2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题复习卷含答案

2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题复习卷含答案

一、解答题

1.(1)如图1,分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成

一个大正方形，则大正方形的边长为cm；

(2)若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2nm"设圆的周长为。.正方形的周长

为CE，则G为〔填或或">")

(3)如图2,若正方形的面积为900cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面

积为740cm2的长方形纸片.使它的长和宽之比为5:4,他能裁出吗？请说明理由？

图？

2.己知在4x4的正方形网格中,每个小正方形的边长为1.

(1)计算图①中正方形A8C。的面积与边长.

(2)利用图②中的正方形网格，作出面枳为8的正方形，并在此基础上建立适当的数

轴，在数轴上表示实数况和-血.

3.如图是一块正方形纸片.

(1)如图1，若正方形纸片的面积为%序，则此正方形的对角线4c的长为dm.

(2)若一圆的面积与这个正方形的面积都是271cm2,设圆的周长为CUY，正方形的周长为

C正，则C冈C正(填“=〃或"V"或"〉"号)

(3)如图2,若正方形的面积为16cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积

为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2,他能裁出吗？请说明理由？

AD

BC

图2

4.张华想用•块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出•块面积为300cm2的长

方形纸片，使它的长宽之比为3：2.他不知能否裁得出来，正在发愁.李明见了说：“别

发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意李明的说法吗？张华能

用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

5.如图，在3x3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决

下面的问题.

(1)阴影正方形的面积是?(可利用割补法求面积)

(2)阴影正方形的边长是?

(3)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由.

6.已知AB//CD,定点E,产分别在直线A8,C。上，在平行线A8,之间有一动点

a弓B

CFD

备用图1

[EB

备用图2田

(1)如图1所示时，试问NAEP,/EPF,NPFC满足怎样的数量关系?并说明理由.

(2)除了(1)的结论外，试问乙回，/EPF,NPFC还可能满足怎样的数最关系?请画

图并证明

(3)当NEP/满足(rvNEPFvlSO0,且QE,。尸分别平分NPE8和NPFD,

①若NE尸尸=60°,则/呼=

②猜想/LEPF与NEQF的数量关系.(直接写出结论)

7.汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间杳看

河水及两岸河堤的情况.如图1，灯A射出的光束自AW顺时针旋转至AN便立即回转，灯

6射出的光束自8P顺时针旋转至8Q便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A射出的

光束转动的速度是4。/秒，灯8射出的光束转动的速度是秒，且〃满足

心-羽+(〃+〃-4)2=().假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ//MN,且

/BAN=45°.

(1)求“、〃的值；

(2)如图2,两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点

C,过C作SJ_AC交尸Q于点O,若/88=20°,求"AC"的度数；

(3)若灯3射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯/?射出的光束到达B。

之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

8.已知AB//CD,点E在A8与8之间.

(1)图1中，试说明：NBED=ZABE+NCDE；

(2)图2中，NA6E的平分线与NCDE的平分线相交于点厂，请利用(1)的结论说明：

/BED=2/BFD.

(3)图3中，NAM的平分线与NCDE的平分线相交于点尸，请直接写出N8ED与

/8也＞之间的数量关系.

9.问题情境：

(1)如图1,AB//CD,N%"=128。，ZPCD=119°.求2PC度数.小颖同学的解题思

路是：如图2,过点P作PE//AB,请你接着完成解答.

问题迁移：

(2)如图3,ND//8C,点P在射线QM上运动，当点P在A、3两点之间运动时，

ZADP=Za,4PCE=4。.试判断NCPO、Na、”之间有何数量关系？(提示：过点

。作/YV/AO),请说明理由：

(3)在(2)的条件下，如果点P在A、8两点外侧运动时(点尸与点A、B、。三点不

重合)，请你猜想NCP。、乙a、//之间的数量关系并证明.

射现象，如图1,光线Q从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b,根据光学

知识有N1=N2,N3=N4,请判断光线。与光线b是否平行，并说明理由.

（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与

镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线。与水平线0C的夹角为40。，问如何放

置平面镜MN,可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）

（3）如图3,直线律上有两点4、C,分别引两条射线AB、CD./W=105。，

ZDCF=65°,射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转

动，设时间为3在射线。力转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与48平行？

若存在，求出所有满足条件的时间t.

