第03讲 整式的乘法（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）-北师大版七年级《数学》寒假预习讲义

PAGE1第03讲整式的乘法（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.知识点2：单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序.知识点3：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.【题型1计算单项式乘单项式】例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘法．（1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可；（2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可；（3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可；（4）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：例2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，同底数幂乘法和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可；（2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；（3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；（4）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查幂的运算，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的运算法则是解题的关键．（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式；（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式；（3）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．变式2．（25-26八年级上·北京·开学考试）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）原式先分别进行同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类项即可；（2）原式先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可；（3）原式先计算积的乘方和幂的乘方，再进行单项式乘以单项式即可得出结论；（4）原式先分别进行单项式乘法和积的乘方运算，再合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值】例3．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么，，．【答案】3432【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键．根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值．【详解】解：根据题意得，，∴，∴，解得，∴，故答案为：3；4；32．例4．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则．【答案】2【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可．【详解】解：，则，，解得：，，那么，故答案为：2．变式1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为．【答案】【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可．【详解】解：∵，，故答案为：．变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则．【答案】11【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解．【详解】解：，，，，，，，．故答案为：11．【题型3计算单项式乘多项式】例5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可；（2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可（3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．例6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得；（2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得；（3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得；（4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：原式．变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了多项式乘以单项式，积的乘方．（1）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可；（2）先计算积的乘方，再根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可；（3）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可；（4）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：变式2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．（2）运用乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（3）先根据幂的乘方运算法则计算，再运用乘法分配律计算与的乘积．（4）先根据乘法分配律去括号，再合并同类项．本题主要考查了整式的乘法运算，包括单项式乘多项式、幂的乘方以及合并同类项等知识点．熟练掌握幂的乘方运算法则以及合并同类项的方法是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【题型4计算多项式乘多项式】例7．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；（2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：．例8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键．（1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可；（3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可；（4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了整式的乘法，多项式乘以多项式运算；（1）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解；（2）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解；（3）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解．【详解】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式．变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，正确运用相关运算法则计算是解题关键．（1）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可；（2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【题型5多项式乘多项式——化简求值】例9．（25-26七年级上·上海·月考）先化简再求值：，其中【答案】，0【分析】本题考查整式的化简求值．