c×1$（a、b、c均不为0），比较a、b、c的大小。学生思考过程：设等式等于1，则$a=1÷\frac{2}{3}=\frac{3}{2}$，$b=1×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$，$c=1$。所以$a>c>b$。“这里用到了乘除法的什么关系？”学生回答：“已知积和一个因数求另一个因数用除法，已知商和除数求被除数用乘法，通过假设法将复杂关系转化为具体数值，体现了乘除法的互逆性。”设计意图：通过开放性推理题，引导学生灵活运用乘除法关系解决复杂问题，发展代数思维和推理能力。4课堂小结：用“关系网”串联知识“今天我们一起探索了分数除法与乘法的关系，谁能结合具体例子说说你的收获？”学生1：“分数除法是分数乘法的逆运算，比如已知一个数的$\frac{2}{3}$是6，求这个数用除法（$6÷\frac{2}{3}$），而求6的$\frac{2}{3}$是多少用乘法（$6×\frac{2}{3}$）。”学生2：“计算分数除法时，除以一个数等于乘它的倒数，这是因为除法是乘法的逆运算，比如$\frac{3}{4}÷2$等于$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$，相当于求$\frac{3}{4}$的$\frac{1}{2}$是多少。”4课堂小结：用“关系网”串联知识教师总结：“分数乘除法就像一对‘好朋友’，乘法是‘正向生长’（已知整体求部分），除法是‘逆向还原’（已知部分求整体）；它们的运算规则也紧密相连——除法的计算可以通过转化为乘法来完成。这种‘互逆关系’不仅是分数运算的核心，更是整个数学运算体系的重要基础。”04课后延伸与作业设计：在生活中深化“关系理解”1实践作业（基础层）记录生活中用到分数乘除法的场景（如分食物、算时间、量布料），分别用乘法和除法各举一个例子，并用算式表示它们的关系。2思维作业（提升层）思考：为什么“0不能作除数”？结合分数乘法与除法的关系解释原因（提示：如果$a÷0=b$，则$0×b=a$，但0乘任何数都是0，无法得到非0的a；若a=0，则b可以是任意数，结果不唯一）。3挑战作业（拓展层）阅读数学史资料，了解“倒数”概念的起源（如古埃及人用单位分数的和表示分数，中国古代《九章算术》中的“经分术”），写一篇200字的数学小短文。05总结：关系是运算的灵魂总结：关系是运算的灵魂分数除法与乘法的关系，是打开分数运算之