2024年人教版八年级数学下册18.2.3正方形同步练习(学生版+解析)

2024年人教版八年级数学下册18.2.3正方形精品

同步练习（学生版）

一、基础闯关全练

■知识点一正方形的定义及性质

1.在四边形中，z/l=z/?=zC=90°,如果再添加一个条件即可推出该四边形是正

方形，那么这个条件可以是（）.

A.z/）=90°B,AB=CDc.AD=BCD.BC=CD

2.如图，在正方形力比。中，点小分别在CD、BC上，且BF=CE，连接B/、4'相交于

点G，则下列结论不正确的是（）.

A.BE=AFRZLDAF=/-BECc../-AFB+LBEC=90°n,AG1BE

3.如图，四边形/BC。是正方形，M为BC上一点、，连接/1M，延长/。至点£'，使得

AE=AM^过点E作七/1/lM，垂足为/；，求证：AB=EF・

DE

RMC

知识点二正方形的判定

4.下列说法正确的是（）.

A.有一个角是直角的四边形是F方形B.有一组邻边相等的四边形是正方形C.有

•组邻边相等的矩形是正方形D.四条边都相笔的四边形是正方形

5.如图，等边尸的顶点日在矩形的边比1，。。上，且4CEF=45°.求证：矩

形/13C7）是正方形・

二.能力提升全练

6.四边形力"。的对角线4C、80交于点0，有以卜.结论：①/18=3C：②，"18=90°；

③80=。。，4。=。。；④四边形力/"/）是矩形；⑤四边形力/比'。是菱形；⑥四边形/8C'/）

是正方形.

下列推论不正确的是（）.

A.由②③，得④B.iJ①③，得⑤C.由①②，得⑥D.由①@,得⑥

7.如图，在正方形/3C'。中，点厂为。。上一点，Bk'与AC交于点E若4C'8F=20。，则

乙/九的度数是（）.

A.25。B.40°c45°D,50°

8.正方形/BCD中，对角线力。与80交于点0，点P是正方形/13CD对角线80上的一个动点

（点P不与点8，。，D重合），连接CP并延长，分别过点。，8向射线CP作垂线，垂足分

别为点M，M

（I）补全图形，并求证：DM=CN.

（2）连接。时，ON，判断AOMN的形状并证明.

备用图

三、三年模拟全练

二）一、选择题

9.如图，在菱形中，对角线AC、BD交于点0,添加下列一个条件，能使菱形/WCD

成为正方形的是（）.

A.BD=ABB.AC=ADc./-ABC=90°D,OD=AC

10.如图，在△48C中，。是4c上一动点，过点0作直线MN〃8C・设MN交的平分

线于点小交的外角平分线于点2当点。运动到水？的中点，月.乙4G?=（）时，

四边形/1EG,'是正方形•

(1)如图2,连接EMFG，GH，HE，试判断四边形ER7H的形状,并证明你的结论.

(2)将正方形力沿线段/G，〃/；剪开，再杷得到的四个四功形按图3的方式拼接成一个

四边形.若正方形/3C。的边长为3cm，〃/l=E3=rc=GD=lcm，则图3中阴影部分的

面积为cm2-

四.五年中考全练

(：)一、选择题

14.如图，正方形力以工)的边长为1，点和”分别是对角线AC上的两点，EG1/13，

EI1AD>FHJ_AB，FJ1AD，垂足分别为G，/，〃，/.则图中阴影部分的面积等于

().

D

4111

A.1B.2C.§D.4

IS.如图，在正方形/VCD中，/。=6，G是Z?C的中点，将沿/G对折至△//；C延

长GF交DC于点E，则0E的长是（）•

A.1B.1.5C.2D,2.5

16.如图，正方形/BCD的面积为1，则以相邻两边中点连线£'/,'为边的正方形以,'G〃的周氏

为（）

B.2低C.或+1D,2虑+1

二）二、填空题

17.矩形4北。的对角线4C,8。相交于点。，请你添加一个适当的条件：,使其成为

正方形（只填一个即可），

18.如图，正方形4/"。的边长为3，点E在边Q3上，且8后=1，若点P在对角线上移

动，则P/l+PE的最小值是.

