北京市延庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

第第页北京市延庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷一、选择题(共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列事件中，随机事件是（）A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合C．画一个三角形，它的内角和是180°D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形3．分式aa−3A．a≠3 B．a≠0 C．a<3 D．a≥34．若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（）A．3 B．6 C．9 D．125．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．0.3 B．12 C．18 D．6．下列计算正确的是（）A．2+3=5 B．32−7．如图，在△ABC中，AB边上的高线是（）A．线段AD B．线段AF C．线段BG D．线段CE8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(共16分，每小题2分)9．16的算术平方根是10．若二次根式x−9在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．如图，在△ABC中，∠A=80°，点D在边BC的延长线上，∠ACD=140°，则∠B的度数为．12．已知x−5+y+3=0，则13．一个不透明的口袋中装有2个红球和1个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸出一个球，摸到红球的可能性大小是．14．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB≌△COD的依据是15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，AC=4，BD=1，则△ACD的面积是16．如图，△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，点D关于直线AC的对称点为E．连接BE，交AC于点F，交AD于点G，连接AE，DE．有下面四个结论：①点A在线段DE的垂直平分线上；②△ADE是等边三角形；③△ABG≌△AEF；④点P是线段AE上的一个动点，PF+PC的最小值等于BF．其中所有正确结论的序号是．三、解答题(共68分，17-18题，每小题8分；19-26题，每小题5分；27题7分；28题5分)17．计算：（1）12−（2）5−18．解分式方程：（1）xx+1（2）119．如图，AB=CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，（1）求证：△ABE≌（2）求证：AB∥20．在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示：等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．甲同学的方法：证明：作∠BAC的平分线交BC于点D．乙同学的方法：证明：作AE⊥BC于点E．丙同学的方法：证明：取BC的中点F，连接AF．请选择一种方法补全证明过程．21．先化简，再求值：2aa+2−1÷22．计算：学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：2x甲同学：2=2=2=2−1=1乙同学：2=2=2=2−x+1=1−x④老师发现这两位同学的解答过程都有错误.请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.（1）我选择________同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）（2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________；（3）请写出正确解答过程.23．如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E．（1）依题意补全图形；（2）判断△ADE的形状，并证明．24．如图，OC是∠AOB的角平分线，点D在射线OA上，点E在射线OB上，点F在射线OC上，连接DF，EF．请你添加一个条件，使△OFD≌小明同学写出以下条件：①OD=OE，②∠ODF=∠OEF，③∠OFD=∠OFE，④FD=FE，⑤∠ADF=∠BEF，⑥∠DFC=∠EFC．他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△OFD≌（1）小明的说法_______(填“正确”或“错误”)；（2）从小明写出的条件中选择一个______(填写序号)，使得△OFD≌25．某中学组织学生到离家20km26．尺规作图：已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．求作：直线PQ，使直线PQ∥MN．小智的作图思路如下：①如何得到两条直线平行？小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．②如何得到两个角相等？小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．③画出示意图：④根据示意图，确定作图顺序．（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵AB平分∠PAN，∴∠PAB＝∠NAB．∵PA＝PQ，∴∠PAB＝∠PQA（①）．∴∠NAB＝∠PQA．∴PQ∥MN（②）．（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的高，点E是AB的中点，连接CE交AD于点F，过点E作GE⊥CE于点E，交DA的延长线于点G，交BC（1）依题意补全图形；（2）判断∠ECH和∠EGF的数量关系，并证明；（3）求证：EC=EG．28．我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，AB=4（1）下列三角形中，Rt△ABC（2）若Rt△ABC（3）若△DEF是Rt△ABC的“关联三角形”，且△DEF的面积是S，直接写出S

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故符合题意；

B、不是轴对称图形，故不符合题意；

C、不是轴对称图形，故不符合题意；

D、不是轴对称图形，故不符合题意；故选：A．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可．2．【答案】B【解析】【解答】解：A、在数轴上取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意；B、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意；C、画一个三角形，它的内角和是180°，是必然事件，不符合题意；D、62故选：B．

