【《反步法控制律的推导综述》1400字】

反步法控制律的推导综述反步法虽然具有较好的控制效果，但前提是系统必须具有严格反馈形式，或者系统能化为严格反馈形式。对一个典型的严格反馈系统，其模型可用式(3-1)表示：(3-1)其中x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn是该严格反馈系统的状态变量，而控制量输入u∈R。对任意的系统阶次i，非线性函数fi和gi中只包含该阶次或更低阶次的状态量x1,x2,…,xi，这就是严格反馈系统。下面针对对上述模型，阐述反步法的思想。考虑模型中第i个子系统，i=1,2,3,…,n-1：(3-2)将式(3-2)中的右端xi+1视为子系统i的虚拟控制输入，我们希望xi+1会是这样一个虚拟控制律：(3-3)当xi+1逐渐接近这个理想的虚拟反馈控制律βi时，xi+1作为一个输入量能够使得子系统(3-2)渐进稳定，但是实际上我们无法直接地控制状态xi+1，而且通常式(3-3)不能自行成立，需要对xi+1进行再设计。引入虚拟控制律（即我们期望的状态变量βi）和实际状态变量之间的误差，即误差变量：(3-4)式(3-4)不包含i=0，即x1的情况，故取q1=x1d-x1，其中x1d为系统的第一个状态量的期望值，误差变量集合如式(3-5)：(3-5)式(3-5)考虑了系统的前n-1个子系统，接下来对第n个子系统的实际控制量设计，使得在系统输入的控制作用下，式(3-5)中的最高阶误差收敛至0，由于虚拟控制律是依次设计的，各阶子系统也就渐近稳定。控制量u的求解过程实际上被分为了n步，前n-1步依次求解各阶子系统理想的虚拟控制量β1,β2,…,βn-1；最后一步求取实际控制输入u。下面给出反步法控制律的具体推导过程。第一步，q1=x1d-x1，定义Lyapunov函数为：(3-6)对V1求导：(3-7)当负定时，误差变量能渐进收敛到零，因此期望具有如下形式：(3-8)为了描述的实际值(3-7)与期望值(3-8)之间的差距，表示出理想的虚拟控制量β1的表达式：(3-9)(3-10)此时，实际的可以整理为：(3-11)观察式(3-11)可知，若该式的最后一项等于零，那么可以负定，即第一个子系统在虚拟控制律β1的作用下渐进稳定。计算此时的表达式为：(3-12)定义Lyapunov函数为：(3-13)对V2求导：(3-14)为保证两个误差变量均渐进收敛到零，期望V2的导数有如下形式：(3-15)为了描述的实际值(3-14)与期望值(3-15)之间的差距，表示出理想的虚拟控制量β2的表达式：(3-16)(3-17)此时，实际的可以整理为：(3-18)观察式(3-18)可知，若该式的最后一项等于零，则可以负定，即第二个状态在虚拟控制律β2的作用下渐进稳定。此时，(3-11)中的g1q1q2项被消除，取而代之的是g2q2q3项。若能够按照同样的思路去设计下一个子系统，则该项可以在第三步的推导中消除。计算此时的表达式为：(3-19)以此类推……第i步，定义Lyapunov函数为：(3-20)对Vi求导：(3-21)为保证i个误差变量均渐进收敛到零，期望Vi的导数具有如下形式：(3-22)为了描述的实际值(3-21)与期望值(3-22)之间的差距，我们表示出理想的虚拟控制量βi的表达式：(3-23)此时，式(3-21)可以整理为：(3-24)观察式(3-24)可知，若该式的最后一项等于零，则可以负定，即第i个子系统在虚拟控制律βi的作用下渐进稳定。继续按此流程设计就可以保证giqiqi+1项将在第i+1步的推导中消除。计算此时的表达式为：(3-25)以此类推……第n步，定义Lyapunov函数为：(3-26)对Vn求导：(3-27)式(3-27)中出现了所要设计的系统控制输入u，通过u的作用使整个误差系统的n个误差变量均渐进收敛到零，因为u不再是虚拟控制，而是实际输入量，故令系统的输入u为：(3-28)将系统的(3-28)代入到式(3-27)中，得到的表达式为：(3-29)此外，还可以推出的表达式为：(3-30)整理上面的n步推导过程，得到虚拟控制量与系统输入的表达式：(3-31)误差系统模型：(3-32)由Lyapunov稳定性理论，只要参数k1，k2，…，