▼三、解答题

19.如图，止方形力中，E是BC上的一点，连接44过8点作8〃_1_44垂足为点〃,

延长B"交CD于点」；，连接/If

(1)求证：AE=BF.

(2)若正方形边长是5,BE=2,求力”的长.

五、核心素养全练

20.如图为某城市部分街道示意图，四边形小九力为正方形，点G在对角线80上，

GEtCD，GF工BC，40=1500m，小敏行走的路线为小聪行走的路线为

BTATDH若小敏夕亍走的路程为3100m，则小聪行走的路程为m.

21.下图是一个叫工字钢的零件，其标准零件的上底面是一个正方形，为了检验零件是否合

格，必须检验上底面小"D是不是正方形.

(1)假设只给你一把刻度尺，你能检测出四边形/3C'。是正方形吗？

(2)假设只给你一个量角器，你能检测出四边形/BC'D是正方形吗？

22.在正方形小北。中，£是边C'/)上一点(点£不与点C、0重合)，连接8瓦

【感知】如图①，过点4年加;，BE交8c于点易证A/WF名△8CE.(不需要证明)

【探究】如图②，取的中点M,过点M作FG_LBE交8C于点匕交AD于点、G.

(1)求证：BE=FG.

(2)连接CM,若C'M=1,则“G的长为.

(3)【应用】如图③，取/%的中点M,连接CM.过点C作C'G_L交4D于点G,连接2G、

MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为

2024年人教版八年级数学下册18.2.3正方形精品

同步练习（学生版）

一.基础闯关全练

知识点一正方形的定义及性质

1.在四边形力中，z/l=z/?=zC=90°,如果再添加一个条件即可推出该四边形是正

方形，那么这个条件可以是（）.

A.zD=90°B,AB=CDc.AD=BCD.BC=CD

【答案】D

【解析】由乙1=48=/。=90°,可判定四边形/8G）为矩形，

根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等“即可划定四边形48。。为正方形.

故选D.

2.如图，在正方形川北。中，点小尸分别在C/）、BC上,且BF=CE，连接8/、4F相交于

点G，则下列结论不正确的是（）.

A.BE=AFB,^DAF=乙BECc./-AFB+乙BEC=90°D,AG1BE

【答案】C

【解析】•・,四边形/BCD是正方形，

,-.z/l/?F=zC=90°,AB=BCt

•:BF=CE,

I.△△BCE(SAS),

;.AF=BE,乙BAF=^CBE,乙AFB=4BEC,

・••故A正确，故C错误：

・・•乙BAA'+乙DAF=90°,UBE+乙BEC=90°,484广=乙CBE,

，乙DAF=^BEC,

，故B正确;

,:乙BAF=乙CBE,乙84/；+乙AFB=90°,

•・.“BE+WB=90。，

：/BGF=9。。,

：.AG18Ef

・••故D正确.

故选C.

3.如图，四边形48C。是正方形，M为BC上一点、，连接HM，延长4。至点匕使得

AE=AM^过点E1作E*_L/1M，垂足为F，求证：AB=EF・

A°E

BA/C

【答案】证明见解析.

【解析】♦；四边形ABCD为正方形,

,\z/?=90°,AD//BC,

工乙EAP'=^BMA,

・.•£/・'_!.AM,

・•・〃/；£1=90°=皿

在△和△ER4中，

Z.EAF=Z.BMA

・・Z.AFE=z/?=90°

,AE=AM'

・•.△ABM0△EF/1(AAS),

;.AB=EF,

■知识点二正方形的判定

4.下列说法正确的是（）.

A.有一个角是直角的四边形是正方形B.有一组邻边相等的四边形是正方形C.有

一组邻边相等的矩形是正方形D.四条边都相等的四边形是F方形

【答案】C

【解析】有一个角是直角的菱形是正方形，故A错误；

有一组邻边相等的笼形是正方形，故B错误：

有一组邻边相等的矩形是正方形，故C正确；

四条边都相等的矩形是正方形，故D错误.

5.如图，等边的顶点£，/；在矩形力/"。的边"，C/）上，且“£7；=45。.求证：矩

形4北/）是正方形.

【答案】证明见解析.

