专项培优等腰三角形中的分类讨论问题

第一章三角形的证明专项培优1等腰三角形中的分类讨论问题C1．【点方法】根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角进行分类讨论．返回....50°或65°或80°

2．如图，大小两个量角器的零刻度线在同一条直线上，点P是大量角器上一点，对应的度数是130°，若△APB是等腰三角形，则PB与小量角器的交点在小量角器上对应的度数为_____________.【点拨】返回12或83．定义：若三角形满足其中两边长之和等于第三边长的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形ABC是三倍三角形，且其中一边长为3，则△ABC的周长为____________.【点拨】当底边长是3时，若两腰长的和是底边长的三倍，则两腰长的和为9，满足三角形三边关系，所以此时△ABC的周长是9＋3＝12；若腰长与底边长的和是腰长的三倍，设腰长为x，则x＋3＝3x，解得x＝1.5，不满足三角形三边关系；当腰长是3时，若两腰长的和是底边长的三倍，则底边长是2，满足三角形三边关系，所以此时△ABC的周长是3＋3＋2＝8；若腰长与底边长的和是腰长的三倍，设底边长为y，则3＋y＝3×3，解得y＝6，不满足三角形三边关系．综上，△ABC的周长为12或8.返回4．在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，若AB＋BH＝CH，∠ABH＝70°，求∠BAC的度数.返回5．32°或152°或88°

在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E，连接BE.若∠EBC＝42°，则∠BAC的度数为_______________.【点拨】返回6．在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，P是边BC上的动点(不与点B，C重合)，连接AP，将△APC沿AP翻折得到△APD，展开后连接DC，记∠BCD＝α.(1)如图，当点P与点E重合时，求α的度数；【解】∵∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°.∵AE平分∠BAC，点P与点E重合，△APC沿AP翻折得到△APD，∴点D在AB边上，AC＝AD.∴∠ACD＝∠ADC＝(180°－∠BAC)÷2＝65°.∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°.(2)当点P与点E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系.【解】①当点P在线段BE上时，如图①所示．∵将△APC沿AP翻折得到△APD，∴AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°－α.又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∠BCD＝α，∴(90°－α)＋β＝40°＋α.∴2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图②所示．同①可得∠ADC＝∠ACD＝90°－α.又∵∠ADC＝∠AFC＋∠BCD，∠AFC＝∠ABC＋∠BAD，∠ABC＝40°，∠BAD＝β，∠BCD＝α，∴∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＋∠BCD＝40°＋β＋α.∴90°－α＝40°＋α＋β.∴2α＋β＝50°.综上所述，当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；当点