集合的概念与表示课件高一上学期数学北师大版()

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学必修第一册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第一章

预备知识第1节

集合1.1集合的概念与表示第1课时（共1课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、理解集合概念2、了解元素的含义3、明确元素与集合的关系4、掌握集合的三大特征5、熟悉常用数集及其表示方法1、元素与集合的关系2、集合表示方法1、集合概念2、集合的三大特征3、集合表示方法新

知

引

入

欢迎大家来学习高中阶段的数学！

对于很多同学来讲，数学是一门很难的学科，高深的理论、抽象证明、繁杂的计算都使得很多人对它望而生畏；但同时，它又是一门非常有用的科学，众多学科的发展都离不开数学的支撑，人类社会的发展也强烈的依赖数学。

同学们，珍惜数学吧！它的发展也是历经坎坷，数学曾经面临三次生死存亡，其中离我们最近的一次是第三次数学危机，它的发生只因一个“小”问题：在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个“小”问题几乎导致了整个近代数学的基础——集合论的崩塌！同学们：罗

素新

知

引

入集合论之父——康托

集合论的创始人是德国数学家康托。他生于1810年，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。这是自古希腊时代的两千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，从根本上改造了数学的结构，冲击了传统的观念，颠覆了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中也包括他的老师。来自权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他患了精神分裂症，被送进精神病医院。新

知

引

入

真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。

同学们，我们高中数学就从学习康托所创立的集合论的一些基础知识开始。

祝愿大家学有所成！维尔斯特拉斯新

知

引

入伯努利我们在上体育课和课间操时体育老师经常会喊：“集合！”

这里的“集合”是一个动词，而数学中的“集合”是一个名词，是一个数学的专用词语。数学中的“集合”是什么呢？

回顾小学和初中的数学知识，我们学习或研究了不同的研究对象(即概念)，其中大量的概念描述了某一类数学对象，如自然数，不等式、方程、分式，三角形，圆等，我们运用文字语言给出了这些概念相应的定义，例如，整数和分数统称为有理数，用“＝”来表示相等关系的式子叫作等式。学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》一般地，把指定的某些对象的全体称为集合。集合注意：3、上述文字语言是对集合的一种描述性的说法。其实集合是一个原始概念，不能够直接对它进行定义，就比如几何学中的“点”。集合通常用大写英文字母表示，如A,B,C,...全体自然数组成的集合（自然数集）记作N.全体正整数组成的集合（正整数集）记作N+或N*.全体整数组成的集合（整数集）记作Z.全体有理数组成的集合（有理数集）记作Q全体实数组成的集合（实数集）记作R.正实数集记作R+.1、2、学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》集合中每个对象称为该集合的元素。元素注意：元素通常用小写英文字母表示，如a,b,c,∙∙∙元素与集合的关系:如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a

A1、2、3、不含任何元素的集合叫作空集，记作：∅含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集。4、集合中元素的三个特性:⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：5、集合中的元素必须是确定的集合的元素必须是互不相同的集合中的元素是无先后顺序的学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》集合的表示方法：(1)字母法：(2)列举法：A、B、C

把集合中的元素一一列举出来，以逗号隔开，并用花括

号“{}”括起来的表示集合的方法叫做列举法.地球上四大洋组成的集合：方程（x-1)(x-2)=0的所有根组成的集合：小于10的所有正整数组成的集合：小于1000的所有正整数组成的集合：大于1的所有正整数组成的集合：①②③④⑤{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}{-1,-2}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}{1,2,3,4,…,999,1000}{2,3,4,5,…}哪些集合适合用列举法表示呢？元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律的集合。含有有限个元素且元素个数较少的集合。①②学

习

新

知拉格朗日集合的表示方法：

(3)描述法：(1)字母法(2)列举法

通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再划一条竖线”|“，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.不等式2x+4>0的解集:所有正奇数组成的集合:曲线y=x2图象上所有点的集合：①②③{x|x＞-2}{x|x=2n+1,n∈N}{(x,y)|y=x2,x∈R}用描述法表示集合需要注意什么问题？

