4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解 课件-2026版高中数学人教A版必修第一册

复习任务群一现代文阅读Ⅰ把握共性之“新”打通应考之“脉”第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解[学习目标]

1．了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点三者之间的联系．(直观想象)2．了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数．(逻辑推理)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1．函数零点的概念是什么？问题2．函数零点存在定理如何表述？问题3．方程的解、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？探究建构关键能力达成探究1函数零点的概念问题1回想一下，二次函数

f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是如何定义的？二次函数

f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点与其图象与x轴交点的横坐标存在怎样的关系？提示：二次函数

f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是指使得ax2＋bx＋c＝0的实数x．二次函数

f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是其图象与x轴交点的横坐标．[新知生成]1．函数的零点：对于函数y＝f(x)，把使_______________叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有____⇔函数y＝f(x)的图象与____有公共点．【教用·微提醒】

函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．f(x)＝0的实数x零点x轴

反思领悟

函数零点的求法(1)代数法：求方程

f(x)＝0的实数解．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程

f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．√

√探究2函数零点存在定理问题2观察函数

f(x)＝x2＋2x－3的图象：(1)f(x)在区间(－4，－2)上有零点吗？f(－4)f(－2)的值和0有什么关系？(2)f(x)在区间(0，2)上有零点吗？f(0)f(2)的值与0有什么关系？提示：(1)有零点，f(－4)f(－2)<0．(2)有零点，f(0)f(2)<0．问题3如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且

f(a)f(b)<0，那么

f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？请画草图辅助说明．提示：一定有，至少有一个．草图如下．[新知生成]函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内____有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．连续不断f(a)f(b)<0至少f(c)＝0【教用·微提醒】1．①函数

f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0．这两个条件缺一不可．2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f(a)f(b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号．[典例讲评]

2．(1)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是(

)A．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(a，b)内有零点，则有f(a)f(b)<0B．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)>0，则其在(a，b)内没有零点C．若y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则其在(a，b)内有零点D．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则其在(a，b)内有零点√√

反思领悟

确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0．若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．[学以致用]

【链接教材P155习题4.5T2】2．(源自北师大版教材)判定方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内解的存在性，并说明理由．[解]

令函数f(x)＝4x3＋x－15，由于函数y＝4x3，y＝x－15在R上都是增函数，则函数f(x)在R上是增函数，而f(1)＝4×13＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×23＋2－15＝19>0，因此函数f(x)在(1，2)内有零点，所以方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内有解．【教材原题·P155习题4.5T2】已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：函数y＝f(x)在哪几个区间内一定有零点？为什么？x123456y136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.064[解]

由对应值表可得f(2)f(3)＜0，f(3)f(4)＜0，f(4)f(5)＜0，由函数零点存在定理可知

f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内一定有零点．【教用·备选题】

“定义在R上的函数

f(x)满足

f(0)f(2)>0，且f(x)在区间(0，2)上存在零点”，请写出一个符合要求的函数_________________________．f(x)＝(x－1)2(答案不唯一)

[f(x)＝(x－1)2的零点为1∈(0，2)，且f(0)＝1，f(2)＝1满足f(0)f(2)>0，故f(x)＝(x－1)2符合题意．]f(x)＝(x－1)2(答案不唯一)探究3函数零点个数问题角度1

判断函数的零点个数[典例讲评]

【链接教材P143例1】3．判断方程x＋lnx＝3的实数解的个数．[解]

法一：(数形结合法)令f(x)＝x－3＋lnx，令f(x)＝0，则lnx＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示．由图可知函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．故原方程只有一个解．

【教材原题·P143例1】例1求方程lnx＋2x－6＝0的实数解的个数．分析：可以先借助计算工具画出函数y＝lnx＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．[解]