【分析】

必然事件、不可能事件和随机事件的概念：必然事件是指在一定条件下，一定会发生的事件。不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件。随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。然后对各选项进行分析，看其属于哪种事件类型即可：3．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，a−3≠0，解得：a≠3，故选：A．

【分析】

根据分式有意义的条件是分母不为0，然后找出给定分式的分母，令分母不等于0，通过求解得到的不等式，从而确定实数a的取值范围。4．【答案】B【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边的长度6−3<x<6+3，即3<x<9．观察四个选项，B选项符合题意，故选：B．

【分析】设三角形的第三边长为x。根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两边长分别为3和6，则可得6−3<x<6+3，即3<x<9。再将各选项与取值范围进行对比，即可得出答案。5．【答案】D【解析】【解答】解：A、被开方数是分数，含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B、被开方数是分数，含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、因为18=9×2，其中9是能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.10，10的因数为1、2、5、10，不存在能开得尽方的因数，且被开方数不含分母，是最简二次根式，故此选项符合题意；故选：D．

【分析】根据最简二次根式满足的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。对每个选项逐一进行分析，判断其被开方数是否含有分母以及是否含有能开得尽方的因数或因式，从而确定哪个选项是最简二次根式。6．【答案】C【解析】【解答】A、2与3不是同类二次根式，不可合并，此项不符合题意；B、32C、2×D、10÷故答案为：C．【分析】利用二次根式的加减法则，乘法法则和除法法则，对每个选项一一判断求解即可。7．【答案】D【解析】【解答】解：A．线段AD是从A点向BC边所在直线作的垂线，是BC边上的高，故不符合题意；B．线段AF不是从三角形顶点向对边所在直线作的垂线，不是三角形的高，故不符合题意；C．线段BG是从B点向AC边所在直线作的垂线，是AC边上的高，故不符合题意；D．线段CE是从C点向AB边所在直线作的垂线，符合题意；故选：D．

【分析】根据三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。然后依次分析每个选项中的线段是否是从对应顶点向AB边所在直线作的垂线，从而判断该线段是否为AB边上的高线。8．【答案】B【解析】【解答】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点P1,P∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC=60°，∵AP∴△ABP∴点P3∴符合条件的点P有2个；故选B．【分析】以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点P1,P2，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点P39．【答案】4【解析】【解答】∵4²=16，

∴16=4．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．10．【答案】x≥9【解析】【解答】解：由题意得x−9≥0，解得x≥9，故答案为：x≥9．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。11．【答案】60°【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠B=∠ACD−∠A=140°−80°=60°，故答案为：60°．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．得出∠B=∠ACD−∠A，再求出答案即可．12．【答案】2【解析】【解答】解：∵x−5+∴x−5=0，y+3∴x−5=0，y+3=0，∴x=5，y=−3，∴x+y=5−3=2，故答案为：2．【分析】根据两个非负数的和为0，得出这两个非负数分别为0（x−5=0，y+313．【答案】2【解析】【解答】解：根据题意可知一共有3种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，故：P摸到红球故答案为：23【分析】根据题意可知，一共有3种等可能的结果，其中摸到的是红球的结果有2种，根据此代入概率计算公式为P(A)=mn14．【答案】SAS【解析】【解答】解：根据题意可得，OC=OA，∠DOC=∠AOB，OB=OD，则△AOB≌故答案为：SAS

