解析形如函数y=x^4-x^2+1的图像示意图画法步骤C8

函数y=37x⁴-28x²+22的性质及其图像示意图本文主要内容：介绍函数y=37x⁴-28x²+22的定义域、值域、单调性、奇偶性、极限和凸凹性，并通过函数的导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。函数的定义域：根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。函数的值域：因为y=37x⁴-28x²+22，则：37x⁴-28x²+22-y=0,对x²的二次方程有解，则：判别式△=28²-4*37(-y)≥0，即：4*37y≥4*37*22-28²，解得y≥eq\f(618,37)≈16.71故函数的值域为：[eq\f(618,37),+∞)。函数的单调性：∵y=37x⁴-28x²+22,∴eq\f(dy,dx)=4*37x³-2*28x,令eq\f(dy,dx)=0,则：4*37x³-2*28x=0,x(74x²-28)=0,即x₁=0，或者x²=eq\f(14,37),进一步求出：x₁=-eq\f(1,37)eq\r(518),x₂=0,x₃=eq\f(1,37)eq\r(518)≈0.62,则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,37)eq\r(518)],(0,eq\f(1,37)eq\r(518))时，eq\f(dy,dx)<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。(2)当x∈[-eq\f(1,37)eq\r(518),0],[eq\f(1,37)eq\r(518),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间,当x0=±eq\f(1,37)eq\r(518)时，y有最小值：ymin=f(±eq\f(1,37)eq\r(518))=37*(±eq\f(1,37)eq\r(518))⁴-28*(±eq\f(1,37)eq\r(518))²+22=eq\f(618,37).函数的奇偶性：∵f(x)=y=37x⁴-28x²+22,∴f(-x)=37*(-x)⁴-28*(-x)²+22=37x⁴-28x²+22=f(x).即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。函数的极限：eq\s(lim,x→0)37x⁴-28x²+22=22;eq\s(lim,x→-∞)37x⁴-28x²+22=+∞;eq\s(lim,x→+∞)37x⁴-28x²+22=+∞.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=148x³-56x,∴eq\f(d²y,dx²)=444x²-56,令eq\f(d²y,dx²)=0，则：x²=eq\f(14,111),即：x₁=-eq\f(1,111)eq\r(1554),x₂=eq\f(1,111)eq\r(1554)≈0.36;则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,111)eq\r(1554)),(eq\f(1,111)eq\r(1554),+∞)时，eq\f(d²y,dx²)>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。(2)当x∈[-eq\f(1,111)eq\r(1554)，eq\f(1,111)eq\r(1554)]时，eq\f(d²y,dx²)<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。函数的五点图x00.360.490.620.7537x⁴00.622.135.4711.7128x²03.636.7210.7615.75y2218.9917.4116.7117.96x-0.75-0.62-0.49-0.36037x⁴11.715.472.130.62028x²15.7510.766.723.630y17.9616.7117.4118.9922函数的示意图：y=37x⁴-28x²+22y(0,22)(-0.36,18.99)(0.36,18.99)(-0.75,17.96)