河南省洛阳名校2026届数学高二上期末监测试题含解析

河南省洛阳名校2026届数学高二上期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，若，则（）A.6 B.9C.11 D.242．等比数列中，，则（）A. B.C.2 D.43．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中应填入（）A.？ B.？C.？ D.？4．在等差数列中，若，，则公差d=（）A. B.C.3 D.－35．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（）A. B.C. D.6．为调查学生的课外阅读情况，学校从高二年级四个班的182人中随机抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，27．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C与A，B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（）A. B.C. D.8．椭圆的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，9．已知数列满足，且，为其前n项的和，则（）A. B.C. D.10．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（）A.24种 B.48种C.72种 D.96种11．若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.12．已知是边长为6的等边所在平面外一点，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点，平面过，，三点，则点到平面的距离为________.14．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________15．已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是_________.16．设，则动点P的轨迹方程为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.18．（12分）如图，已知四边形中，，，，且，求四边形的面积19．（12分）在中，，，请再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，然后解答下列问题.（1）求角的大小；（2）求的面积.条件①：；条件②：.20．（12分）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（12分）已知函数.（1）判断的单调性.（2）证明：.22．（10分）求下列函数的导数：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以故选：B2、D【解析】利用等比数列的下标特点，即可得到结果.【详解】∵，∴，∴，∴.故选：D3、C【解析】本题为计算前项和，模拟程序，实际计算求和即可得到的值.【详解】由题意可知：输出的的值为数列的前项和.易知，则，令，解得.即前7项的和.为故判断框中应填入“？”.故选：C.4、C【解析】由等差数列的通项公式计算【详解】因为，，所以.故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式可得，5、D【解析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集为.故选：D.6、A【解析】根据系统抽样的方法即可求解.【详解】从人中抽取人，除以,商余，故抽样的间隔为，需要随机剔除人.故选：A.7、A【解析】根据椭圆的定义可得△AF1B的周长为4a，由题意求出a，结合离心率计算即可求出c，再求出b即可.【详解】由椭圆的定义知，△AF1B的周长为，又△AF1B的周长为4，则，，，，，所以方程为，故选：A.8、A【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.9、B【解析】根据等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】由题可知是首项为2，公比为3的等比数列，则.故选：B.10、B【解析】根据题意，分2步进行分析区域①、②、⑤和区域③、④的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有种涂色的方法；当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，故共有种涂色的方法.故选：B11、D【解析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线的方程为，故选：D12、C【解析】由题意分析可得，当时三棱锥的体积最大，然后作图，将三棱锥还原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半径的计算方法来计算，即可计算出球半径，从而完成求解.【详解】由题意可知，当三棱锥的体积最大时是时，为正三角形，如图所示，将三棱锥补成正三棱柱，该正三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求得平面ABC的一个法向量，然后由求解.【详解】因为，，，，所以，设平面ABC的一个法向量为，则，即，令，则，所以则点到平面的距离为，故答案：14、【解析】设过点的圆的切线为，分类讨论求得直线分别与圆的切线，求得直线的方程，从而得到直线与轴、轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.【详解】设过点的圆的切线分别为，即，当直线与轴垂直时，不存在，直线方程为，恰好与圆相切于点；当直线与轴不垂直时，原点到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，此时直线与圆相切于点，因此，直线的斜率为，直线的方程为，所以直线交轴交于点，交于轴于点，椭圆的右焦点为，上顶点为，所以，可得，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.15、【解析】确定，，利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，，，设与的夹角为，则所以点到平面的距离为故答案为：16、【解析】根据双曲线的定义可得答案.【详解】因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；（3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，，又因为，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，，，所以，，，因为，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作为平面的法向量，设平面的法向量因为，.所以，即，不妨设，得.，又由图示知二面角为锐角，所以二面角的正弦值为.（3）设，即，，所以，即，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，即，解得，即.【点睛】本题考查利用空间向量求线面垂直、线面角、二面角的求法，向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取：1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的垂线的交点为原点；2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标；3、求：求出两个面的法向量；4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.18、.【解析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四边形的面积，结合三角形面积公式可得答案.【详解】在中，由，，，可得在中，由，，，可得又，故．所以四边形的面积=【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题.19、（1）条件选择见解析，（2）【解析】（1）选①，利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围，即可求得角的值；选②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围，即可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】解：选①，，由余弦定理可得，，所以，.选②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得.20、答案见解析【解析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得的通项公式.（2）利用公式法可求数列的前项和.【详解】解：选择条件①和条件②（1）设等差数列的公差为，∴解得：，.∴，.（2）设等比数列的公比为，，∴解得，.设数列的前项和为，∴.选择条件①和条件③：（1）设等差数列的公差为，∴解得：，.∴.（2），设等比数列的公比为，.∴，解得，.设数列的前项和为，∴.选择条件②和条件③：（1）设等比数列的公比为，，∴，解得，，.设等差数列的公差为，∴，又，故.∴.（2）设数列的前项和为，由（1）可知.【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题21、（1）在R上单调递增，无单调递减区间；（2）证明见解析.【解析】（1）对求导，令并应用导数求最值，确定的符号，即可知的单调性.（2）利用作差法转化证明的结论，令结合导数研究其单调性，最后讨论的大小关系判断的符号即可证结论.【小问1详解】由题设，.令，则.当时，单调递减；当时，单调递增故，即，则在