【分析】本题考查全等三角形的判定.根据AC，BD的中点为O，利用中点的定值可得：OC=OA，OB=OD，再根据对顶角相等可得：∠DOC=∠AOB，再利用全等三角形的判定方法可得出结论．15．【答案】2【解析】【解答】解：作DH⊥AC于H，∵CD是∠ACB的平分线，∠B=90°，DH⊥AC，∴DH=DB=1，∴△ACD的面积=1故答案为：2．【分析】作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DH=DB=1，然后根据三角形面积公式，将AC的长度和求出的高代入公式，计算出△ACD的面积。16．【答案】①②④【解析】【解答】解：①∵点D关于直线AC的对称点为E，∴AD=AE，点A在线段DE的垂直平分线上；故①正确；②设AC与DE交于点H，∵点D关于直线AC的对称点为E，∴AD=AE，∴点A在线段DE的垂直平分线上；∴AH⊥DE，又∵AH=AH，∴△ADH≌△AEH∴∠DAH=∠EAH，∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，∴∠DAH=∠BAD=30°，∴∠DAE=∠DAH+∠EAH=30°×2=60°，又∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形；故②正确；③由②得AD=AE，∵AB>AD，∴AB>AE，∴△ABG与△AEF不全等；故③不正确；④作如图P点，设P关于直线AC的对称点为P'∵AD与AE关于直线AC对称，∴PF=P'F∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，∴B与C关于直线AD对称，∴BP∴CP=BP∴PF+PC=P当点B，P'，F三点共线时，PF+PC即PF+PC=BF，故④正确；故答案为：①②④．

【分析】

根据对称的性质可知，对称轴垂直平分对应点的连线，所以AC垂直平分DE，那么点A在线段DE的垂直平分线上，故①正确；根据等边三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，∠CAD=∠BAC。因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°，则∠CAD=30°。又因为点D关于直线AC的对称点为E，所以AD=AE，∠EAC=∠CAD=30°，那么∠DAE=∠EAC+∠CAD=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知△ADE是等边三角形，故②正确；在△ABG和△AEF中，虽然∠BAG=∠EAF=30°，AB=AC（△ABC是等边三角形），但是仅根据这些条件无法证明△ABG≅△AEF，因为缺少其他对应边或对应角相等的条件，故③错误。因为AD是等边△ABC的中线，所以AD垂直平分BC。设点C关于直线AE的对称点为C'（由于AE是∠CAD的平分线，点C关于AE对称点C'在AD上），连接PC'，则PC=PC'。所以

PF+PC=PF+PC'，根据两点之间线段最短，当F、P、C'共线时，PF+PC'的值最小，即PF+PC的最小值为FC'。而当点P运动到点G时，FC'就是BF，所以PF+PC的最小值等于线段BF的长，故④正确。17．【答案】（1）解：12=2=33（2）解：5=5-2=7−2=7−10【解析】【分析】（1）先分别利用二次根式化简、立方根计算以及绝对值的性质对各项进行化简，再将同类二次根式进行合并即可求解；（2）先利用完全平方公式展开5−22（1）解：12=2=33（2）5−=7−2=7−1018．【答案】（1）解：方程两边同时乘以2x+12x+2x+12x+2x+2=5，2x+2x=5−2，4x=3，x=3检验：当x=3所以原分式方程的解为x=3（2）解：方程两边同时乘以x+2x−2x−2+4x=2x+2x−2+4x=2x+4，3x=6，x=2；检验：当x=2时，最简公分母x+2x−2所以原方程无解．【解析】【分析】（1）先对方程右边分母提取公因式2，然后方程两边同时乘以2x+1（2）因为x2−4=(x−2)(x+2)，所以方程两边同时乘以x+2x−2（1）解：方程两边同时乘以2x+12x+2x+12x+2x+2=5，2x+2x=5−2，4x=3，x=3检验：当x=3所以原分式方程的解为x=3（2）解：方程两边同时乘以x+2x−2x−2+4x=2x+2x−2+4x=2x+4，3x=6，x=2；检验：当x=2时，最简公分母x+2x−2所以原方程无解．19．【答案】（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB=∠DFC=90°，