先根据单项式乘多项式去括号，合并同类项，再将值代入计算即可．【详解】解：，当时，原式．例10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、单项式乘以多项式及整式的加减运算等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键．先由多项式乘以多项式、单项式乘以多项式及合并同类项运算化简，再将，代入化简后的代数式求值即可得到答案．【详解】解：，当，时，原式．变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，合并同类项法则进行计算，是解题的关键．根据多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，最后x=7代入即可．【详解】解：原式．当时，原式．变式2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）先化简再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题考查了多项式的乘法、单项式乘多项式与求代数式的值，掌握运算法则是解题的关键；分别用多项式乘多项式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，最后代入数值计算即可．【详解】解：；当，时，原式．【题型6已知多项式乘积不含某项求字母的值】例11．（25-26八年级上·吉林松原·月考）已知的展开式中不含项和项．(1)求的值；(2)先化简，再求值:．【答案】(1)(2)，【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可；（2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值．【详解】（1）原式，展开式中不含项和项，，解得；即；（2）原式，．例12．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）关于的代数式化简后不含项和常数项．(1)求、的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、代数式求值．（1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答；（2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答．【详解】（1）解：，∵化简后不含项和常数项，∴，，∴，；（2）解：，由（1）知，，∴，原式．变式1．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项．(1)求、的值；(2)求代数式的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键．（1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案；（2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案．【详解】（1）解：，的展开式中不含和的项，，，解得；（2）解：由（1）知，，，，原式．变式2．（25-26八年级上·全国·单元测试）若的积中不含和项．(1)求的值；(2)求代数式的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值，（1）原式利用完全平方公式变形后，将与的值代入计算即可求出值；（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：原式．由积中不含和项，得，解得．则原式．（2），，∴原式．【题型7(x+p)(x+q)型多项式乘法】例13．（25-26八年级上·江西上饶·期中）观察下列各式：①；②；③；④．请回答下列问题：(1)总结公式：；(2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值．【答案】(1)(2)m的值为6或【分析】本题主要考查了整式的乘法，对于（1），根据上述过程解答；对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案．【详解】（1）解：；故答案为：；（2）解：∵，由（1）得：，∵a，b，m均为整数，∴有以下四种情况：①；②；③；④，①当时，；②当时，；③当时，；④当时，，综上所述：m的值为6或．例14．（25-26八年级上·海南海口·月考）（1）计算下列式子：①___________；②___________．③___________；④___________．（2）从上面的计算中总结出规律：___________（3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果：①___________；②___________．③___________；④___________．【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可；（2）由（1）中的运算总结出规律即可；（3）由（2）总结出的规律求解即可；【详解】解：①；②．③；④．（2）从上面的计算中总结出规律：；（3）①；②．③；④．变式1．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题：(1)计算：①_____；②______；③_____．(2)总结公式：_____．(3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果：①______；②______；(4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______．【答案】(1)①；②；③；(2)；(3)①；②(4)7或或5或【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．（1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子；（2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式；（3）利用（2）总结的公式直接计算；（4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值．【详解】（1）解：①，故答案为：；②，故答案为：；③；故答案为：；（2）解：；（3）解：①；②；（4）解：因为，所以，．因为，均为整数，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．所以的所有可能值为7或或5或．变式2．（24-25八年级上·广东湛江·月考）根据以下素材，完成下列任务：【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：．再利用单项式与多项式相乘的法则，得：．【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释：【任务1】计算下列各式：（1）___________________；（2）___________________；（3）___________________；（4）___________________．【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释．【任务3】如果其中，，均为整数，求的值．【答案】任务1：（1）；（2）；（3）；（4）；任务2：，，；任务3：或【分析】本题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明．任务1∶直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式；任务2∶画一个长为、宽为的长方形即可求解；（3）由（2）的结论可求解．【详解】解∶任务1∶（1）；（2）；（3）；（4）故答案为∶（1）；（2）；（3）；（4）；任务2：如图所示，，故答案为：，，；任务3：由任务2知：，又，∴，，又，，均为整数，∴或或或或或或或，综上，或．【题型8单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】例15．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动．(1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积；(2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？