2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法 课件-2026版高中数学人教B版必修第一册

复习任务群一现代文阅读Ⅰ把握共性之“新”打通应考之“脉”第二章等式与不等式2.2不等式2.2.3一元二次不等式的解法学习任务1．理解一元二次不等式及其解集的概念．(数学抽象)2．能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式．(数学运算、逻辑推理)3．了解简单的分式不等式，并会求其解集．(数学抽象、逻辑推理)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？必备知识·情境导学探新知知识点1一元二次不等式的概念一般地，形如__________________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且_____．一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．提醒一元二次不等式的二次项系数a有a＞0和a＜0两种，注意a≠0．当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．ax2＋bx＋c>0a≠0知识点2一元二次不等式的解法1．因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是____________；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是____________________________．2．配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以化为_______________或_______________的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．(x1，x2)(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(x－h)2>k(x－h)2<k

分母

提醒当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．(易错点)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0可以变形为a(x－1)(x＋1)＝0，则ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1)． (

)(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以化为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式． (

)(3)若集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝{x|－1<x<2}． (

)×√×[提示]

(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1)．(3)由x2－x－2>0，得(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．2．不等式2x≤x2＋1的解集为(

)A．∅

B．RC．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)√B

[2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，所以x∈R．]

√

类型1解一元二次不等式考向1

解不含参数的一元二次不等式【例1】

【链接教材P73例1、例2】求下列不等式的解集．(1)x2－5x＋6≤0；(2)－2x2＋5x－3≤0；(3)x2－6x＋9>0；(4)x2＋x＋1>0．关键能力·合作探究释疑难

【教材原题·P73例1、例2】例1求不等式x2－x－2>0的解集．[解]

因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)>0，因此所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．例2求下列不等式的解集：(1)x2＋4x＋1≥0；(2)x2－6x－1≤0；(3)－x2＋2x－1<0；(4)2x2＋4x＋5>0．

反思领悟

解一元二次不等式的一般方法和步骤

√

考向2

解含参数的一元二次不等式【例2】设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0．

反思领悟

解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．[跟进训练]2．求关于x的不等式2x2＋kx－k≤0的解集．

√{x|－4＜x＜－1}

[解]

由题意知x－2≠0，因此(x－2)2>0，原不等式两边同时乘以(x－2)2可得(2x＋1)(x－2)≥(x－2)2且x－2≠0，即(x＋3)(x－2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为(－∞，－3]∪(2，＋∞)．反思领悟

解分式不等式的步骤类型3两个“二次”间的关系【例4】已知一元二次不等式x2＋bx＋c<0的解集为(1，2)，求实数b，c的值以及不等式bx2－5x＋c≤0的解集．

反思领悟

一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及两个“二次”之间的关系解题的思想(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．(2)解题思想：一元二次不等式与其对应的方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意两者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．[跟进训练]3．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．

学习效果·课堂评估夯基础√B

[②④一定是一元二次不等式．]

√C

[原不等式等价于(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1．]3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表如下：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则a＝____；不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为___________________．1{x|x＜－2或x＞3}1

{x|x＜－2或x＞3}

[由表知x＝－2时，y＝0，x＝3时，y＝0，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为：y＝a(x＋2)(x－3)，又因为x＝1时，y＝－6，所以a＝1，图象开口向上．结合二次函数的图象可得不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2或x＞3}．]4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝_____．

2回顾本节知识，自主完成以下问题：1．解一元二次不等式有哪些方法？[提示]

(1)因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．(3)求根公式法：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．(4)两个“二次”间的关系法：不等式解集的端点恰好是一元二次方程的根．2．含参数的一元二次不等式的解题步骤是怎样的？[提示]

讨论二次项系数二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式判断方程根的个数判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系写出解集确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算3．解分式不等式应注意哪些问题？

章末综合测评(一)动量守恒定律题号13524687910111213√1415一、选择题1．不等式x2＋x－2>0的解集为(

)A．{x|－2<x<1} B．{x|－1<x<2}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－1或x>2}课时分层作业(十五)一元二次不等式的解法C

[由x2＋x－2>0可得(x＋2)(x－1)>0，所以x<－2或x>1，故不等式的解集为{x|x<－2或x>1}，故选C．]题号135246879101112131415题号21345687910111213√1415

√题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415√4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(

)A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}题号213456879101112131415B

[方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}．]√

题号213456879101112131415√√

题号213456879101112131415二、填空题6．不等式x2－2x－3<0的解集为________．题号213456879101112131415(－1，3)

[由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，得－1<x<3．](－1，3)7．已知关于x的不等式2x2＋ax－a2＞0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________．题号213456879101112131415(－2，4)

[因为关于x的不等式2x2＋ax－a2＞0的解集中的一个元素为2，所以8＋2a－a2＞0，即(a－4)(a＋2)＜0，解得－2＜a＜4．](－2，4)

题号213456879101112131415

1

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415√√

题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415