∵AF=CE，

∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，

在Rt△ABE和Rt△CDF中，

AB=CDAE=CF，（2）证明：∵Rt△ABE≌∴∠A=∠C，∴AB∥【解析】【分析】（1）先作差证明出AE=CF，然后根据条件AB=CD，利用HL即可证明出Rt△ABE≌（2）结合（1）的结论，得出∠A=∠C，然后根据平行线的判定即可得出结论．（1）证明：∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AF=CE，∴AE=CF，在Rt△ABE和RtAB=CDAE=CF∴Rt（2）证明：Rt△ABE≌∴∠A=∠C，∴AB∥20．【答案】证明：甲同学的方法：证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACDSAS∴∠B=∠C．乙同学的方法：证明：如图，作AE⊥BC于点E．∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE和RtAB=ACAE=AE∴Rt△ABE≌∴∠B=∠C．丙同学的方法：证明：如图，取BC的中点F，连接AF．∴BF=CF，在△ABF和△ACF中，AB=ACBF=CF∴△ABF≌△ACFSSS∴∠B=∠C．【解析】【分析】要证明等腰三角形两底角相等，通过添加辅助线构造全等三角形。甲同学作角平分线，得到一组角相等，再结合等腰三角形两腰相等以及公共边，利用全等三角形的判定定理（SAS）证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等的性质得到两底角相等；同理，乙同学作底边上的高，可利用直角三角形全等的HL定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）证明两个直角三角形全等从而得出结论；丙同学取底边中点，利用边边边（SSS）定理（三边对应相等的两个三角形全等）证明两个三角形全等进而得到结论。21．【答案】解：原式=====1当a=6+2时，原式【解析】【分析】先对原式中括号内的式子进行通分后合并同类项，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解对式子进一步化简，最后把a的值代入化简后的式子，求出原式的值。22．【答案】解：（1）甲（或乙）；

（2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母；（3）正确解答过程如下：2====−1【解析】【分析】（1）任意选择即可.

（2）根据分式的性质进行判断即可求出答案.

（3）根据分式的减法，结合平方差公式即可求出答案.23．【答案】（1）解：过点D作∠ADE=∠B，∵∠ADE=∠B，

∴DE∥BC，

（2）解：△ADE为等边三角形，∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，

∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，

∴△ADE为等边三角形【解析】【分析】（1）过点D作∠ADE=∠B，因为同位角相等，两直线平行，所以DE∥BC，图形绘制完成；

（2）因为△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可知其三个内角都为60°，即∠A=∠B=∠C=60°。又因为DE∥BC，根据两直线平行，同位角相等的性质，可得∠ADE=∠B=60°，进而得到∠AED=∠C=60°。在△ADE中，∠A=∠ADE=∠AED=60°，根据三个角都相等的三角形是等边三角形，可得△ADE是等边三角形。（1）解：过点D作∠ADE=∠B，∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，（2）解：△ADE为等边三角形，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE为等边三角形24．【答案】（1）错误（2）解：补全图形如下：选择条件①时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，在△OFD和△OFE中，OD=OE∠DOF=∠EOF∴△OFD≌选择条件②时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，在△OFD和△OFE中，∠ODF=∠OEF∠DOF=∠EOF∴△OFD≌选择条件③时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，在△OFD和△OFE中，∠DOF=∠EOFOF=OF∴△OFD≌选择条件④时，利用SSA不能证明△OFD≌选择条件⑤时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，∵∠ADF=∠BEF，∴180°−∠ADF=180°−∠BEF，即：∠ODF=∠OEF，在△OFD和△OFE中，∠ODF=∠OEF∠DOF=∠EOF∴△OFD≌选择条件⑥时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，∵∠DFC=∠EFC，∴180°−∠DFC=180°−∠EFC，即：∠OFD=∠OFE，在△OFD和△OFE中，∠DOF=∠EOFOF=OF∴△OFD≌故答案为：①或②或③或⑤或⑥．【解析】【解答】（1）解：对于小明同学写出的6个条件，选择条件①时，可以利用SAS证明△OFD≌选择条件②时，可以利用AAS证明△OFD≌选择条件③时，可以利用ASA证明△OFD≌选择条件④时，利用SSA不能证明△OFD≌选择条件⑤时，可以利用AAS证明△OFD≌选择条件⑥时，可以利用ASA证明△OFD≌∴小明的说法错误，故答案为：错误；【分析】