【答案】(1)(2)20130元【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键．（1）根据长方形的面积公式即可求解；（2）代入的值求出铺设塑胶跑道区域的面积，再乘以110元，即可得到答案．【详解】（1）解：，答：铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为；（2）解：当，时，，（元）．答：铺设塑胶跑道共需20130元．例16．（25-26八年级上·江西宜春·月考）某社区利用一块长方形空地修建了一个停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺水泥花砖，剩余部分均是宽度为米的道路．(1)求铺水泥花砖部分的面积．（用含的代数式表示，结果需要化简）(2)已知水泥花砖的铺设成本为每平方米元，当时，求铺设水泥花砖的费用．【答案】(1)平方米(2)【分析】本题考查了平移的性质，多项式乘以多项式与图形的面积，代数式求值．（1）用平移法，计算阴影部分的面积为长为米，宽为的长方形的面积；（2）将代入（1）中代数式，再乘以，即可求解．【详解】（1）解：铺水泥花砖部分的面积为平方米（2）解：当时，铺设水泥花砖的费用为元变式1．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）为了提高业主的宜居环境，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一横一竖、互相垂直且宽度均为的通道．(1)求通道的面积；(2)求剩余草坪的面积；(3)当时，求剩余草坪的面积．【答案】(1)通道的面积为(2)剩余草坪面积为(3)剩余草坪面积为【分析】本题考查代数式的计算以及求值，熟练运用代数式进行计算是解题的关键．（1）通道总面积可视为互相垂直的矩形面积之和减去重叠部分的面积，利用代数式进行计算化简即可；（2）利用原草坪面积减去通道面积即可；（3）将代入（2）中结果即可．【详解】（1）解：通道总面积可视为互相垂直的矩形面积之和减去重叠部分的面积，故面积为：故通道的面积为．（2）解：∵原草坪面积为：，剩余草坪面积：，故剩余草坪面积为．（3）解：将，代入，得，故剩余草坪面积为．变式2．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．(1)用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积；(2)若，，求出此时种植区的总面积．【答案】(1)，；(2)．【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键．（1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可；（2）将，代入（1）中代数式求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：，；（2）解：当，时，．【题型9整式运算中的新定义型问题】例17．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数．(1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数；(2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由．【答案】(1)4或2；或(2)A与B是关于1的单位数．理由见解析【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键：（1）根据新定义，进行求解即可；（2）求出的值，进行判断即可．【详解】（1）解：∵或，∴3与4或2是关于1的单位数；∵，，∴与或是关于1的单位数，故答案为：4或2；或；（2）解：；故与是关于1的单位数．例18．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），．(1)若，求的值(2)若的代数式中不含的一次项，求的值(3)若的满足，且的值，求的值【答案】(1)6(2)2(3)【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可；（2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解；（3）根据，得到，结合定义，已知求解即可．【详解】（1）解：若，则，即，解得，则的值为6；（2），若的代数式中不含的一次项，则，解得，即的值为2；（3），，解得，，，，即，．变式1．（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”．(1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由，(2)若，是的“特别友好多项式”．①请写出一个符合条件的二项式：______．②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由．【答案】(1)是，理由见解析；(2)①；②，理由见解析．【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键．（1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断；（2）①根据“特别友好多项式”的定义解答；②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可；【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下：，∵的项数比多不超过项，∴是的“友好多项式”；（2）解：①，∵与的项数相同，∴是的“特别友好多项式”，故答案为：；②，∵与的项数相同，∴是的“特别友好多项式”．变式2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）阅读下列材料，完成相应的任务．平衡多项式定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为．任务：(1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子．(2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由．(3)若多项式(m是常数)是一组平衡多项式，求m的值．【答案】(1)(2)是，平衡因子为(3)或7或【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式乘多项式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键．（1）根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子；（2）根据运算法则计算，并求出平衡因子；（3）分三种情况列出算式，再计算求值．【详解】（1）解：，该组平衡多项式的平衡因子是．（2）多项式，，，是一组平衡多项式．，该组平衡多项式的平衡因子是．（3）需分三种情况讨论：①，这组多项式是一组平衡多项式，，．②，这组多项式是一组平衡多项式，，．③，这组多项式是一组平衡多项式，，．综上所述，m的值为或7或．【题型10多项式乘法中的规律性问题】例19．（25-26八年级上·新疆和田·月考）探索题：；；；…根据前面的规律，回答下列问题：(1)______．(2)已知，求的值．(3)计算：．【答案】(1)(2)0或(3)65536【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题．（1）观察已知等式，总结出与到的和相乘的结果规律；（2）利用规律将与相乘，结合已知条件求出的值，再计算的值即可；（3）利用规律先计算，再加上即可．【详解】（1）解：由已知规律可得．故答案为：．（2）解：由规律得：，，即，解得：或，当时，则，与题干矛盾，当或时，则，符号题意，或．（3）解：由规律得：，．则原式．例20．（25-26八年级上·山东临沂·月考）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如．(1)请你写出和的展开式：(2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期______．(3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程；【答案】(1)；(2)三(3)【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，是解决问题的关键．（1）由题中所给杨辉三角形，由各项系数的有关规律即可得到和的展开式；（2）由（1）可得的展开式，则，从而得到除以7余1，即可得到答案；（3）由题中令，则，从而令，则，即可得到答案．