13.如图1,。为直线48上一点，过点。作射线OC,乙4。。=30°,将一直角三角板

（Z;W=30u）的直角顶点放在点。处，一边。N在射线OA上，另一边与OC都在直线

AOBAOB

备用图1备用图2

（1）几秒后ON与OC重合？

（2）如图2,经过/秒后，MNHAB,求此时，的值.

（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕。点以每秒6。的速度沿顺时针方向旋转一周，

那么经过多长时间OC与。M重合？请画图并说明理由.

（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分NMO8?请画图并说明理由.

14.（感知）如图①，ABUCD.ZAEP=40,ZPFD=130°,求NEP/的度数.小明想到了

以下方法：

pp

图③

解：如图①，过点?作月W〃人8,

.♦./1=44科=40（两直线平行，内错角相等）

QAB//CD（已知），

:.PMHCD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.N2+NP尸£>=180°（两直线平行,同旁内角互补）.

vZPFD=130°（已知），

.♦.N2=180-130"=50'（等式的性质）.

.•.Nl+N2=40+50=90（等式的性质）.

UPZEPF=9（）（等量代换）.

（探究）如图②，ABUCD,ZAEP=50,ZPFC=120\求N£P/的度数.

（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，NP£4的平分线和NPFC的平分线交于点

G,则ZG的度数是.

15.如图1,D是△ABC延长线上的一点，CE//AB.

（1）求证：ZACD=ZA+ZB；

（2）如图2,过点A作BC的平行线交CE于点H,CF平分NECD,FA平分NHAD,若

ZBAD=70°,求BF的度数.

（3）如图3,AH//BD,G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分NQGD交AH于R,QN

四、解答题

16.在.ABC中，射线4G平分的C交8。于点G,点D在8c边上运动（不与点G重

合），过点。作。E//AC交AB于点

（1）如图1,点。在线段CG上运动时，DF平分NEDB.

AA

①若N8AC=10(V,ZC=30\则；若N6=40°,则；

②试探究N/IFD与DB之间的数量关系？请说明理由；

(2)点。在线段8G上运动时，N8Z)E的角平分线所在直线与射线AG交于点F.试探究

NA77)与D8之间的数量关系，并说明理由.

”.操作示例：如图1,在4阳。中，4。为8c边上的中线，ZM8。的面积记为Si,XADC

的面积记为S2.则5I=S2.

解决问题：在图2中，点。、E分别是边八8、8c的中点，若A8DE的面积为2,则四边形

ADEC的面积为.

拓展延伸：

(1)如图3,在A48C中，点。在边8c上,且8D=2CD,△48。的面积记为Si,△ADC的

面积记为S2.则Si与S2之间的数量关系为.

(2)如图4,在△A8c中，点。、E分别在边48、4C上，连接8£、CD交于点。，且

B0=2E0,CO=DO,若△BOC的面积为3,则四边形4D0E的面积为.

18.如图，在一A6c中，乙48c与ZAC8的角平分线交于。点.

(1)若NA=4()。，则/BOC=—。；

(2)若NA=〃。，则N80C=°；

(3)若NA=〃。，NA8C与ZAC8的角平分线交于。点，ZA8O的平分线与N4CO的三分

线交于点。I，N。刈6^。的平分线与/。刈6。石的平分线交于点。237,则/。2。17=

A

19.如图1,已知A8IIC0,8E平分NA8。，0E平分N8DC.

(1)求证：Z8£。=90。：

(2)如图2,延长8£交8于点H,点F为线段EH上一动点，NEDF=a,/A8F的角平

分线与NCDF的角平分线DG交于点G,试用含a的式子表示NBGD的大小；

(3)如图3,延长8£交C。于点H,点F为线段EH上一动点，NE8M的角平分线与

NRW的角平分线交于点G,探究N8G。与N8FD之间的数量关系，请直接写出结

论：.