设函数

f(x)＝lnx＋2x－6，利用计算工具，列出函数y＝f(x)的对应值表(表4.5-1)，并画出图象(图4.5-2)．表4.5-1xy1－42－1.306931.098643.3863xy55.609467.791879.9459812.0794914.1972由表4.5-1和图4.5-2可知，f(2)<0，f(3)>0，则f(2)f(3)<0．由函数零点存在定理可知，函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2，3)内至少有一个零点．容易证明，函数f(x)＝lnx＋2x－6，x∈(0，＋∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程lnx＋2x－6＝0只有一个实数解．

√

反思领悟

判断函数零点个数的常用方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．(2)图象法：直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数．(3)f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．√

a>1或a＝0(1)B

(2)a>1或a＝0

[(1)令g(x)＝0，得f(x)＝－x＋3，画出函数

f(x)和y＝－x＋3的图象，如图所示：函数g(x)的零点个数即

f(x)和y＝－x＋3的图象的交点个数，结合图象知有2个交点，故函数g(x)有2个零点．故选B．(2)由题意知：函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，作出函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示．若函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，则a>1或a＝0．所以实数a的取值范围是a>1或a＝0．]1．【教材原题·P155习题4.5T3】已知函数

f(x)＝x3－2x＋1，求证：方程

f(x)＝x在(－1，2)内至少有两个实数解．[解]

由f(x)＝x得x3－3x＋1＝0．令g(x)＝x3－3x＋1，则g(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，g(1)＝1－3＋1＝－1＜0，g(2)＝8－6＋1＝3＞0，∴g(－1)g(1)＜0，g(1)g(2)＜0，∴g(x)在(－1，1)内至少有一个零点，在(1，2)内至少有一个零点，∴g(x)在(－1，2)内至少有两个零点，即方程f(x)＝x在(－1，2)内至少有两个实数解．

当x≤0时，f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，函数在(－∞，－1)上单调递减，在[－1，0]上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝－4，f(0)＝－3，当x＞0时，f(x)＝－2＋lnx，函数在(0，＋∞)上单调递增．∴当实数解的个数为1时，k＜－4；当实数解的个数为2时，k＞－3或k＝－4；当实数解的个数为3时，－4＜k≤－3．应用迁移随堂评估自测1．(多选)函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点是(

)A．－1

B．0C．1

D．2√AC

[令f(x)＝0，解得x＝±1，所以函数的零点是－1和1．故选AC．]√√2．(多选)(教材P155习题4.5T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：下列区间中函数y＝f(x)一定有零点的是(

)A．(1，2)

B．(2，3)

C．(3，4)

D．(4，5)AC

[因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且

f(1)<0，f(2)>0，f(3)>0，f(4)<0，函数在区间(1，2)和(3，4)上一定有零点，故选AC．]√x12345y－0.21.30.9－0.5－13．已知函数

f(x)＝loga(2x－1)－1的零点是2，则a＝________．3

[由题意得

f(2)＝loga3－1＝0，解得a＝3．]3

2

1．知识链：2．方法链：定理法、方程法、数形结合法．3．警示牌：零点不能理解成点；可将零点个数问题转化成函数图象交点个数的问题．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．函数的零点、相应方程的解及图象之间存在怎样的内在联系？[提示]

函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：2．函数零点存在定理满足的条件有哪些？[提示]

定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0．3．探求函数零点个数的方法有哪些？[提示]

解方程法；数形结合法；定理法．章末综合测评(一)动量守恒定律题号135246879101112131415课时分层作业(三十八)函数的零点与方程的解√一、选择题1．函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为(

)A．10

B．9

C．(10，0)

D．(9，0)A

[令f(x)＝log3(x－1)－2＝0，即log3(x－1)＝2＝log332，所以x－1＝32，因此x＝10，所以函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为10．故选A．]题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415√3．方程|lgx|＋x－2＝0的解的个数是(

)A．0

B．1C．2

D．3C

[由|lgx|＋x－2＝0，得|lgx|＝2－x，在同一平面直角坐标系内作出y＝|lgx|与y＝2－x的图象，如图，两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解．故选C．]√题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

√题号213456879101112131415√√5．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是(

