2025年高三数学期末应用全真卷

2025年高三数学期末应用全真卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班

2025年高三数学期末应用全真卷

一、选择题

1.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.已知集合A={x|x^2-5x+6≥0}，B={x|2≤x≤4}，则集合A∩B等于

A.{x|x≥4}

B.{x|x≤2}

C.{x|2≤x≤4}

D.{x|x≤2或x≥4}

3.函数g(x)=log_a(x+1)在x→-1时极限存在，则实数a的取值范围是

A.(-∞,0)∪(0,+∞)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(1,+∞)

4.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则该数列的前10项和为

A.120

B.140

C.160

D.180

5.直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，则k的取值个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

6.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a×b的模长为

A.10

B.8

C.6

D.5

7.已知某校高三（1）班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机抽取3名学生，则抽到至少1名女生的概率是

A.0.3

B.0.4

C.0.5

D.0.6

8.已知f(x)=e^x-x，则f(x)在x=0处的切线方程是

A.y=x

B.y=-x

C.y=x+1

D.y=-x+1

9.已知三棱锥A-BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，高为h，则下列说法正确的是

A.V=1/3×S×h

B.V=1/2×S×h

C.V=1/4×S×h

D.V=2×S×h

10.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1和x=-1处取得极值，则a+b的值是

A.-1

B.0

C.1

D.2

二、填空题

11.已知cos(α+β)=1/2，cos(α-β)=1/2，则cos(2α)的值是

12.已知函数f(x)=x^2+px+q在x=1处取得极小值，且f(0)=3，则p+q的值是

13.已知椭圆x^2/9+y^2/4=1的焦点为F_1和F_2，P为椭圆上一点，若∠F_1PF_2=90°，则点P的坐标是

14.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5的值是

15.已知函数f(x)=sin(x)cos(x)在x=π/4处的导数是

三、多选题

16.下列函数中，在x→0时极限存在的是

A.sin(1/x)

B.e^x

C.1/x

D.log(1+x)

17.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则下列说法正确的是

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=-1处取得极小值

C.f(x)的图像关于点(1,0)中心对称

D.f(x)的图像与x轴有三个交点

18.已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0，则下列说法正确的是

A.圆C的圆心坐标是(1,-2)

B.圆C的半径是2

C.圆C与x轴相切

D.圆C与y轴相切

19.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则下列说法正确的是

A.f(x)在x=0处取得最小值

B.f(x)是偶函数

C.f(x)的图像是一条折线

D.f(x)在x=-1和x=1处取得拐点

20.已知某校高三（1）班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机抽取3名学生，则下列说法正确的是

A.抽到3名男生的概率是3/50

B.抽到至少1名女生的概率是47/50

C.抽到2名男生和1名女生的概率是180/1250

D.抽到1名男生和2名女生的概率是300/1250

四、判断题

21.函数f(x)=sin(x)cos(x)是一个偶函数

22.等差数列{a_n}中，若a_1>0，d<0，则该数列必有最大项

23.圆(x-1)^2+(y-2)^2=4与直线y=x相切

24.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)必等于0

25.椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率e是√5/3

26.数列{a_n}满足a_n+1=a_n+d（d为常数），则{a_n}是等差数列

27.函数f(x)=e^x在定义域内处处单调递增

28.向量a=(1,2)与向量b=(2,4)共线

29.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，则P(A∪B)=0.3

30.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像与x轴有三个交点

五、问答题

31.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且f(0)=3，求a和b的值

32.已知椭圆x^2/9+y^2/4=1，求该椭圆上到右准线距离最近的点的坐标

33.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求该数列的通项公式a_n

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的周期是min{2π,π/2}=π/2，故最小正周期为π/2。

2.C

解析：集合A={x|x≤2或x≥3}，B={x|2≤x≤4}，则A∩B={x|2≤x≤4}。

3.C

解析：函数g(x)=log_a(x+1)在x→-1时极限存在，则x+1→0^+，需要a>1。

4.C

解析：等差数列{a_n}中，a_5=a_1+4d=10，则2+4d=10，解得d=2，前10项和S_10=10×2+45×2=160。

5.C

解析：圆心(1,2)，半径√5，直线y=kx+b与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，|k-2+b|/√(k^2+1)=√5，解得k=2±√6。