长线交于点F；

①若N8=90°则/F=；

②若/8=a,求NF的度数(用a表示)；

(2)如图2所示，若点G是C8延长线上任意一动点，连接AG,/AG8与NG48的角平

分线交于点H,随着点G的运动，NF+/H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不

【参考答案】

一、解答题

1.(1);(2)＜；(3)不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的

解析：（1）41;（2）<；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可：

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；

【详解】

解：（1）・••小正方形的边长为1cm,

小正方形的面积为1cm2,

」•两个小正方形的面枳之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

设大正方形的边长为xcm,

F=2,

x=\/2

大正方形的边长为后cm；

（2）设圆的半径为r,

・•・由题意得不产=2%,

.•」=友，

GU=27ZT=ITVXII,

设正方形的边长为。

/=2九,

a=\/2^，

Cl［：=4a=4\/27r,

.Gy2乃仁&品,

,丁砺=丁*<'

故答案为：V;

（3）解：不能裁剪出,理由如下:

正方形的面积为900cm2,

・•.正方形的边长为30cm

・••长方形纸片的长和宽之比为5:4,

・••设长方形纸片的长为5x,宽为4x,

则5x43740,

整理得：9=37,

2

（5xy=25X=25X37=925>9（X）,

（5x）2>3（）2,

/.5x>30,

「•长方形纸片的长大于正方形的边长，

・••不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

2.（1）正方形的面积为10,正方形的边长为；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然

后根据算术平方根的意义即可求出边长;

（2）根据（1）的方法画

解析：（1）正方形ABC。的面积为10,正方形4AC。的边长为历；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形A8co的面积，然后根

据算术平方根的意义即可求出边长：

（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结

论.

【详解】

解：（1）正方形/WC。的面积为4x4-4xgx3xl=10

则正方形48co的边长为府;

（2）如下图所示，正方形的面积为4x4—4xgx2x2=8,所以该正方形即为所求，如图建立

数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴于两点

正方形的边长为石

•・弧与数铀的左边交点为-应，右边交点为布，实数次和-正在数轴上如图所示.

【点睛】

此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示

无理数是解题关键.

3.（1）；（2）<；（3）不能；理由见解析.

【分析】

（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；

（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；

（3）采

解析：（1）/：（2）<；（3）不能；理由见解析.

【分析】

（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；

（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；

（3）采用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：（1）由已知AB2=1,则A8=l,

由勾股定理，AC=6；

故答案为：V2.

（2）由圆面积公式，可得圆半径为0,周长为24拉，正方形周长为4疡.

*莘=¥=乎<1;即5c正；

GE4后2V4

故答案为：<

（3）不能；

由已知设长方形长和宽为3xcm和2xcm

长方形面积为：2x・3x=12

解得x=^

•••长方形长边为3a>4

他不能裁出.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根在正方形、圆、长方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根

的计算与无理数大小比较是解题的关键.

4.不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则

3x*2x=300,x2=50,解得x=，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20星

米，由于

解析：不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析•：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x・2x=300,

x2=50,解得x=5&，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于15拉>20,

所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方

厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.

试题解析：解：不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x（x>0）cm,则宽为2xcm,

依题意得：3x・2x=300,6x2=300,x2=50,<x>0,x=廊=5&，.•.长方形纸片的长为

15&cm,'：50>49,「.5夜》7,「.15a>21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形

纸片的面枳为400cm2,可知其边长为20cm,.•.长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.

答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0

的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.

5.（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解；

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的

解析：（1）5：（2）75:（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解；

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的面积是3x3-4xgx2xl=5

故答案为：5；

（2）设阴影正方形的边长为X,则X2=5

X=N/5（.石舍去）

故答案为：&;

（3）V石<石

2<N/5<3

」•阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间.

【点睛】

本题考查/无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法.通过观察可知阴

影部分的面积是5个小正方形的面积和.会利用估算的方法比较无理数的大小.

