解析形如函数y=x^4-x^2+1的图像示意图画法步骤C3

函数y=118x⁴-25x²+38的性质及其图像示意图本文主要内容：介绍函数y=118x⁴-25x²+38的定义域、值域、单调性、奇偶性、极限和凸凹性，并通过函数的导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。函数的定义域：根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。函数的值域：因为y=118x⁴-25x²+38，则：118x⁴-25x²+38-y=0,对x²的二次方程有解，则：判别式△=25²-4*118(-y)≥0，即：4*118y≥4*118*38-25²，解得y≥eq\f(17311,472)≈36.68故函数的值域为：[eq\f(17311,472),+∞)。函数的单调性：∵y=118x⁴-25x²+38,∴eq\f(dy,dx)=4*118x³-2*25x,令eq\f(dy,dx)=0,则：4*118x³-2*25x=0,x(236x²-25)=0,即x₁=0，或者x²=eq\f(25,236),进一步求出：x₁=-eq\f(5,118)eq\r(59),x₂=0,x₃=eq\f(5,118)eq\r(59)≈0.33,则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(5,118)eq\r(59)],(0,eq\f(5,118)eq\r(59))时，eq\f(dy,dx)<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。(2)当x∈[-eq\f(5,118)eq\r(59),0],[eq\f(5,118)eq\r(59),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间,当x0=±eq\f(5,118)eq\r(59)时，y有最小值：ymin=f(±eq\f(5,118)eq\r(59))=118*(±eq\f(5,118)eq\r(59))⁴-25*(±eq\f(5,118)eq\r(59))²+38=eq\f(17311,472).函数的奇偶性：∵f(x)=y=118x⁴-25x²+38,∴f(-x)=118*(-x)⁴-25*(-x)²+38=118x⁴-25x²+38=f(x).即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。函数的极限：eq\s(lim,x→0)118x⁴-25x²+38=38;eq\s(lim,x→-∞)118x⁴-25x²+38=+∞;eq\s(lim,x→+∞)118x⁴-25x²+38=+∞.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=472x³-50x,∴eq\f(d²y,dx²)=1416x²-50,令eq\f(d²y,dx²)=0，则：x²=eq\f(25,708),即：x₁=-eq\f(5,354)eq\r(177),x₂=eq\f(5,354)eq\r(177)≈0.19;则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(5,354)eq\r(177)),(eq\f(5,354)eq\r(177),+∞)时，eq\f(d²y,dx²)>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。(2)当x∈[-eq\f(5,354)eq\r(177)，eq\f(5,354)eq\r(177)]时，eq\f(d²y,dx²)<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。函数的五点图x00.190.260.330.40118x⁴00.150.541.403.0225x²00.901.692.724.00y3837.2536.8536.6837.02x-0.40-0.33-0.26-0.190118x⁴3.021.400.540.15025x²4.002.721.690.900y37.0236.6836.8537.2538函数的示意图：y=118x⁴-25x²+38y(0,38)(-0.19,37.25)(0.19,37.25)(-0.40,37.02)