上海市长宁区延安中学2026届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

上海市长宁区延安中学2026届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.以上选项均不对2．在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2）（4） D.（2）（3）3．“xR，exx10”的否定是（）A.xR，exx10 B.xR，exx10C.xR，exx10 D.xR，exx104．设m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：（1）若、，则（2）若，，则（3）若、，则（4）若，，则其中真命题的序号是（）A.（1）（4） B.（2）（3）C.（2）（4） D.（1）（3）5．向量“，不共线”是“|+|<||+||”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．函数是上的偶函数，则的值是A. B.C. D.7．已知函数，则下列对该函数性质的描述中不正确的是（）A.的图像关于点成中心对称B.的最小正周期为2C.的单调增区间为D.没有对称轴8．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（）A.2020 B.2019C.1009 D.10109．已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，它的终边上一点坐标为，.则为（）A. B.C. D.10．已知集合，区间，则=（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数在______单调递增（填写一个满足条件的区间）12．若点在过两点的直线上，则实数的值是________.13．若函数，则函数的值域为___________.14．已知函数，则=_________15．点关于直线的对称点的坐标为______.16．已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是定义在上的偶函数，且.（1）求实数的值，并证明；（2）用定义法证明函数在上增函数；（3）解关于的不等式.18．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份（参考数据：lg2≈03010，lg3≈0.4771）19．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.（1）用，表示，，（2）求与夹角的余弦值.20．已知函数，其中（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求m的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求m的取值范围21．有三个条件：①；②且；③最小值为2且.从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数满足_________，.（1）求的解析式；（2）设函数，求的值域.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】先求出二次函数的对称轴，由区间，在对称轴的左侧，列出不等式解出的取值范围【详解】解：函数的对称轴方程为：，函数在区间，上递减，区间，在对称轴的左侧，，故选：A【点睛】本题考查二次函数图象特征和单调性，以及不等式的解法，属于基础题2、D【解析】由线性相关的定义可知：（2）中两变量线性正相关，（3）中两变量线性负相关，故选：D考点：变量线性相关问题3、B【解析】由全称命题的否定即可得解.【详解】因为命题“xR，exx10”为全称命题，所以该命题的否定为：xR，exx10.故选：B.4、D【解析】故选D.5、A【解析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“|+|<||+||”成立，即充分性成立，当“，方向相反”时，满足“|+|<||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故向量“，不共线”是“|+|<||+||”的充分不必要条件.故选：A.6、C【解析】分析：由奇偶性可得，化为，从而可得结果.详解：∵是上的偶函数，则，即，即成立，∴，又∵，∴．故选C点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.7、C【解析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可【详解】对于A：令,令，可得函数的一个对称中心为，故正确；对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝，故正确；对于C：令，解不等式可得函数的单调递增区间为，故错误；对于D：正切函数不是轴对称图形，故正确故选：C【点睛】本题考查与正切函数有关的性质，涉及周期性，单调性和对称性，利用整体代换的思想进行判断是解决本题的关键8、D【解析】化简函数，构造函数，再借助函数奇偶性，推理计算作答.【详解】依题意，当时，，，则，当时，，，即函数定义域为R，，令，，显然，即函数是R上的奇函数，依题意，，，而，即，而，解得，所以实数的值为.故选：D9、D【解析】根据正弦函数的定义可得选项.【详解】的终边上有一点，，.故选：D.10、D【解析】利用交集的运算律求【详解】∵，，∴．故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（答案不唯一）【解析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性的求法求解详解】由，得，解得或，所以函数的定义域为，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递增，所以在上单调递增，故答案为：（答案不唯一）12、【解析】先由直线过两点，求出直线方程，再利用点在直线上，求出的值.【详解】由直线过两点，得，则直线方程为：，得，即，又点在直线上，得，得.故答案为：【点睛】本题考查了已知两点求直线的方程，直线方程的应用，属于容易题.13、【解析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法即可求出函数的值域.【详解】由已知函数的定义域为又，定义域需满足，令，因为，所以，利用二次函数的性质知，函数的值域为故答案为：.14、【解析】按照解析式直接计算即可.【详解】.故答案为：-3.15、【解析】设点关于直线的对称点为，由垂直的斜率关系，和线段的中点在直线上列出方程组即可求解.【详解】设点关于直线的对称点为，由对称性知，直线与线段垂直，所以，所以，又线段的中点在直线上，即，所以，由，所以点关于直线的对称点的坐标为：.故答案为：.16、（在之间都可以）.【解析】画出函数的图象，结合图象可得答案.【详解】如图，当时，，当且仅当时等号成立，当时，，要使方程有四个不等实根，只需使即可，故答案为：（在之间都可以）.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】（1）由偶函数性质求，由列方程求，再证明；（2)利用单调性定义证明函数的单调性；(3)利用函数的性质化简可求.【小问1详解】因为函数是定义在R上的偶函数∴，综上，从而【小问2详解】证明：因为设，所以又，∴所以∴在上为增函数；【小问3详解】∵.∵偶函数在上为增函数．在上为减函数∴18、（1）选择较为合适；（2）6月【解析】（1）根据指数函数和幂函数的性质可得合适的函数的模型.（2）根据选择的函数模型可求最小月份.小问1详解】指数函数随着自变量的增大其函数的增长速度越大，幂函数随着自变量的增大其函数的增长速度越小，因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选择较为合适.故，故，.所以.【小问2详解】由（1），放入面积为，令，则，故凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份为6月.19、（1），；（2）.【解析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.【详解】解法一：（1）由图可知.因为E是CD的中点，所以.（2）因为，为等边三角形，所以，，所以，所以，.设与的夹角为，则，所以在与夹角的余弦值为.解法二：（1）同解法一.（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，.因为E是CD的中点，所以，所以，，所以，.设与的夹角为，则，所以与夹角的余弦值为.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当时，解对数不等式即可（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可（3）根据条件得到恒成立，利用二次函数的性质求最值即求.【小问1详解】由，得，即∴且，解得【小问2详解】由题得，即，①当时，，经检验，满足题意②当时，（ⅰ）当时，，经检验，不满足题意（ⅱ）当且时，，，是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即因为解集中恰有一个元素则满足题意的m不存在综上，m的取值范围为【小问3详解】当时，，所以在上单调递减∴函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，当时，y有最小值，由，得故m的取值范围为21、（1）；（2）.【解析】（1）若选择①，设代入，根据恒等式的思想可求得，得到的解析式；若选择②，设由，得，由，得出二次函数的对称轴即，再代入，解之可得的解析式；若选择③，设由，得，又恒成立，又，得出二次函数的对称轴解之即可；（2）由（1）知，根据二次函数的对称轴分析出上的单调性，可求得的值域.【详解】解：（1）若选择①，设则又因为即解得，又，所以解得，所以的解析式为；若选择②，设由，得，又，所以二次函数的对称轴即，又，所以解得所以的解析式为；若选择③，设由，得，又恒成立，又，所以二次函数的对称轴即，且解得所以的解析式为；（2）由（1）知，所以，因为对称轴所以在上单调递减，在上单调递增，故在上的值域为.【点睛