二、解答题

6.（1）ZAEP+zPFC=ZEPF；（2）ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；（3）①150°

或30；②NEPF+2ZEQF=360°或NEPF=2ZEQF

【分析】

（1）由于点是平行线，之间

解析：（1）4AEP+NPFC=NEPF；（2）ZAEP+Z.EPF+APFC=360°；（3）①150°或30；

（2）ZEPF+2NEQF=360°或/EPF=2NEQF

【分析】

（1）由于点P是平行线48,C力之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：

如图1,当P点在£尸的左侧时，ZAEP,NEPF,NPPC满足数量关系为：

/EPF=ZAEP+NPFC；

(2)当。点在炉的右侧时，NAEP,/EPF,NPFC满足数量关系为：

ZAEP+Z.EPF+/PFC=360°；

(3)①若当尸点在所的左侧时，NEQF=NBEQ+NQFD=15U°；当P点在E尸的右侧时,

可求得/跖。+©。=30°；

(2)(1)qjZEPF=1800-2ZBEQ+18(F-2ZDFQ=36()0-2(ZREQ+ZPFD),由

/EQF=NBEQ+/DFQ,得出NEP/+2/七。/=360°：可得EPF=ZBEP+"FD,由

/BEQ+ZDFQ=NEQF,得也|NEPF=2NEQF.

【详解】

解：(1)如图1,过点P作PG//A/3,

图1

;PGUAB,

:.^EPG=ZAEP,

\AB//CD,

:.PG//CD,

:.^FPG=^PFC,

:.ZAEP+NPFC=NEPF；

(2)如图2,当P点在炉的右侧时，ZAEP,ZEPF,/PFC满足数量关系为:

ZAEP+/EPF+4PFC=360°；

图2

过点夕作PG//AB,

PG//AI3,

.•.ZEPG+Z4EP=I8O°,

VABHCD,

:.PG//CDt

.•.4PG+NPW=180°,

ZAEP+NEPF+NPFC=36O0；

(3)①如图3,若当夕点在痔的左侧时,

B

/EPF=&T,

"PEBiZPFD=36OP6O°=3O0P,

EQ、FQ分别平分ZP年和NP/7),

:"BEQ=；NPEB,ZQFD=g4PFD,

:"EQF=NBEQ+ZQFD=:(/PEB+NPFD)=ix300°=150°：

22

如图4,当P点在E尸的右侧时，

图4

ZEPF=60°,

.-.ZP£B+ZPro=60°,

/.NBEQ+4QFD=；(/PEB-ZPFD)=；x60°=30。；

故答案为：150。或30；

②由①可知：NEQF=NBEQ+4QFD=g(/PEB+ZPFD)=g(360°—NEPF),

ZEPF+2ZEQF=360°:

4EQF=NBEQ+NQFD=；(4PEB+ZPFD)=；/EPF,

NEPF=2NEQF.

综合以上可得NEPF与NEQF的数量关系为：/EPF+2/EQF=360°或ZEPF=2NEQF.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的

度数，是解此题的关键.

7.(1),；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子即可；

(2)根据，用含t的式子表示出，根据(2)中给出的条件得出方程式，求出

t的值，进而求出的度数；

(3)根据灯B的

解析：(1)a=3tb=l；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子-34+(〃+4)~=0即可；

(2)根据PQ//MN,用含t的式子表示出N5C4,根据(2)中给出的条件得出方程式

4。>=90。-46=90。一［180。一(2/)。］=(21)。-90。=20°,求出t的值，进而求出4AC

的度数；

(3)根据灯8的要求，f<150,在这个时间段内八可以转3次，分情况讨论.

【详解】

解：(1)vU-3力|+3+〃-4)2=0.

又•.|。-3加20,(a+b-4}2>0.

.♦.a=3,6=1；

(2)设A灯转动时间为/秒，

如图，作CE//PQ,而PQ//MN,

PQ//CE//MN,

ZACE=ZCAN=180°-3r°,NBCE=NCBD=俨,

ZBCA=/CBD+4CAN=/°+180°-(3/)°=180°-(2/)°,

VZACD=90°,

/BCD=90°-ZBCA=90°-[180°-(2/)°]=(2r)°-90°=20°,

:.t=55

ZC4^=180°-(37)°,

/.NBAC=45。-[180。-(3z)。]=(31)。-135。=165。-135。=30。

(3)设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行.