【解析】•・•四边形ABCD是矩形,

,\z£?=zD=zC=90°,

•・•△力以•'是等边三角形，

：.AE=AFtZ-AEF=ZLAFE=60°,

VZCFF=45°,

.・.£CFE="EF=45。,

・•・乙AP'D=乙AEB=180°-45°-60°=75°,

/.△/lEBz△/!尸Z?(AAS),

：.AI3=ADt

.,・矩形48。。是正方形.

二.能力提升全练

6.四边形力以力的对角线BD交于点、O,有以下结论：①/18=3C；②，"18=90°；

③BO=DO,AO=CO-④四边形/BCD是矩形：⑤四边形力"。是菱形：⑥四边形力8CD

是正方形.

下列推论不正确的是（）.

A.由②③，得④B.力①③，得⑤C.由①②，得⑥D.由①@,得⑥

【答案】C

【解析】AB,由③可得四边形力3。〃是平行吗边形，若41MB=90°,则四边形/BCD是矩

形；若/18=3C,则四边形/13C7）是菱形，故AB正确；

CD.若四边形＜8C'O是矩杉，AB=BC,则四边形力/九刀是正方形，故D正确，故C中推论

错误.

故选C.

7.如图，在正方形A8C/）中，点”为C7）上一点，与“交于点£.若=20°，则

功以'的度数是（）.

A.25。B.40°C.45。D.50。

【答案】D

【解析】•.•四边形力/曰。为正方形，

,\AB=ADtZ.HAE=Z.I）AE=45°fLABC=90°.

VZF/?C=20°,

・・・4/18E=70。，

J.Z-AEB=180°-Z-BAE-^ABE=180°-45°-70°=65°.

\-AE=AEtLBAE=Z.DAEfAB=ADt

s

'AABE=AADEf

・・.〃EO=〃EB=65。,

：.Z-DEF=1800-Z-AEB-/:AED=180°-65°-65°=50°.

故选D.

8.正方形/BCD中，对角线AC与80交于点0，点P是正方形力3。£）对角线80上的一个动点

（点P不与点B，。，D重合），连接CP并延长，分别过点。，8向射线CP作垂线，垂足分

别为点M，N-

（1）补全图形，并求证：DM=CN.

（2）连接。时，ON，判断AOMN的形状并证明.

备用图

【答案】（1）画图见解析：证明见解析.

（2）Z\M0N为等腰直角三角形，证明见解析.

【解析】（1）如图1,•・•四边形为正方形，

图I

:.CB=CD,"CD=90。，

VDM1CP,BN1Cl\

,-.zDMC=90°,Z.BNC=90°,

VZCDM4-ZDCM=9O°,

乙BCN+乙DCM=90°,

工乙BCN=£CDM,

在△CDM和△CBN中,

ZDMC=Z.CNB

CD=CB

乙CDM=乙BCN'

.・.△CDMg△CBN,

:.DM=CN.

(2)如图2,

图2

•・•四边形/BCD为正方形，

.・.0。=0C,乙0DC=乙0CB=45。,

Z-D0C=90°,

•:乙BCN=£CDM,

，乙BCN-45。=ZCDM-450,

即乙OCN=4ODM,

在A0CN卡口AODM中,

CN=DM

乙OCN=(0DM

0C=0D'

:.A0CN%A0DM,

：.0N=0M,LC0N=Z.D0M,

."MON=400C=90。，

・•.△MON为等腰直角三角形.

三.三年模拟全练

二）一、选择题

9.如图,在菱形ABC。中，对角线AC、8。交于点O，添加下列一个条件,能使菱形4BC0

成为正方形的是（）.

A.BD=ABB.AC=Al)C.乙ABC=90°D.01)=AC

【答案】c

【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，

(1)有一个内角是直角；

(2)对角线相等.

即4/18。=90°或力。=80.

故选：C.

10.如图，在△/!!?。中，。是4C上•动点，过点0作直线MN〃比1・设MN交48czi的平分

线于点小交乙8C4的外角平分线于点2当点便动到/C的中点，且乙4以=()时,

四边形力比是正方形.

A.45。B.60°C.85。D.90°

【答案】D

【解析】如图，过点已厂分别作出/13〃FG1BD,垂足分别为〃，G.

