2025年高三数学期末圆梦之旅卷二

2025年高三数学期末圆梦之旅卷二2025年高三数学期末圆梦之旅卷二

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（共5小题，每小题5分，计25分）

2.填空题（共4小题，每小题5分，计20分）

3.解答题（共3小题，第16题10分，第17题12分，第18题15分，计37分）

4.解答题（共2小题，第19题12分，第20题13分，计25分）

5.解答题（共1小题，第21题23分，计23分）

6.解答题（共1小题，第22题15分，计15分）

7.解答题（共1小题，第23题13分，计13分）

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1.选择题（共5小题，每小题5分，计25分）

1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x²-4x+3<0}，则A∩B=（）

A.[1,3]B.(1,3)C.[1,2)∪(2,3]D.(1,2)∪(2,3)

2.函数f(x)=2cos(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.πB.2πC.π/2D.4π

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=2，则边c的长度为（）

A.√2B.2√2C.√3D.2√3

4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5，a₅=9，则S₈=（）

A.64B.72C.80D.88

5.若复数z=1+i的模为|z|，则|z|²=（）

A.1B.2C.1+iD.1-i

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2.填空题（共4小题，每小题5分，计20分）

6.抛掷两枚均匀的骰子，点数之和为7的概率是________。

7.不等式|x-1|>2的解集是________。

8.已知直线l₁:y=2x+1与直线l₂:ax-y+3=0垂直，则a=________。

9.圆(x-1)²+(y+2)²=4的圆心坐标是________。

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3.解答题（共3小题，第16题10分，第17题12分，第18题15分，计37分）

16.已知函数f(x)=x³-3x²+2。

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)在x=t处取得极值，求t的值。

17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²-c²=ab。

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的面积为√3，且c=2，求b的值。

18.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取3名学生参加活动，

（1）求抽到的3名学生中恰有2名男生的事件的概率；

（2）求抽到的3名学生中至少有1名女生的概率。

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4.解答题（共2小题，第19题12分，第20题13分，计25分）

19.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1（n∈N*）。

（1）求{aₙ}的通项公式；

（2）若数列{bₙ}满足bₙ=|aₙ-2|，求bₙ的前n项和Sₙ。

20.已知直线l过点A(1,2)，且与圆C:(x-3)²+(y-4)²=5相切。

（1）求直线l的方程；

（2）若点B在圆C上，求|AB|的最小值。

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5.解答题（共1小题，第21题23分，计23分）

21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：

x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）。

（1）求曲线C的普通方程；

（2）过点P(1,0)的直线l与曲线C交于M、N两点，若|PM|=|PN|，求直线l的方程。

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6.解答题（共1小题，第22题15分，计15分）

22.已知函数f(x)=e^x-ax（a为实数）。

（1）求f(x)的导数f'(x)；

（2）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的值，并判断f(x)的单调性。

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7.解答题（共1小题，第23题13分，计13分）

23.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=3，b=4，sinC=2sinAcosB。

（1）求c的值；

（2）若△ABC的面积最大，求角B的大小。

8.选择题（共3小题，每小题5分，计15分）

10.若函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，且f(1)=3，f(2)=1，则f(1.5)的值满足（）

A.f(1.5)>3B.f(1.5)=2C.f(1.5)<1D.1<f(1.5)<2

11.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，则向量a·b=（）

A.-5B.5C.-11D.11

12.若直线x=2与圆(x-1)²+y²=4的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.重合

13.已知等比数列{bₙ}的前n项和为Tₙ，若b₁=1，q=2，则T₄=（）

A.15B.31C.63D.127

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9.填空题（共3小题，每小题5分，计15分）

14.已知tanα=√3，则sin(α+π/6)的值为________。

15.不等式组{x|1<x<3}∪{x|2<x<4}的解集是________。

16.若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相交于两点，则k的取值范围是________。

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10.解答题（共2小题，第24题12分，第25题14分，计26分）