依题意得。</<150

①当0VY60时，

两河岸平行，所以N2=N3=(3?)。

两光线平行，所以N2=N1=3O+/。

所以，Z1=Z3

即：3,=30+，，

解得f=15；

②当60VY120时，

两光束平行，所以N2=N3=（30+/）。

两河岸平行，所以Nl+N2=180。

Zl=3r-180°

所以,3/780+30+，=180,

解得£=82.5；

③当120v/v150时，图大概如①所示

3z-360=r+30,

解得f=195>150（不合题意）

综上所述，当7=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.

【点睛】

这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用.根据平行线的性质找到对应角列山

方程是解题的关键.

8.（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）ZBED=360°-

2ZBFD.

【分析】

（1）图1中,过点E作EGIIAB,则NBEGNABE,根据ABIICD,EGIIAB,所

以CDIIEG,

解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）ZB£D=360°-2ZBFD.

【分析】

（1）图1中，过点F作FGIIAB.则/EFG=/根据八AllCO.FGWAR,所以

CDIIEG,所以/DfG=ZCDE,进而可得/BED=4ABE+Z.CDE；

（2）图2中，根据NA8E的平分线与NCDE的平分线相交于点F,结合（1）的结论即可说

明：NBED=2NBFD；

（3）图3中，根据N48E的平分线与NCDE的平分线相交于点F,过点E作EGIIA8,则

ZBEG+ZABE=180°,因为4811CO,EGIIAB,所以CDIIEG,所以NDEG+NCDE=180°,再

结合（1）的结论即可说明N8E。与N8FD之间的数量关系.

【详解】

解：（1）如图1中，过点E作EGIM8,

贝|JN8EG=NABE,

因为4BIICD,EGIIAB,

所以CDIIEG,

所以/DEG=4CDE,

所以/BEG+Z.DEG=Z.48E+NCDE,

HPZ8ED=NABE+Z.CDE；

(2)图2中，因为8F平分NA8E,

所以/ABE=2ZABF,

因为OF平分NCDE,

所以NCDE=2ZCDF,

所以N八BE+NCDE-2ZABF+2ZCDF-2(NABF+ZCDF),

由(1)得：因为4811CD,

所以/8EO=NA8E+NCDE,

ZBFD=Z.ABF+Z.CDF,

所以/BED=2Z.BFD.

(3)ZefD=3600-2ZBFD.

图3中,过点E作EGIMB,

因为4811CD,EGIIAB,

所以CDIIEG,

所以NDEG+NCDE-180°,

所以N8EG+NDEG=36Q°-(ZABE+NCDE),

即NBED=360°-(ZA8E+NCDE),

因为BF平分NABE,

所以NA8E=2NABF,

因为OF平分/CDE,

所以/CDF=2ZCDF,

Z8fD=360°-2(N48F+NCDF),

山(1)得：因为4811CD,

所以N8FD=NABF+NCDF,

所以N8£D=360°-2ZBFD.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质.

9.（1）见解析；（2）,理由见解析；（3）①当在延长线时（点不与点重

合），；②当在之间时（点不与点，重合），.理由见解析

【分析】

（1）过P作PEIIAB,构造同旁内角，利用平行线性质，可得NAPC二

解析：（1）见解析：（2）NCPO=Na+180。—N/7,理由见解析：（3）①当/）在阴延

长线时（点。不与点A重合），ZCPD=l800-Z/?-Z«;②当P在50之间时（点尸不与

点4,。重合），ZCPD=Za-1800+Z^.理由见解析

【分析】

（1）过P作PEIIA8,构造同旁内角，利用平行线性质,可得N4PC=113°；

（2）过过户作外7/4。交CO于产，，推出4O//P/3/AC,根据平行线的性质得出

?BCP180??b,即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②当P在8。之间时（点尸不与

点3,。重合）），根据平行线的性质即可得出答案.

【详解】

解：（1）过夕作庄//A3,

-AB//CD,

:.PE//AB//CD,

\?APEW^4B=180,ZCPE+^PCD=\SO0,

vZE4/?=I2X°.ZPCD=119°

ZAPE=52°,NCPE=61。,

ZAPC=52°+61O=113O；

（2）/0。=/。+180。-/6，理由如下：

如图3,过P作所//A。交CD于尸，

AD//BC,

ADUPFHBC,

:.ZADP=4DPF,ABCP=/CPF,

zz?cr+zrcr-i80°,NPCE=N尸，

/.ZBCP=1800-Z/?