【详解】（1）解：由杨辉三角规律，可得：；；（2）解：同（1）可得，∴，∴除以7余1，∵今天是星期二，再过天是星期三；（3）解：由题意可知，令，则，令，则，．变式1．（25-26八年级上·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．(1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______．(2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？(3)若，求的值．【答案】(1)，(2)二(3)2【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键：（1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答；（2）利用7天为一个周期，的最后一项是1，则的余数是1，即可得出答案；（3）分别令和，进行求解即可．【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项，观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1则；（2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1，∴的余数为1，∵今天是星期一，∴经过天后是星期二；（3）解：∵，∴当时，，即：；当时，，即：，∴，∴变式2．（25-26八年级上·山东济宁·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；……若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察：(1)计算：________．（）(2)若（（，是常数），则________，________．(3)若（x，y是常数），则________，_______．(4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________．(5)直接写出式子的值．【答案】(1)1(2)

(3)

(4)(5)【分析】本题主要考查了“杨辉三角”的规律以及二项式展开式的应用．充分理解“杨辉三角”的规律与二项式展开式之间的联系是解题的关键．（1）由任何非零数的0次幂均为1可得答案；（2）（3）通过观察前面给出展开式的项数和系数的规律知与的展开式的相关情况；（4）由“杨辉三角”的规律继续向下可写出按照a的降幂排列展开式，进而可知第三项的系数是36；（5）根据前面的规律将给定的式子转化为的形式进行计算即可．【详解】（1）解：∵，任何非零数的0次幂均为1，∴1；（2）解：由“杨辉三角”的规律及表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1，即，故，；（3）解：由“杨辉三角”的规律可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1，即，故，；（4）由“杨辉三角”的规律可知有十项，按照a的降幂排列展开式为，故展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是36；（5）解：原式．一、单选题1．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可．【详解】解：，故选A．2．（25-26八年级上·河南信阳·月考）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：，又∵，∴，比较一次项系数，得，即，故选：．3．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）已知，则代数式的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解．根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解．【详解】解：，，，又，，原式．故选：．4．（25-26八年级上·天津河西·月考）若，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．由的取值而定【答案】A【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小；利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：A．5．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】本题考查了新运算的定义及一元一次方程求解，单项式乘以多项式，根据新运算的定义，将方程转化为关于x的一元一次方程求解．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，故选：B．二、填空题6．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算：．【答案】【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可．【详解】解：．故答案为：．7．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，代数求值，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0．先展开两个多项式的乘积，根据不含二次项和常数项的条件列出方程，求解和的值，再计算．【详解】解：，∵乘积中不含的二次项，且常数项为，∴且，解得,，∴．故答案为：8．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为．【答案】9【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案．【详解】解：，∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9，故答案为：9．9．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为【答案】【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出．【详解】解：∵，，∴，，∴∵，∴上式，故答案为：．10．（25-26八年级上·福建泉州·月考）将个数，，，排成行，列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则．【答案】4【分析】本题考查了多项式乘以多项式，一元一次方程的应用，根据新定义得出，解方程，即可求解．【详解】根据题意得，整理得，即，解得．故答案为：4．三、解答题11．（25-26八年级上·河北·期末）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可；（2）根据多项式乘以多项式展开计算即可；【详解】（1）；（2）．12．（25-26八年级上·广东惠州·月考）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了整式的化简求值．先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可．【详解】解：，当时，原式．13．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值；（2）试说明多项式的值与x的取值无关．【答案】（1）1；（2）见解析【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n；（2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关．【详解】解：（1）∵的结果中不含项，∴，∴；（2）∵∴多项式的值与x的取值无关．14．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题：(1)计算：①___________；②___________；③___________．(2)总结公式（___________）；(3)已知均为整数，且，求的所有可能值．【答案】(1)①；②；③(2)(3)或6【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质：（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；（3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案．【详解】（1）解：①；②；③；故答案为：①；②；③；