①②③描述法适合表示无限集或元素较多的集合。学

习

新

知布

丰2、花括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成｛实数｝，

但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝概念辨析不相同。集合{(2,5)}中含有1个元素,这个元素是(2,5)；

集合{2,5}中含有2个元素,分别是2和5.1、a与{a}的含义是否相同？不同，前者为一个字母a，后者为由字母a构成的集合.6、集合{y|y=x2,x∈R}与集合{x|y=x2,x∈R}相同吗？不相同，{y|y=x2,x∈R}是函数y=x2的所有函数值组成的集合；{x|y=x2,x∈R}是函数y=x2的所有自变量组成的集合.7、{x|x>1}与{y|y>1}相同吗？5、集合{x|x<1}与集合{x<1}相同吗？4、集合{(2,5)}与集合{2,5}相同吗？3、集合{5,2}与集合{2,5}相同吗？相同不相同。{x|x<1}表示由所有小于1的数字组成的集合，有无数个元素；{x<1}表示由一个不等式“x<1”组成的集合，只有1个元素。相同。都表示由所有大于1的数字组成的集合。典

例

引

路数学王子——高斯例1、（多选题）下面能组成一个集合的是（

）A．高一年级聪明的学生B．较小的实数C．所有的偶数D．地球上的四大洋CD同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特练1、（多选题）下列几组对象可以组成集合的有（

）A．高中数学必修第一册课本中所有的难题B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员C．小于9的所有素数D．高一年级视力比较好的同学BC典

例

引

路柯

西

∉∈∈∉∉∈∉∈∈∉∉∈∉∉∈∈∈∉同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔

练2、用“∈”和“∉”填空：∉∈∈∈∉∉典

例

引

路牛

顿例3、(1)试分别用列举法和描述法表示下列集合.①方程x2-4=0的所有实数根组成的集合.②由大于10小于20的所有整数组成的集合.解：用描述法表示为A={x∈R|x2-4=0}.

方程x2-2=0有两个实数根为-2和2，

因此，用列举法表示为A={-2,2}.解：用描述法表示B={x∈Z∣10<x<20}.

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，

因此，用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

{（7，-3）}

同

步

练

习黎

曼练3、（1）用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为()A.{1,1} B.{1}C.{x=0} D.{x2-2x+1=0}解：集合{x|x2-2x+1=0}是方程x2-2x+1=0的解集，而方程有两个相等的实根1，故可表示为{1}.

解：描述法：{x|x＜2,x∈N+}列举法：{1}解：列举法：{（0,3），（-3,0）}B典

例

引

路华罗庚例4

、已知集合A={1,2,3},则B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x-y|∈A}中所含元素的个数为（

）A．2B．4C．6D．8解：当x=1,y=1时，|x-y|=0,0∉A,所以（1,1）∉B

当x=1,y=2时，|x-y|=1,1∈A,所以（1,2）∈B

当x=1,y=3时，|x-y|=2,2∈A,所以（1,3）∈B

当x=2,y=1时，|x-y|=1,1∈A,所以（2,1）∈B

当x=2,y=2时，|x-y|=1,0∉A,所以（2,2）∉B

当x=2,y=3时，|x-y|=1,1∈A,所以（2,3）∈B

当x=3,y=1时，|x-y|=2,2∈A,所以（3,1）∈B

当x=3,y=2时，|x-y|=1,1∈A,所以（3,2）∈B

当x=3,y=3时，|x-y|=0,0∉A,所以（3,3）∉B综上所述，B中共有6个元素。B同

步

练

习洛必达

典

例

引

路狄利克雷

同

步

练

习庞加莱

典

例

引

路皮

亚

诺例6、集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.解：(1)当k＝0时，

方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，

解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，

要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，

则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，

所以Δ＝64