又.ZADP=^a

\?CPD?DPF]jCPF=67+180??/?；

B

（3）①当尸在84延长线时（点产不与点A重合），NCPD180°-Z//-Z<z；

理由：如图4,过。作分//AQ交。。于产，

AD//BC,

..AD//PF//BC,

:.ZADP=/DPF,ZBCP=ZCPF,

•・•NBCP+NPCE=180°,NPCE=邛,

/.ZBCP=18O°-Z/7,

又.ZADP=/a,

4CPD=/CPF-乙DPF=180°-Za-Z^;

②当P在30之间时（点。不与点8,。重合），ZCPD=-180。+〃.

理由：如图5,过P作球/MD交。。于尸，

,AD//BC,

:AD//PFHBC,

:.ZADP=ZDPF,"CP=/CPF,

.•/BCP+NPCE=180°,NPCE=N尸，

ZBCP=180°-Z/?,

又•.ZADP=^a

ZCPD=NDPF-/CPF=Za+Z/7-180°.

U/

E

图5

【点睛】

本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线

构造内错角以及同旁内角.

10.（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【分析】

（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；

（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可；

（3）设NDBE=a,则NBFC=3

解析：（1）见解析：（2）见解析；（3）ZEBC=105°.

【分析】

（1）先根据平行线的性质得到NC=NBDA，然后结合AB1BC即可证明；

（2）过B作先说明然后再说明BM/NC得到NCA/7=NC,

最后运用等量代换解答即可；

（3）设/。8£=0,则N8FC=3a,根据角平分线的定义可得N48D=NC=2a,

NFfiC=yZDBC=a+45°,根据三角形内角和可得NBFC+ZFBC+ABCF=180°,可得

ZAFC必BCF的度数表达式，再根据平行的性质可得NZFC+ZA/CF=180°,代入即可算出a

的度数，进而完成解答.

【详解】

（1）证明：AM//CN,

NC=NBDA,

,/于8,

/.4=90。，

ZA+ZB£）A=90°,

/.ZA+ZC=90°；

（2）证明：过B作BH//DM,

ZABD+Z4BH=9O°,

又「ABA.BC,

ZABH+4CBH=舒,

ZABD=/CBH,

•­,BH//DM,AM//CN

BHHNC,

：./CBH=ZC,

ZABD=ZC：

(3)设3D8E=。,则N8FC=3a,

8E平分/ABD,

ZABD=Z.C=2a,

又•「AB±BC,BF平分NDBC,

ND8C=/48O+NABC=20+9O,即：ZFBC=yZDBC=a+45°

又NBFC+NF8C+/8CF=180°,即：3a+a+45°+ZBCF=180°

/.Z8CF=135°-4a,

/.Z4FC=ZBCF=135°-4a,

文:AM//CN,

NAFC+NA/CF=180°,即：N4FC+N8C/V+N8CF=180°,

/.135o-4a+135°-4a+2a=180,解得。=15°,

ZABE=15°,

---ZEBC=ZABE+ZABC=lSo+90°=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角

平分线的性质是解答本题为关键.

三、解答题

11.(1)NA+NC=90'；(2)①见解析；②105°

【分析】

(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

(2)①过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作

BGII

解析：(1)N4+NC=90°；(2)①见解析；②105°

【分析】

(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

(2)①过点8作8GIIOM,根据平行线找角的联系即可求解；②先过点8作BGII。"，

根据角平分线的定义，得出/A8F=/G8F,再设ND8E=a,ZABF=6,根据

ZC8F+Z6FC+ZBCF=180o.可得2a十8十3a+3a+6=180°,根据ABJ_8C,可得8十6十2a=90°,最

后解方程组即可得到/ABE=15°,进而得出NEBC=NA8E+N48c=15°+90°=105°.

