2026届上海市宝山区上海交大附中高一数学第一学期期末达标检测试题含解析

2026届上海市宝山区上海交大附中高一数学第一学期期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，PO是三棱锥P-ABC底面ABC的垂线，垂足为O①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的垂心；②若PA=PB=PC，则点O是△ABC的外心；③若∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，则点O是△ABC的内心；④过点P分别做边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，若PE=PF=PG，则点O是△ABC的重心以上推断正确的个数是（）A.1 B.2C.3 D.42．已知，若，则（）A. B.C. D.3．已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4．函数零点所在区间为A. B.C. D.5．若，则A. B.C. D.6．已知全集，集合，，则（）A.{2，3，4} B.{1，2，4，5}C.{2，5} D.{2}7．函数是上的偶函数，则的值是A. B.C. D.8．已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.9．两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上，那么k的值是A.-24 B.6C.±6 D.±2410．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是()A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______12．已知向量＝(1，2)、＝(2，λ)，，∥，则λ＝______13．将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为______14．若，则的最大值为________15．已知函数，，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，．①______；②若对任意都成立，则实数m的取值范围是______16．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.(1)若函数的定义域为，求的取值范围；(2)设函数.若对任意，总有，求的取值范围.18．如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，，，求四棱锥的体积.19．函数（1）解不等式；（2）若方程有实数解，求实数的取值范围20．已知tanα＝，求下列各式的值(1)＋；(2)；(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.21．“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利万元与技术投入万元之间满足的关系式：.该公司希望流水线改造后获利不少于万元，其中为常数，且.（1）试求该流水线技术投入的取值范围；（2）求流水线改造后获利的最大值，并求出此时的技术投入的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】①由题意得出AO⊥BC，BO⊥BC，点O是△ABC的垂心；②若PA=PB=PC，则AO=BO=CO，点O是△ABC的外心；③由题意得出AO是∠BAC的平分线，BO是∠ABC的平分线，O是△ABC的内心；④若PE=PF=PG，则OE=OF=OG，点O是△ABC的内心【详解】对于①，PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC；同理PB⊥AC，得出BO⊥BC，∴点O是△ABC的垂心，①正确；对于②，若PA=PB=PC，由此推出Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，∴AO=BO=CO，点O是△ABC的外心，②正确；对于③，若∠PAB=∠PAC，且PO⊥底面ABC，则AO是∠BAC的平分线，同理∠PBA=∠PBC时BO是∠ABC平分线，∴点O是△ABC的内心，③正确；对于④，过点P分别做边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，若PE=PF=PG，则OE=OF=OG，点O是△ABC的内心，④错误综上，正确的命题个数是3故选C【点睛】本题主要考查了空间中的直线与平面的垂直关系应用问题，是中档题2、C【解析】设，求出，再由求出.【详解】设，因为所以，又，所以，所以.故选：C.3、B【解析】由根的判别式列出不等关系，求出实数a的取值范围.【详解】“，方程有解”是真命题，故，解得：，故选：B4、C【解析】利用零点存在性定理计算，由此求得函数零点所在区间.【详解】依题意可知在上为增函数，且，，，所以函数零点在区间.故选C.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.5、D【解析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．【详解】，，故选D．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．6、B【解析】分析】根据补集的定义求出，再利用并集的定义求解即可.【详解】因为全集，，所以，又因为集合，所以，故选：B.7、C【解析】分析：由奇偶性可得，化为，从而可得结果.详解：∵是上的偶函数，则，即，即成立，∴，又∵，∴．故选C点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.8、B【解析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增，所以在上单调递减，.又因为，因为，在上单调递减,所以，即.故选：B.9、C【解析】两直线2x+3y-k=0和x+ky-12=0的交点在y轴上，令x=0，可得，解得k即可【详解】∵两直线2x+3y-k=0和x+ky-12=0的交点在y轴上，令x=0，可得，解得k=±6故选C【点睛】本题考查了两条直线的交点坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10、D【解析】设幂函数为y=xa，把点(2,)代入，求出a的值，从而得到幂函数的方程，再判断幂函数的单调递增区间.【详解】设y＝xa，则＝2a，解得a＝－2，∴y＝x－2其单调递增区间为(－∞，0)故选D.【点睛】本题考查了通过待定系数法求幂函数的解析式,以及幂函数的主要性质.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由题意得到时，恒成立，然后根据当和时，进行分类讨论即可求出结果.详解】依题意，当时，恒成立当时，，符合题意；当时，则，即解得，综上，实数m的取值范围是，故答案：12、－2【解析】首先由的坐标，利用向量的坐标运算可得，接下来由向量平行的坐标运算可得，求解即可得结果【详解】∵，∴，∵∥，，∴，解得，故答案为：－213、1【解析】设该圆锥的底面半径为r，推导出母线长为2r，再由圆锥的高为，能求出该圆锥的底面半径【详解】设该圆锥的底面半径为r，将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，，解得，圆锥的高为，，解得故答案为1【点睛】本题考查圆锥的底面半径的求法，考查圆锥性质、圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14、【解析】化简，根据题意结合基本不等式，取得，即可求解.【详解】由题意，实数，且，又由，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.15、①.②.【解析】①代入，由函数的定义计算可得答案；②分别计算时，时，时，时，时，时，时，的值，建立不等式，求解即可【详解】解：①∵，∴②当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，又对任意都成立，即恒成立，∴，∴，∴实数m的取值范围是故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于理解函数的定义，分段求值，建立不等式求解.16、﹣≤a≤2【解析】先求画出函数的图像，然后对的图像进行分类讨论，使得的图像在函数的图像下方，由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如函数的图像，是引出的两条射线.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）等价于在上恒成立.解得的取值范围是；（2）等价于在上恒成立，所以的取值范围是.试题解析：(1)函数的定义域为，即在上恒成立.当时，恒成立，符合题意；当时，必有.综上，的取值范围是.(2)∵，∴.对任意，总有，等价于在上恒成立在上恒成立.设，则（当且仅当时取等号）.，在上恒成立.当时，显然成立当时，在上恒成立.令，.只需.∵在区间上单调递增，∴.令.只需.而，且∴.故.综上，的取值范围是.18、（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由已知可得，，即可证明结论；（Ⅱ）底面，，根据已知条件求出梯形面积，即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：因为底面，平面，所以.因为，，所以.又，所以平面.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，在中，，，又因为，则.又，，所以四边形为矩形，四边形为梯形.因为，所以，，，于是四棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，注意空间垂直之间的转化，考查椎体的体积，属于基础题.19、（1）（2）【解析】（1）由，根据对数的单调性可得，然后解指数不等式即可.（2）由实数根，化为有实根，令，有正根即可，对称轴，开口向上，只需即可求解.【详解】（1）由，即，所以，，解得所以不等式的解集为.（2）由实数根，即有实数根，所以有实根，两边平方整理可得令，且，由题意知有大于根即可，即，令，，故故.故实数的取值范围.【点睛】本题考查了利用对数的单调性解不等式、根据对数型方程的根求参数的取值范围，属于中档题.20、（1）（2）（3）【解析】(1)＋＝＋＝＋＝.(2)＝＝＝.(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝＝＝＝.21、（1）；（2）当时，，此时；当时，，此时.【解析】（1）由题意得出，解此