6.B

解析：向量a×b的模长|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角，|a×b|=|1×(-4)-2×3|=8。

7.D

解析：抽到至少1名女生的概率=1-抽到0名女生的概率=1-C(30,3)/C(50,3)=1-27000/19600=0.6。

8.A

解析：f'(x)=e^x-1，f'(0)=0，f(0)=1，故切线方程为y=x+1，即y=x。

9.A

解析：三棱锥体积公式V=1/3×底面积×高，故V=1/3×S×h。

10.A

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由题意f'(1)=0且f'(-1)=0，则3-2a+b=0且3+2a+b=0，解得a=0，b=-3，故a+b=-3。

二、填空题

11.1/2

解析：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ=1，故cosαcosβ=1/2，cos(2α)=2cos^2α-1=2×(1/2)^2-1=1/2。

12.4

解析：f'(x)=2x+p，由题意f'(1)=0，则p=-2，又f(0)=q=3，故p+q=-2+3=4。

13.(3√2/5,4√2/5)或(-3√2/5,-4√2/5)

解析：设P(x,y)，由椭圆方程x^2/9+y^2/4=1，得x^2=9(1-y^2/4)，代入x^2+y^2=2c^2=5，解得y=±4√2/5，x=±3√2/5。

14.31

解析：数列是等比数列，公比q=2+1=3，a_5=a_1×q^4=1×3^4=81。

15.1

解析：f(x)=sin(x)cos(x)=1/2sin(2x)，f'(x)=cos(2x)，f'(π/4)=cos(π/2)=1。

三、多选题

16.BD

解析：sin(1/x)在x→0时无极限，1/x在x→0时无极限，e^x在x→0时极限为1，log(1+x)在x→0时极限为0。

17.AD

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(1)=0，f''(1)=-6<0，故x=1处取极大值；f(-1)=5，f'(1)=0，故x=-1处取极小值；f(x)图像不关于(1,0)中心对称；f(x)=0即x^3-3x^2+2x=0，解得x=0,1,2，故有三个交点。

18.AD

解析：圆方程可化为(x-1)^2+(y+2)^2=4，圆心(1,-2)，半径2；圆心到x轴距离|-2|=2，故与x轴相切；圆心到y轴距离为1<2，故不与y轴相切。

19.ABC

解析：f(x)分段函数f(x)={x+2,x<-1,2,-1≤x≤1,x-2,x>1}，在x=0处取得最小值2；f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=f(x)，故为偶函数；图像是三条线段组成的折线；x=±1处是切线斜率变化处，非拐点。

20.BC

解析：抽到3名男生的概率=C(30,3)/C(50,3)=120/19600=3/490；抽到至少1名女生的概率=1-30/50=2/5=19600/19600-120/19600=18480/19600=47/50；抽到2名男生和1名女生的概率=C(30,2)×C(20,1)/C(50,3)=4350/19600=180/1250；抽到1名男生和2名女生的概率=C(30,1)×C(20,2)/C(50,3)=900/19600=300/1250。

四、判断题

21.×

解析：f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin(x)cos(x)=-f(x)，故为奇函数。

22.√

解析：等差数列单调性由d决定，a_1>0，d<0，故数列单调递减，有最大项a_1。

23.×

解析：圆心(1,2)，半径2，圆心到直线y=x的距离|1-2|/√2=√2<2，故相离。

24.√

解析：f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0（可导必要条件），若不可导，则需验证左右导数是否异号。

25.×

解析：e=(√5)/3≈1.29，而c=√(9-4)=√5，e=c/a=√5/3，故e=1。

26.√

解析：数列满足递推关系a_n+1-a_n=d，故是等差数列，首项a_1=1，公差d=1。

27.√

解析：f'(x)=e^x>0，故f(x)在R上单调递增。

28.√

解析：向量b=2向量a，故共线。

29.×

解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，题目未给P(A∩B)，无法计算。

30.√

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(x)=0即3x^2-6x+2=0，解得x=1±√3/3，f(1±√3/3)与f(0),f(2)均不为0，故有三个零点。

五、问答题

31.解：f'(x)=3x^2-2ax+b，由题意f'(1)=0，得3-2a+b=0①；f(0)=3，得b=3②；联立①②，得a=3，b=3。

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