【详解】

解：(1)如图1,414与8c的交点记作点0,

AMWCN,

ZC=ZA0B,

,/AB±BC,

ZA+N408=90°,

ZA+ZC=90°：

(2)①如图2,过点B作BGWDM,

BD±AM,

：.08J_8G,

ZDBG=90°,

/.ZABD+A48G=90°,

•/AB±BC,

/.ZC8G+Z48G=90°,

ZABD=Z.CBG,

'：AMWCN,BGWDM,

BG//CN,

ZC=ZCBG,

ZA8D=NC;

②如图3,过点8作8GliDM,

DEAFM

B-G

••8F平分N08C,BEABDt

ZDBF=NCBF,ZDBE=ZABE,

由（2）知N480=NCBG,

ZABF=4GBF,

设/DBE=a,ZA8F=6,

则NABE=a,ZABD=2a=Z.CBG,

ZGBF=NAFB=6,

Z8FC=3NDBE=3a,

/.ZAFC=3a+6,

1/ZAFC+ZNCF=180°,ZFCB+ZNCF=180°,

ZFCfi=ZAFC=3a+6,

△8CF中，由/C8F+Z8FC+N8CF=180°得：

2a+6+3a+3a+6=180°,

•/AB±BC,

6+6+2a=90°,

a=15°,

/48E=15°,

ZE8C=NABE+Z.ABC=15°+S0°=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角

的余角（补角）相等进行推导.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相

关联.解题时注意方程思想的运用.

12.（1）平行，理由见解析；（2）65°；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根据等角的补角相等求出N3与N4的补角相等，再根据内错角相等，两

直线平行即可判定aIIb；

（2）根据入射光线与镜面的夹角与反

解析：（1）平行，理由见解析；（2）65。；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根据等角的补角相等求出/3与N4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即

可判定allb；

（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得N1=N2,然后根据平

角等于180。求出N1的度数，再加上40。即可得解；

（3）分①48与8在EF的两侧，分别表示出N4C。与N84C,然后根据两直线平行，内

错角相等列式计算即可得解；②8旋转到与48都在EF的右侧，分别表示出NOCF与

N8AC,然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；③CD旋转到与48都在EF

的左侧，分别表示出NOCF与NMC,然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得

解.

【详解】

解：（1）平行.理由如下：

图1

如图1,VZ3=Z4,

Z5=Z6,

,-1Z1=Z2,

Z1+Z5=Z2+Z6,

「•allb（内错角相等,两直线平行）；

（2）如图2：

・「入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,

Z1=Z2,

入射光线。与水平线OC的央角为40、。垂直照射到井底，

Z1+Z2=180o-40o-90o=50o,

/.Zl=ix500=25%

MN与水平线的夹角为：25。+40。=65。，

即MN与水平线的夹角为65。，可使反射光线b正好垂直照射到井底;

（3）存在.

如图①，48与CD在EF的两侧时,

①

ZBAF=105°,ZDCF=65\

Z4CD=180o-65o-3f=115<>-3to,

ZBAC=105°-t°,

要使4811CD,

则NACD=ABAC,

即115-3t=105-L

解得t=5；

如图②，CD旋转到与48都在EF的右侧时,

E

F\D

②

ZBAF=105\ZOCF=65‘，

/.ZDCF=360°-3t°-65°=295°-3t°,

ZBAC=105°-t°,

要使48IICD,

则NDCF=ZBAC,

即295-3t=105-t,

解得t=95：

如图③,CD旋转到与48都在EF的左侧时,

,/ZBAF=1O5V,ZDCF=65',

ZDCF=3tQ-（180°-65°+180°）=3t°・295°,

ZBAC=t0-105°,

要使4811CD,

则NDCFSBAC,

即3t-295=M05,

解得f=95,

此时t>105,

...此情况不存在.

综上所述，t为5秒或95秒时，C。与A8平行.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性

质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论.

13.（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）秒，画图见解

析

【分析】

（1）用角的度数除以转动速度即可得；

（2）求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t；

（3）设NAON=3

70

解析：（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）—秒，画图见解析

3

【分析】

（1）用角的度数除以转动速度即可得；

（2）求出NAON-60。，结合旋转速度可得时间t;

（3）设NAON=3t,则3Aoe=30°+6t,由题意列出方程,解方程即可;

（4）根据转动速度关系和OC平分NMOB,由题意列出方程，解方程即可.