24.已知函数f(x)=ln(x+1)-x。

（1）求f(x)的定义域；

（2）求f(x)的导数f'(x)，并判断f(x)的单调性。

25.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²=b²+c²-bc。

（1）求cosA的值；

（2）若△ABC的周长为18，求△ABC的面积。

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11.解答题（共1小题，第26题15分，计15分）

26.已知数列{cₙ}满足c₁=1，cₙ₊₁=cₙ+2n（n∈N*）。

（1）求{cₙ}的通项公式；

（2）若数列{dₙ}满足dₙ=1/cₙ，求dₙ的前n项和Sₙ。

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12.解答题（共1小题，第27题13分，计13分）

27.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：

x=t²-1，y=2t（t为参数）。

（1）求曲线C的普通方程；

（2）过点P(0,1)的直线l与曲线C交于M、N两点，若|PM|=|PN|，求直线l的方程。

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13.解答题（共1小题，第28题14分，计14分）

28.已知函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是1。

（1）求a的值；

（2）判断f(x)在区间[1,3]上的单调性。

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14.解答题（共1小题，第29题15分，计15分）

29.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²-c²=ab。

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的面积为√3，且c=2，求b的值。

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15.解答题（共1小题，第30题13分，计13分）

30.已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=1+1/aₙ（n∈N*）。

（1）求a₂，a₃，a₄的值；

（2）猜想数列{aₙ}的通项公式，并证明你的猜想。

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1.选择题

1.C

2.A

3.B

4.B

5.B

10.D

11.D

12.B

13.C

2.填空题

6.5/36

7.(-∞,-1)∪(3,+∞)

8.-2

9.(1,-2)

14.√3/2

15.(1,4)

16.k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)

3.解答题

16.（1）减区间(-∞,0)∪(2,+∞)，增区间(0,2)；

（2）t=0或t=2。

17.（1）C=90°；

（2）b=2√3。

18.（1）15/49；

（2）5/8。

19.（1）aₙ=2ⁿ-1；

（2）Sₙ=2ⁿ⁺¹-2n-2。

20.（1）2x-y=0或x=1；

（2）√5-1。

21.（1）x²/4+y²/9=1；

（2）x=1或3x-4y-3=0。

22.（1）f'(x)=e^x-a；

（2）a=1，减区间(-∞,0)，增区间(0,+∞)。

23.（1）c=√7；

（2）B=45°。

24.（1）(-1,+∞)；

（2）f'(x)=1/(x+1)-1，减区间(-1,0)。

25.（1）cosA=1/2；

（2）面积=6√3。

26.（1）cₙ=2n(n-1)+1；

（2）Sₙ=1/2n(n+1)(2n+1)。

27.（1）y²=2x+2；

（2）x=1或4x-3y+3=0。

28.（1）a=2；

（2）减区间[1,2]，增区间[2,3]。

29.同17题。

30.（1）a₂=3/2，a₃=5/3，a₄=8/5；

（2）aₙ=(n²+n)/(n+1)²，证明略。

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知识点分类总结

一、集合与常用逻辑用语

1.集合的交、并、补运算；

2.绝对值不等式的解法；

3.垂直关系与直线方程；

4.命题的真假判断。

二、函数与导数

1.函数的单调性与周期性；

2.复数的模与运算；

3.导数的定义与几何意义；

4.利用导数求极值与最值。

三、三角函数与解三角形

1.三角恒等变换；

2.正弦定理、余弦定理；

3.解三角形的应用；

4.向量的数量积。

四、数列与不等式

1.等差数列、等比数列的通项与求和；

2.数列的递推关系；

3.不等式的性质与解法；

4.数列与不等式的综合应用。

五、解析几何

1.直线与圆的位置关系；

2.圆的参数方程与普通方程；

3.圆锥曲线的标准方程；

4.直线与圆锥曲线的综合应用。

六、概率与统计

1.古典概型的概率计算；

2.条件概率与独立事件；

3.数列求和的方法。

题型知识点详解及示例

一、选择题

1.集合运算：如1题，需熟练掌握集合的交、并、补运算规则。

示例：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A或x∈B}。

2.函数性质：如2题，需掌握三角函数的周期公式T=2π/|ω|。

示例：f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=π。

3.解三角形：如3题，需运用正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。

示例：a²+b²-c²=ab⇔cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2⇔C=90°。

4.数列求和：如13题，等比数列求和公式Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)。

示例：b₁=1，q=2，T₄=1×(1-2⁴)/(1-2)=31。

二、填空题

1.概率计算：如6题，需运用排列组合公式C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。

示例：P(恰2男)=C(3,2)×C(20,1)/C(50,3)=15/196。

2.解绝对值不等式：如7题，需分x-1>0和x-1<0两种情况讨论。

示例：|x-1|>2⇔x-1>2或x-1<-2⇔x>3或x<-1。

3.直线与圆的位置关系：如16题，需计算圆心到直线的距离d≤r。

示例：d=|3k-4|/√(k²+1)，需满足d≤1⇔k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。

4.参数方程：如27题，需消参得到普通方程y=f(x)。

示例：x=t²-1，y=2t⇔y²=4(x+1)⇔y²=2x+2。

三、解答题

1.导数应用：如16题，需求f'(x)，令f'(x)=0得驻点，再判断单调性。

示例：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，f'(x)>0⇔x>2或x<0。

2.解三角形综合：如17题，需结合余弦定理与面积公式A=1/2absinC。

示例：由cosC=1/2得