2025年高三数学综合素养期末试卷

2025年高三数学综合素养期末试卷2025年高三数学综合素养期末试卷

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（每小题3分，共18分）

2.填空题（每小题4分，共16分）

3.解答题（第小题6分，共24分）

4.解答题（第小题8分，共32分）

5.解答题（第小题10分，共50分）

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1.选择题（6小题，每小题3分，共18分）

（1）函数f(x)=ln(x+1)-x的单调递减区间是（）

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(-1,1)

D.(-1,+∞)

（2）若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z的代数形式为（）

A.1/2+√3/2i

B.√3/2+1/2i

C.1/2-√3/2i

D.-√3/2-1/2i

（3）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3+a_7=12，则S_6的值为（）

A.36

B.48

C.60

D.72

（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则cosC的值为（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

（5）执行下列算法语句，输出的S值为（）

S=0

i=1

WHILEi<=10

S=S+i^2

i=i+2

ENDWHILE

A.385

B.386

C.387

D.388

（6）将一个半径为R的球放入一个正方体中，球的最高点到正方体顶点的距离为√3R，则正方体的棱长为（）

A.R√2

B.R√3

C.2R

D.R

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2.填空题（4小题，每小题4分，共16分）

（7）函数f(x)=√(x-1)/x在定义域内的最小值为______。

（8）执行下列程序段后，变量S的值为______。

S=1

FORi=1TO5

S=S*(i+1)

ENDFOR

（9）某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名，随机抽取3名学生，至少有一名男生的概率为______。

（10）在直角坐标系中，直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相交于A、B两点，若|AB|=2√3，则k的值为______。

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3.解答题（2小题，每小题6分，共12分）

（11）求函数f(x)=sin(2x)-cos(2x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。

（12）在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b的长度。

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4.解答题（2小题，每小题8分，共16分）

（13）已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2n（n≥1），求通项公式a_n。

（14）设函数f(x)=x^3-3x^2+2，

（1）求f(x)的极值点；

（2）若关于x的不等式f(x)+kx≥0在区间[-1,1]上恒成立，求k的取值范围。

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5.解答题（1小题，10分）

（15）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca。

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的面积为√3/4，且a=2，求b+c的值。

8.选择题（3小题，每小题4分，共12分）

（7）已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2+1在x=1处取得最小值，则a的值为（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

（8）在等比数列{a_n}中，若a_2=2，a_4=8，则a_6的值为（）

A.16

B.24

C.32

D.64

（9）设函数f(x)=e^x-1，若f(x_0)=2，则x_0的近似值为（）

A.1.6

B.1.7

C.1.8

D.1.9

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9.填空题（3小题，每小题4分，共12分）

（10）在直角坐标系中，点P(x,y)在圆x^2+y^2=4上运动，则点P到直线x+y=0的距离的最大值为______。

（11）某校高三年级有1000名学生，其中男生600名，女生400名，现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为100的样本，则抽取的样本中男生的人数为______。

（12）在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边a=√3，则cosC的值为______。

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10.解答题（1小题，8分）

（13）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，

（1）求f(x)的导函数f'(x)；

（2）求f(x)在区间[-1,3]上的单调区间。

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11.解答题（1小题，8分）

（14）在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，求前n项和S_n的最小值。

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12.解答题（1小题，10分）

（15）已知函数f(x)=ln(x)+x^2-4x+3，

（1）求f(x)的导函数f'(x)；

（2）求f(x)在区间[1,4]上的最大值和最小值。

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13.解答题（1小题，10分）

（16）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)。

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的周长为12，且a=4，求b+c的值。

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14.解答题（1小题，12分）

（17）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+n（n≥1），

（1）求a_2，a_3，a_4的值；

（2）猜测数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明。

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15.解答题（1小题，12分）

（18）在直角坐标系中，直线L过点A(1,2)，且与圆C:x^2+y^2=5相交于P、Q两点，若|PQ|=2√2，

（1）求直线L的方程；

（2）求圆C上到直线L距离最远的点的坐标。

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1.选择题答案

（1）C

（2）B

（3）B

（4）A

（5）A

（6）B

（7）A

（8）C

（9）B

（10）3

（11）3

（12）√2/2

（13）f'(x)=3x^2-6x+2

（14）[-1,1]上递减，[1,3]上递增

（15）S_n=-n^2+7n，最小值为12

（16）C=π/3，b+c=4√3

（17）a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_n=n^2+n-1

（18）L:2x-y=0，最远点(√5,0)

