湖南省古丈县一中2026届高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

湖南省古丈县一中2026届高二数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数（其中）的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.2．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）A. B.C. D.3．已知等比数列的前3项和为3，，则（）A. B.4C. D.14．已知曲线与直线总有公共点，则m的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）.A.1 B.C. D.6．函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.7．已知空间向量，，若，则实数的值是（）A. B.0C.1 D.28．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()A. B.2C.－1 D.－49．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（）A.++ B.+C.++ D.+10．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（）A.的极值点一定是最值点B.的最值点一定是极值点C.在区间上可能没有极值点D.在区间上可能没有最值点11．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（）A. B.C. D.12．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额（单位：千亿元）和出口总额（单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年若每年的进出口总额，满足线性相关关系，则______；若计划2022年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为______亿元14．已知直线与圆相切，则__________.15．写出一个数列的通项公式____________，使它同时满足下列条件：①，②，其中是数列的前项和.（写出满足条件的一个答案即可）16．抛物线的准线方程是，则实数___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.18．（12分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题（1）甲至少抽到1道填空题（2）甲答对的题数比乙多的概率.19．（12分）已知函数（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围20．（12分）已知直线l过定点（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程21．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5（1）求C方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程22．（10分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题图有且，结合五点法求参数，即可得的解析式.【详解】由图知：且，则，所以，则，即，又，可得，，则，，又，即有.综上，.故选：B2、A【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.【详解】如图示：连接OF,因为P为EF中点，，F为BC的中点，则，故选：A3、D【解析】设等比数列公比为，由已知结合等比数列的通项公式可求得，，代入即可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，由，得即，又，即又，，解得又等比数列的前3项和为3，故，即，解得故选：D4、D【解析】对曲线化简可知曲线表示以点为圆心，2为半径的圆的下半部分，对直线方程化简可得直线过定点，画出图形，由图可知，，然后求出直线的斜率即可【详解】由，得，因为，所以曲线表示以点为圆心，2为半径的圆的下半部分，由，得，所以，得，所以直线过定点，如图所示设曲线与轴的两个交点分别为，直线过定点，为曲线上一动点，根据图可知，若曲线与直线总有公共点，则，得，设直线为，则，解得，或，所以，所以，所以，故选：D5、D【解析】利用向量的数量积为0可求的值.【详解】因与互相垂直，故，故即，故.故选：D.6、B【解析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题7、C【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此有.故选：C8、C【解析】详解】，令，解得或；令，解得函数在上递增，在递减，在递增，时，取极大值，极大值是时，函数取极小值，极小值是，而时，时，，故函数的最小值为，故选C.9、B【解析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出【详解】如图所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故选：B10、C【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确故选：C.【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题11、C【解析】求出圆心到直线的距离，再利用，化简求值，即可得到答案.【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离公式为，故故选：C.12、C【解析】设出点C坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答.【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为，依题意，，整理得：，对于A，当时，，不满足题意，排除A；对于D，当时，，不满足题意，排除D；对于B，当时，，对于C，当时，，直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即，由解得：，于是得的外心，若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为，显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B；若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即，由解得，即点为的外心，并且在直线上，边AB上的高所在直线：，即，边BC上的高所在直线：，即，由解得：，则的垂心，此时有，即的垂心在直线上，选项C满足题意.故选：C【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.1.6②.3.65千##3650【解析】根据给定数表求出样本中心点，代入即可求得，取可求出该年进口总额.【详解】由数表得：，，因此，回归直线过点，由，解得，此时，，当时，即，解得，所以，预计该年进口总额为千亿元.故答案为：1.6；3.65千14、【解析】由直线与圆相切，结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】由直线与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径r，即.故答案为：15、(答案合理即可)【解析】当时满足，利用作差比较法即可证明.【详解】解：当时满足条件①②，证明如下：因为，所以；当时，；当时，；综上，.故答案为：(答案合理即可).16、##【解析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.【详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而所以，即，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程18、（1）；（2）.【解析】（1）把3道选择题（2）设，分别表示甲答对1道题，2道题的事件，，分别表示乙答对0道题，1道题的事件，分别求出它们的概率，甲答对的题数比乙多这个事件是，然后由相互独立的事件和互斥事件的概率公式计算【详解】解：（1）记3道选择题则试验的样本空间，.共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.记事件A=“甲至少抽到1道填空题，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空题（2）设，分别表示甲答对1道题，2道题的事件，分别表示乙答对0道题，1道题的事件，根据独立性假定，得，.，.记事件B=“甲答对的题数比乙多”，则，且，，两两互斥，与，与，与分别相互独立，所以..因此，甲答对的题数比乙多的概率为.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）用找零点法去绝对值，然后再解不等式.（Ⅱ）将原函数转化为分段函数，再结合函数图像求得其最小值．将恒成立转化为试题解析：（Ⅰ）或或或所以原不等式解集为（Ⅱ），由函数图像可知，所以要使恒成立，只需考点：1绝对值不等式；2恒成立问题；3转化思想20、（1）（2）或【解析】(1)求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.(2)按直线l是否过原点分类讨论计算作答.【小问1详解】直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，所以直线l的方程是：.【小问2详解】因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，所以直线l的方程为：或.21、（1）；（2）.【解析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，∴C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，∴联立抛物线方程，得：，，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，∴，即，得，∴直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.22、（1）（2）存在，点为线段的靠近点的三等分点【解析】（1）根据题意证得平面，进而证得平面，得到平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）设点，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式列出方程，求得的值，即可得到答案.【小问1详解】解：因为四