（1）已知OC是∠AOB的角平分线，则∠DOF=∠EOF，且OF=OF（公共边）。

对于①OD=OE，此时满足两边及其夹角对应相等（OD=OE，∠DOF=∠EOF，OF=OF），根据SAS（边角边）定理可以判定△OFD≅△OFE；

对于②∠ODF=∠OEF，满足两角及其中一角的对边对应相等（∠ODF=∠OEF，∠DOF=∠EOF，OF=OF），根据AAS（角角边）定理可以判定△OFD≅△OFE；

对于③∠OFD=∠OFE，满足两角及其夹边对应相等（∠OFD=∠OFE，OF=OF，∠DOF=∠EOF），根据ASA（角边角）定理可以判定△OFD≅△OFE；

对于④FD=FE，FD=FE，∠DOF=∠EOF，OF=OF，是两边和其中一边的对角对应相等，不满足全等三角形的判定定理，不能判定△OFD≅△OFE；

对于⑤∠ADF=∠BEF，根据邻补角相等可得，∠ODF=∠OEF，满足两角及其中一角的对边对应相等（∠ODF=∠OEF，∠DOF=∠EOF，OF=OF），根据AAS（角角边）定理可以判定△OFD≅△OFE；

对于⑥∠DFC=∠EFC，根据邻补角相等可得，∠OFD=∠OFE，满足两角及其夹边对应相等（∠OFD=∠OFE，OF=OF，DOF=∠EOF），根据ASA（角边角）定理可以判定△OFD≅△OFE；

所以小明的说法错误。

（2）从小明写出的条件中选择一个，补全图形，然后利用全等三角形的判定方法证明即可．（1）解：对于小明同学写出的6个条件，选择条件①时，可以利用SAS证明△OFD≌选择条件②时，可以利用AAS证明△OFD≌选择条件③时，可以利用ASA证明△OFD≌选择条件④时，利用SSA不能证明△OFD≌选择条件⑤时，可以利用AAS证明△OFD≌选择条件⑥时，可以利用ASA证明△OFD≌∴小明的说法错误，故答案为：错误；（2）解：补全图形如下：选择条件①时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，在△OFD和△OFE中，OD=OE∠DOF=∠EOF∴△OFD≌选择条件②时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，在△OFD和△OFE中，∠ODF=∠OEF∠DOF=∠EOF∴△OFD≌选择条件③时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，在△OFD和△OFE中，∠DOF=∠EOFOF=OF∴△OFD≌选择条件④时，利用SSA不能证明△OFD≌选择条件⑤时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，∵∠ADF=∠BEF，∴180°−∠ADF=180°−∠BEF，即：∠ODF=∠OEF，在△OFD和△OFE中，∠ODF=∠OEF∠DOF=∠EOF∴△OFD≌选择条件⑥时，证明如下：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOF=∠EOF，∵∠DFC=∠EFC，∴180°−∠DFC=180°−∠EFC，即：∠OFD=∠OFE，在△OFD和△OFE中，∠DOF=∠EOFOF=OF∴△OFD≌故答案为：①或②或③或⑤或⑥．25．【答案】解：设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，根据题意得：20x解得：x=16，经检验，x=16是原分式方程的解．答：自行车的速度是16千米/小时．【解析】【分析】设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑车和乘骑车两种交通方式所需时间之间的关系，即可得出关于x的分式方程，解方程即可求出答案.26．【答案】（1）如图1，PQ即为所求；（2）等边对等角；内错角相等，两直线平行；

（3）如图2，PQ为所求．【解析】【解答】（2）证明：∵AB平分∠PAN，∴∠PAB＝∠NAB．∵PA＝PQ，∴∠PAB＝∠PQA（等边对等角）．∴∠NAB＝∠PQA．∴PQ∥MN（内错角相等，两直线平行）．故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行；