)A．函数一定有两个零点B．a>0时，函数一定有两个零点C．a<0时，函数一定有两个零点D．函数的零点个数是1或2BCD

[当a＝0时，函数y＝ax2－x－2a有唯一零点，故A不正确；当a≠0时，由ax2－x－2a＝0，Δ＝1＋8a2>0，可知函数一定有两个零点，故BC正确，所以函数的零点个数是1或2，故D正确．故选BCD．]题号213456879101112131415二、填空题6．已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分取值如下表所示：则函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为________．x－2－1.5－1－0.500.511.52f(x)－3.511.022.371.56－0.381.232.73.54.93

题号2134568791011121314153

[由题表中数据可得f(－2)f(－1.5)<0，则f(x)在(－2，－1.5)上至少存在一个零点，f(－0.5)f(0)<0，则f(x)在(－0.5，0)上至少存在一个零点，f(0)f(0.5)<0，则f(x)在(0，0.5)上至少存在一个零点，故函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为3．]题号2134568791011121314157．请写出同时满足以下条件的一个函数：______________________．①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；②该函数是偶函数；③该函数恰有2个零点．f(x)＝x2－1(答案不唯一)题号2134568791011121314158．函数f(x)＝2x＋x－5在(t，t＋1)上存在零点，则整数t的值为________．1

[f(x)＝2x＋x－5在R上单调递增，由函数零点存在定理可知，f(t)<0，f(t＋1)>0，由于f(1)<0，f(2)>0，故整数t＝1．]1

题号213456879101112131415三、解答题9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x．(1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象；(2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)分别有一个零点？两个零点？三个零点？题号213456879101112131415

题号213456879101112131415(2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k，结合函数的图象可知：①当k＜－1或k＞1时，y＝k与y＝f(x)的图象有1个交点，即g(x)＝f(x)－k有1个零点；②当k＝－1或k＝1时，y＝k与y＝f(x)的图象有2个交点，即g(x)＝f(x)－k有2个零点；③当－1＜k＜1时，y＝k与y＝f(x)的图象有3个交点，即g(x)＝f(x)－k有3个零点．【教用·备选题】判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[解]

法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(0)·f(2)<0，∴f(x)在(0，2)上必定存在零点．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上单调递增，∴f(x)有且只有一个零点．法二：令f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2＝0，即2－2x＝lg(x＋1)，在同一平面直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图，如图所示，由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．题号21345687910111213141510．若一次函数f(x)＝kx＋b有一个零点－2，则函数g(x)＝bx2－kx的图象可能是(

)√A

BC

DB

[因为一次函数f(x)＝kx＋b有一个零点－2，所以－2k＋b＝0(k≠0)，即b＝2k，对于g(x)＝bx2－kx，令g(x)＝0，则bx2－kx＝0，则x(bx－k)＝0，即x(2kx－k)＝0，解得x＝0或x＝0.5，所以g(x)有两个零点，分别为0和0.5，符合题意的只有B选项．]题号213456879101112131415题号21345687910111213141511．函数f(x)＝lnx＋2x－5的零点为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝(

)A．0

B．1C．2

D．3√C

[因为f(x)＝lnx＋2x－5在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋1>0，即x0∈(2，3)，所以k＝2．故选C．]√题号21345687910111213141512．(教材P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝lnx＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是(

)A．a<b<c

B．c<b<aC．b<a<c

D．c<a<b题号213456879101112131415C

[由已知条件得f(x)的零点可以看成y＝2x与y＝4－x图象的交点的横坐标，g(x)的零点可以看成y＝ex与y＝4－x图象的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝lnx与y＝4－x图象的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下分别画出y＝2x，y＝ex，y＝lnx，y＝4－x的函数图象，如图所示，可知c>a>b．故选C．]题号21345687910111213141513．已知

f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1012个，则

f(x)的零点的个数为(

)A．1011

B．1012C．2024

D．2025√D

[∵f(x)为奇函数且在(