【详解】

解：（1）V304-3=10,

10秒后ON与OC重合；

（2）,/MNIIAB

ZBOM=ZM=30°,

,/ZAON+ZBOM=90°,

ZAON=60°,

/.t=60-?3=20

经过t秒后,MNIIAB,t=20秒.

（3）如图3所示：

N

M

AOB

图3

,/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM,

三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕0点以每秒6。的速度旋转,

设NAON=3t,则/AOC=30°+6t,

OC与OM重合，

,/ZAOC+ZBOC=180°,

可得：(30°+6t)+(90°-3t)=180°,

解得：t=20秒;

即经过20秒时间OC与OM重合；

,/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕0点以每秒6。的速度旋转，

设/A0N=3t,ZAOC=30°+6t,7ZBOM+ZAON=90°,

ZBOC=ZCOM=yZBOM=^-(90°-3t),

由题意得：180°-(30°+6t)=：(90°-3t),

70

解得：t=一秒，

3

即经过四秒OC平分NMOB.

3

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细

观察图形，找到各个量之词的关系求出角的度数是解题的关键.

14.［探究］7。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线

解析：［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据/PEA的平分线和NPFC的平分线交于点G,

可得NG的度数.

【详解】

ZMPE=ZAEP=50。（两直线平行，内错角相等）

ABIICD（已知），

APMIICD（平行于同一条直线的两直线平行），

ZPFC=ZMPF=120°（两直线平行,内错角相等）.

/.ZEPF=ZMPF-MPE=120,500=70o（等式的性质）.

答：/EPF的度数为70。；

［应用］如图③所示，

EG是NPEA的平分线,PG是NPFC的平分线,

ZAEG=yZAEP=25\NGCF=g/PFC=60°,

ZMGE=ZAEG=25。（两直线平行，内错角相等）

•••ABIICD（已知）,

AGMIICD（平行于同一凫直线的两直线平行），

.•.NGFC=NMGF=60。（两直线平行,内错角相等）.

ZG=ZMGF-MGE=60°-25°=35°.

答:NG的度数是35。.

故答案为：35.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定

与性质.

15.（1）证明见解析；（2）NF=55。；（3）NMQN=NACB；理由见解析.

【分析】

(1)首先根据平行线的性质得出NACE=NA,NECD=NB,然后通过等量代

换即可得出答案；

(2)首先根据角

解析：(1)证明见解析；(2)/F=55。；(3)NMQN=^NACB；理由见解析.

【分析】

(1)首先根据平行线的性质得出NACE=/A,ZECD=ZB,然后通过等量代换即可得出

答案；

(2)首先根据角平分线的定义得出NFCD=g/ECD,NHAF=^NHAD,进而得出NF=

y(ZHAD+ZECD),然后根据平行线的性质得出NHAD+NECD的度数，进而可得出答

案；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义得出NQGR=；NQG。，/NQG=；ZAQG,

NM0G+N0GR=18O。，再通过等量代换即可得出/MQN=gNACB.

【详解】

解：(1)VCE//AB,

ZACE=ZA,ZECD=ZB,

•••ZACD=ZACE+ZECD,

/.ZACD=ZA+ZB；

(2),/CF平分/ECD,FA平分NHAD,

/.ZFCD=yZECD,ZHAF=yZHAD,

NF=；NHAD+；NECD=；(ZHAD+ZECD),

1/CH//AB,

ZECD=ZB,

,/AH//BC,

/.ZB+ZHAB=180°,

,/ZBAD=70°,

Z£?+Z/MD=110°,

NF=J(ZB+ZHAD)=55°;

(3)ZMQN=^-ZACB,理由如下：

•；GR平分NQGD,

NQGR=；4QGD.

GN平分乙4QG,

:"NQG=；/AQG.

.QM//GR,

...NMQG+NQGR=180°.

/.ZMQN=ZMQG-ZNQG

=180°-ZQGR-ZNQG

=180°-y(ZAQG+ZQGD)

=180°-y(180°-ZCQG+1800-