【分析】（1）在直线MN上取点A，以点A为端点作射线AP，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交∠PAN的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过点A和该交点作射线AB，即作出∠PAN的角平分线AB；以点A为圆心，AP长为半径画弧，交AB于点Q；连接PQ，直线PQ即为所求；（2）因为AB平分∠PAN，根据角平分线的定义，所以∠PAB=∠NAB。又因为PA=PQ，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，所以∠PAB=∠PQA。通过等量代换，可得∠NAB=∠PQA。而∠NAB与∠PQA是直线PQ、MN被直线AP所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，所以PQ∥MN；（3）.过点P作⊥PH⊥MN，垂足为H；以点P为圆心，适当长度为半径画弧，交PH于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过点P和该交点作直线PQ，使得PQ⊥PH，则直线PQ即为所求（因为垂直于同一条直线的两条直线互相平行，PH⊥MN且PH⊥PQ，所以PQ∥MN）。27．【答案】（1）解：依题意补全图形如下；（2）解：数量关系：∠ECH=∠EGF；证明：∵GE⊥CE于点E，∴∠GEF=∠CEH=90°∴∠ECH+∠GHD=90°∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°．∴∠EGF+∠GHD=90°∴∠ECH=∠EGF．（3）证明：连接DE．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°．∵AD是△ABC的高，∴∠DAC=∠DAB=45°．∴∠B=∠DAB．∴DA=DB．∵点E是AB的中点，∴∠AED=90°，∠ADE=∠BDE=45°．∴∠ADE=∠EAD∴EA=ED，∵∠GEF=∠AED=90°，∴∠AEG=∠DEC．由（2）知，∠ECD=∠EGA，在△EDC与△EAG中，∠ECD=∠EGA∠DEC=∠AEG∴△EDC≌△EAG∴EC=EG．【解析】【分析】（1）根据题目条件，在已有图形基础上，准确画出点E（AB中点），连接CE，过点E作GE⊥CE交DA延长线于点G，交BC于点H；（2）由直角三角形两锐角互余可得出∠ECH+∠GHD=90°，由垂线的定义得出∠ADB=90°，则∠EGF+∠GHD=90°，等量代换可得出∠ECH=∠EGF；（3）连接DE，因为∠BAC=90°，AB=AC，所以△ABC是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=45°；又因为AD是△ABC的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠DAC=∠DAB=45°，等量代换可得∠B=∠DAB，根据等角对等边，可得DA=DB；因为点E是AB的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠AED=90°，∠ADE=∠BDE=45°，进而得到∠ADE=∠EAD，根据等角对等边，可得EA=ED。由∠GEC=∠AED=90°，根据角的和差关系可得∠AEG=∠DEC，综上，根据全等三角形的全等条件（AAS）可得△EDC≅△EAG，最后根据全等三角形对应边相等得出EC=EG。（1）解：依题意补全图形如下；（2）解：数量关系：∠ECH=∠EGF；证明：∵GE⊥CE于点E，∴∠GEF=∠CEH=90°∴∠ECH+∠GHD=90°∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°．∴∠EGF+∠GHD=90°∴∠ECH=∠EGF．（3）证明：连接DE．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°．∵AD是△ABC的高，∴∠DAC=∠DAB=45°．∴∠B=∠DAB．∴DA=DB．∵点E是AB的中点，∴∠AED=90°，∠ADE=∠BDE=45°．∴∠ADE=∠EAD∴EA=ED，∵∠GEF=∠AED=90°，∴∠AEG=∠DEC．由（2）知，∠ECD=∠EGA，在△EDC与△EAG中，∠ECD=∠EGA∠DEC=∠AEG∴△EDC≌△EAG∴EC=EG．28．【答案】（1）①③（2）2，23，（3）3【解析】【解答】（1）解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2，AB=4，∴AC=AB2−BC∵图①中90°角所对的边为4，Rt△ABC中90°角所对的边为AB=4∴图①是Rt△ABC∵图②中90°角所对的边为22+2∴图②不是Rt△ABC∵图③中三边都为23∴图③中三角形为等边三角形，三个角都为60°，∴图③是Rt△ABC∵图④中30°角所对的边不等于2，∴图④不是Rt△ABC故答案为：①③（2）解：当顶角为30°时，∵Rt△ABC的“关联三角形”是等腰三角形，∠A=30°，∠A所对的边BC=2∴等腰三角形的底边长可以是2，当顶角为60°时，∵Rt△ABC的“关联三角形”是等腰三角形，∠B=60°，∠B所对的边AC=2∴等腰三角形