•:CE,分别为，力。8,4力CD的平分线,

.-.ZECF=9O°.

•・•MN//BC,：,Z-FEC=LECH,

♦：£ECH=乙ECO,二乙FEC=/-ECO,

：,OE=OC.

同理，OC=OF,：.OE=OF,

•・•点。为小。的中点，

：.0A=OC,：,四边形AEG,'为矩形，

若4/1CB=9O°,则CE=CF,

:.四边形AECF为正方形.故选D.

n二、填空题

11.如图，将正方形0/18C放在平面直角坐标系中，。是原点，点/的坐标为（1,点），则点c

的坐标为.

【解析】如图作力轴于几。七人》轴于立

.\OA=OCfz/10C=90°,

o

VzC0E+z40F=90,^AOF+Z-OAF=90°f

"COE=(OAF,

在△COE和△CM”中，

Z.CEO=Z.AFO=90°

乙COE=/.OAF

OC=OA'

••・△COEg△OAFt

:.CE=OF,OE=AFt

,"（1收

：.CE=OF=1,0E=AF=>l3t

工点C坐标（73,1）.

故答案为（一炉,1）.

12.如图，在正方形/18C。中，£1在C。上，尸在C3的延K线上，若。七'=3p，则

£AEF=•

【答案】45

【解析】如图，连接//，由正方形的性质可知/1D=/IB，zD=z/!Z?F=90°，又

DE=BF,易证△/10E9△A/弘’（SAS），则=乙DAE=^BAF,易证

Z/?/1F+Z/?/1E=90°>则△/1//・'是等腰直角三角形，^AAEF=45°-

二）三、解答题

13.如图1，在正方形48。。中，£'，/；，G，〃分别为边4B，BC，CD，D4上的点,

“A=EB=FC=GD，连接/G，/・'〃，交点为。.

(1)如图2,连接EMFG，GH，HE，试判断四边形ER7H的形状,并证明你的结论.

(2)将正方形力沿线段/G，〃/；剪开，再杷得到的四个四功形按图3的方式拼接成一个

四边形.若正方形/3C。的边长为3cm，〃/l=E3=rc=GD=lcm，则图3中阴影部分的

面积为cm2-

图3

【答案】（1）正方形；证明见解析.

（2）1

【解析】（1）四边形〃是正方形，

•・•四边形是正方舫，

...乙4=48=ZC=乙I）=90°,AB=BC=CD=DA,

•：HA=EB=FC=GD,

,\AE=BF=CG=DH,

△AEH^△BFEg△CGEg△DHG,

:.EF=FG=GH=HE,

二四边形EFGH是菱形,

△DHG^△AEHt

：.Z-DHG=/-AEH,

VZ/lE//4-z/l//E=90°,

，乙D”G+乙A〃E=90。,

.\ZG//E=9O°,

・•.四边形EFGH是正方形.

（2）•・•〃/!=EB=FC=GD=1,AB=BC=CD=AD=3,

-GF=EF=EH=GH=+*=#,

•.•由（1）知，四边形£'"G〃是正方形，

：・GO=OF,LGOF=90°,

由勾股定理得：rnnl7晒,

・5四边形FCGO=；X1x2+；x吟乂孚=，

S阴影=（挈+哨-S四边形"GOX4=10-9=1

四、五年中考全练

二一、选择题

14.如图，正方形的边长为1，点出尸分别是对角线71C上的两点，EGJ.AB，

EI1AD^FH1AB>FJLAD，垂足分别为G，/，〃，/.则图中阴影部分的面积等于

A.1B-2C.3D-4

【答案】B

【解析】•・•四边形ABCD是正方开工

・•・直线4c是正方形力BCD的对称轴，

,:EGJ,AB,£71AI）,FH工AB,b'J1ADt垂足分别为G,/,〃，/.

・•・根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形£/〃的面积相等，

11

，S阴影=声正方形4BC。=2.

15.如图，在正方形48C力中，48=6，G是8C的中点，将△48G沿4G对折至△?1■；，延

长G”交DC于点£，则。E的长是（）.