2.填空题答案

（7）0

（8）120

（9）5/6

（10）2

（11）60

（12）√2/2

（13）f'(x)=3x^2-6x

（14）递减区间(-∞,1)，递增区间(1,3)

（15）C=π/3，b+c=4√3

（16）a_2=3，a_3=7，a_4=15

（17）L:2x-y=0，最远点(√5,0)

3.解答题答案

（11）最大值√2，最小值-√2

（12）b=√6

（13）f'(x)=3x^2-6x+2，递减(-∞,1)，递增(1,3)

（14）S_n=-n^2+7n，最小值12

（15）C=π/3，b+c=4√3

（16）a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_n=n^2+n-1

（17）L:2x-y=0，最远点(√5,0)

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知识点总结

一、函数与导数

1.函数性质：单调性、奇偶性、周期性、最值

示例：f(x)=sin(2x)-cos(2x)在[0,π]上的最值

解：f(x)=√2sin(2x-π/4)，最大值√2，最小值-√2

2.导数应用：求切线、单调区间、极值

示例：f(x)=x^3-3x^2+2的极值点

解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(0)=2，f(2)=-2，极小值点x=2

二、数列

1.等差等比数列：通项公式、前n项和

示例：a_3+a_7=12求S_6

解：2a_1+8d=12，S_6=6a_1+15d=36

2.递推关系：通项求解

示例：a_n+1=3a_n-2n

解：设b_n=a_n-n，b_n+1=3b_n，b_n=(n+1)·2^(n-1)

三、三角函数

1.三角恒等变换：sin(a±b),cos(a±b),tan(a±b)

示例：cosC=1/2求角C

解：C=π/3

2.解三角形：正弦余弦定理

示例：A=60°，B=45°，a=√3求b

解：b=a·sinB/sinA=√6

四、解析几何

1.圆与直线位置关系：相交弦长、距离公式

示例：|AB|=2√3求k

解：圆心到直线距离d=√(4-(√3)^2)=1，k=±√3

2.参数方程与极坐标

示例：球的最高点到正方体顶点距离√3R

解：棱长R√3

五、概率统计

1.基本概率模型：古典概型、几何概型

示例：至少1名男生的概率

解：1-P(全是女生)=1-(20/60)^3=0.8967

六、算法与程序

1.循环结构：WHILE/FOR语句

示例：S=∑i^2,i=1,2,...,10

解：S=1^2+3^2+5^2+7^2+9^2=385

题型知识点详解及示例

一、选择题（18分）

1.函数性质（3分）：

示例（1）f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)递减

解：f'(x)=1/(x+1)-1<0

2.复数运算（3分）：

示例（2）z=1/2+√3/2i

解：|z|=√((1/2)^2+(√3/2)^2)=1

3.数列性质（3分）：

示例（3）a_3+a_7=12→S_6=48

解：2a_1+8d=12，S_6=6a_1+15d

二、填空题（16分）

1.函数最值（4分）：

示例（7）√(x-1)/x最小值0

解：x=1时取最小值

2.程序计算（4分）：

示例（8）S=1×2×3×4×5=120

3.概率计算（4分）：

示例（9）P(至少1男生)=5/6

4.直线与圆（4分）：

示例（10）距离最大值2√2

解：圆心到直线距离1

三、解答题（50分）

1.三角函数（6分）：

示例（11）f(x)=√2sin(2x-π/4)

解：利用二倍角公式求最值

2.解三角形（6分）：

示例（12）b=√6

解：利用正弦定理a/sinA=b/sinB

3.导数综合（8分）：

示例（13）f(x)=x^3-3x^2