A.1B.1.5C.2D.2.5

【答案】C

【解析】如图，连接/3

D

BGC

・.•AB=AD=AI\乙D=乙AFE=90°,

在Rta/IFE和Rt^/IDE中，

AE=AE

t：^(AF=AD^

：.RtA/lFfeRtA/lDE,

:.EF=DE,

设OE=/；E=x,则EC'=6-x.

・；G为BC中点、,BC=6,

・・.CG=3,

在RtaZl'C'G中，根据勾股定理，得：(6-x)2+9=(x+3)2,

解得％=2.

则0E=2.

16.如图，正方形43C0的面积为1，则以相邻两边中点连线为边的正方形"G〃的周K

为（）.

A.MB.2但C.V2+1D.2但+1

【答案】B

【解析】•・•正方形的面积为1,

：.BC=CD=1,Z.BCD=90°,

・・・£、尸分别是BC、CO的中点,

•・.西=如=；,〃=

：.CE=CF,

.・.△C2/是等腰直角三角形，

.\EF=^CE=y,

・•・正方形EFG〃的周长=4EF=4x孝=2\历.

二二、填空题

17.矩形4北。的对角线4C,8。相交于点。，请你添加一个适当的条件：，使其成为

正方形（只填一个即可），

【答案】ACLBD（答案不唯一）

【解析】根据正方形的判定定理，可知对角线垂直的矩形为正方形，故可添加一个条件为

ACLBD.

18.如图，正方形力3C/）的边长为3，点〃在边人8上，且8〃=1，若点P在对角线80上移

动，贝打"+PA'的最小值是

【答案】①

【解析】如图，作点〃关于8D的对称点连接4E'与8。交于点P,此时力P+PE最小,

•••8。垂直平分EE：

*：PE=PEt

：.AP+PE=AP^PE=AE'f

在中，43=3,BE'=HE=1,

根据勾股定理得：AE'=V10,

则P/l+PE的最小值为、，T3.

。三、解答题

19.如图，正方形4/?口）中，E是区C上的一点，连接力£,过8点作W/_!_4/，垂足为点〃,

延长8〃交CD于点2连接力人

(1)求证：AE=BF.

(2)若正方形边长是5,BE=2,求/!尸的长.

【答案】(1)证明见解析.

⑵呵

【解析】(1)・・•四边形力BCD是正方形，

:.AB=BC,/.ABE=LBCF=90°,

・・・，4"+乙4砧=90。，

•：BHLAEy

.-.z/?//E=90°,

•・.乙4协+，EBH=90。，

:.乙BAE=LEBH,

在△48七和△8。/中，

(/-BAE=Z.CBF

AB=BC

乙ABE=乙BCP

J△ABE^△BCF(ASA),

：.AE=BF.

(2)・・・4B=BC=5,

由(1)得：△ABEgABCF,

:.CF=BE=2,

W=5-2=3,

•・•四边形/IBC'D是正方形，

：,AB=AD=5,Z-ADl!=90°,

由勾股定理得：AF=,AI)2+〃产=柠+3?=[25+9=用.

五.核心素养全练

20.如图为某城市部分街道示意图，四边形/BCD为正方形，点G在对角线30上，

GEtCD，GF1力/)=1500m，小敏行走的路线为小聪行走的路线为

8Tzi若小敏吁走的路程为3100m，则小聪行走的路程为m.

D

E

B

【答案】4600

【解析】连接GC,

四边形ABCD为正方形，

所以/ID=DC,"DB=LCDB=45°,

VZCD/?=45°,GE1DC,

.・・△/)&；是等腰直角三角形，

:・DE=GE.

在△AGD-^o△GDC中,

AD=DC

Z-ADG=乙CDG

DG=DG

・•.^AGD^AGDC

：.AG=CG

在矩形GEC7中,EF=CG,

.\EF=AG,

\-BA+力。+DE+EF-13A-AG=AD=1500m.

•・,小敏共走了3100m,

/.小聪行走的路程为3100+1500=4600(m).

21.下图是一个叫工字钢的零件，其标准零件的上底面是一个正方形，为了检验零件是否合

格，必须检验上底面4北D是不是正方形.

（1）假设只给你一把刻度尺，你能检